15.可積分条件

多変数関数 ϕ(x) が2階全微分可能であれば、その偏微分は可換である:式(1)。また、ベクトル場 V に対し可積分条件V=ϕ となる関数 ϕ が存在するための条件)が存在する。

偏微分の可換性と可積分条件

この章では、これまで証明を保留していた以下の3つの定理を示す: 15.1:15.2:15.3:

15.1 偏微分は可換である

第6章の【6.3-注2】で、偏微分が可換だと述べたが、証明していなかった。この節でその証明を行う。

定理:偏微分は可換である

多変数関数 ϕ(x) が2階全微分可能であれば、その偏微分は可換である(=微分の順序を交換できる)ijϕ=jiϕ(1) ただし、 ixi のように略記した。

証明

まず、 ϕ は全微分可能なので、1次近似できる:(右辺は x における値) ϕ(x+δx)ϕ+dϕdxϕTδx この式から分かるように、 ϕ は、 ϕ が大きくなる方向を向くϕ0 の場合)。実際、 ϕδx が同じ方向を向けば、赤字部分は正の値となる。
さらに、 ϕ は2階全微分可能なので、ベクトル場 ϕ も同様に1次近似できる:(3次元を想定しているが、以降の議論は自然に一般化できる) ϕ(x+δx)ϕ+dϕdxδxdϕdxTϕ=⎢ ⎢212131122232132323⎥ ⎥ϕ(2) 緑字部分を、 ϕ のヘッセ行列という。式(1)が成立していることを言うには、このヘッセ行列が対称行列になることを言えばよい。
ここで、ヘッセ行列は 3×3=9 成分の行列なのだから、 9 個の基底行列 E1,E2,,E9 の線形和 iλiEi で書ける。そのような基底行列の取り方には任意性があるが、ここでは以下の【15.1-注1】のように、発散成分や回転成分に分けることを考える。
さて、定理を背理法で示す。もし、式(1)が成立していないと仮定すると、ヘッセ行列は反対称成分を持つ、即ち、同注の反対称行列 E7,E8,E9 の係数が 0 ではなくなる。この時、1次近似されたベクトル場(2)には、同【15.1-注1】の青図で示したような回転状のベクトル場が含まれることになる。しかし、上述のように、 ϕ の方向に進むと ϕ の値が大きくなるのだから、ベクトル場の回転に沿って1周して戻ってくると、 ϕ の値が元の値より大きくなってしまう。同じ点では同じ値に戻らなければならないので、これは、矛盾である。(細かいことを言えば、対称部分の寄与と打ち消しあって元の値に戻る可能性もあるが、円周に沿って1周する場合を考えれば、対称部分の寄与は明らかに0になるので、やはり矛盾する。)

【15.1-注1】1次ベクトル場の分解

3次の正方行列の基底 E1,E2,,E9 として以下のようなものが取れる[1]E1=100010001,E2=100010000,E3=100000001,E4=010100000,E5=001000100,E6=000001010,E7=010100000,E8=001000100,E9=000001010 ただし、 E1 は単位行列、 E2,,E6 はトレースレス対称行列の基底、 E7,E8,E9 は反対称行列の基底となるようにとっている(以下の【15.1-注2】に合わせた)
これらが作る1次ベクトル場 V(x)=Eix を右図に示す。横方向が x 軸、縦方向が y 軸である。図に無いものも、軸を取り換えればこれらに一致する。 E1 は原点を中心とする放射状のベクトル場、 E2x 軸に集まってくるようなベクトル場、 E4E2 を45度回転したもの、 E7 は同心円状に渦巻くようなベクトル場となる。

補足

[1]これらが基底になっていること、即ち、任意の行列がこれらの線形結合 λiEi で書けることは、1つの成分だけが1でそれ以外が0の行列が作れることから分かる。例えば、 (1,1) 成分だけが1の行列は、 (E1+E2+E3)/3 となる。
上図から連想されるように、 E1 の係数(=スカラー行列部分)が値を持つ場合、ベクトル場は発散を持つという。同様に、 E7,E8,E9 の係数(=反対称行列部分)が値を持つ場合は、回転を持つという。
これらは、1次ベクトル場に限らず、任意の全微分可能なベクトル場の場合にも拡張できる。即ち、ベクトル場 V が、ある点 x において発散・回転を持つかどうかは、 Vx 周辺で1次近似したときの係数から定義できる。ベクトル場 V が発散を持たない条件は TV=0 、回転を持たない条件は ×V=0 と書ける。電磁力学編で再登場することになる。

【15.1-注2】行列の分解

任意の正方行列 M は、スカラー行列 Mscalar 、トレースレス対称行列 Mtraceless, sym 、反対称行列 Masym の和として、以下のように一意的に分解できる:d は行列の次元) M=Mscalar+Mtraceless, sym+MasymMscalartrMdMtraceless, symM+MT2trMdMasymMMT2(3)(4)(5)(6) なお、スカラー行列とは単位行列に実数(や複素数)をかけたもの、トレース trM とは対角成分の和: trM=Mii 、トレースレス行列とはトレースが0になる行列である。

証明の概略

式(4-6)⇒式(3)は、実際に代入すれば明らかなので、分解が存在することは言えている。後は、一意性、即ち、式(3)⇒式(4-6)を示せばよい。まず、式(3)の両辺のトレースを取ると、 Mscalar は式(4)以外にあり得ないことが分かる。次に、 M+MT を考えると、反対称部分は消えて式(5)が得られる。最後に、 MMT を考えると、式(6)に一致する。

15.2 ベクトル場の可積分条件

ベクトル場 V(x) が、ある関数 ϕ(x) の微分により V=ϕ(7) と書ける時、 ϕ のことを V のポテンシャルという。
この節では、 V がポテンシャルを持つための必要十分条件が、ベクトル場の可積分条件(8)であることを示す。

定理:ポアンカレの補題(の特別な場合)

全微分可能な(=1次近似可能な)ベクトル場 V(x) がポテンシャルを持つための必要十分条件は、任意の x で以下が成立することである:
(dVdx)T=dVdx(8)
この式(8)をベクトル場の可積分条件という。(なぜ積分という言葉が含まれているかというと、 V=ϕϕ を微分したものなので、 ϕ は逆に V を積分したものと見なせるということである。)3次元の場合、この条件は、ベクトル場が回転を持たないこと ×V=0 に等しい。なお、式(8)の左辺の括弧は以降では省略する。

証明

まず、「ポテンシャル ϕ が存在⇒可積分条件(8)が成立」を示す。式(8)を成分で書くと iVj=jVi となるので、ポテンシャルの定義式(7)を代入すると、 ijϕ=jiϕ となる。これは、偏微分の可換性の式(1)そのものなので、確かに成立している。
後は、その逆「可積分条件が成立⇒ポテンシャル ϕ が存在」を示せばよい。積分の記法は、前章のものに従う。実際に任意の点 X でのポテンシャル ϕ(X) を構成することを考えるX を大文字にしているのは、後で積分変数として x を使うからである)。ポテンシャルには、定数を足す自由度があるので、 ϕ(0)=0 としてよい。 ϕ(X) を求めるには、始点が原点で終点が X であるような経路 C を取り、それに沿って積分すればよい:(以下の【15.2-注2】の式(11)) ϕ(X)=CVTdx(9) ただし、 ϕ(X) が一意的に決まるには、 ϕ(X) は、 C の取り方に依存してはならない。(ベクトル場が回転を持つと、回転の流れに沿うか逆らうかで ϕ(X) の値が変わってしまうことが直感的にわかるだろう。)こうして定義した ϕ が、ポテンシャルの定義式 V=ϕ を満たすことは、式(9)の1次近似を考えれば分かる。
よって示すべきは、可積分条件(8)を満たす時、「始点が原点で終点が X となるあらゆる積分経路 C に対して、式(9)が変化しない」である。実際に式(9)を計算するには、 C 上にパラメータ t を入れて数直線上の積分に引き戻せばよい:(同【15.2-注2】の式(12)) ϕ(C)=1t=0VT˙x C を変えた時の ϕ の変化に注目しているので、 ϕ(X) の代わりに ϕ(C) と書いている。さてここで、始点・終点はそのままで C をわずかに変形させたもの C+δC を考え、この経路上の点を x(t)+δx(t) と書くことにする。すると、 δx の1次近似の範囲で ϕ の値が変化しないことが以下のように言える: ϕ(C+δC)=1t=0V(x+δx)T(˙x+δ˙x)‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖1V(x+δx)V+dVdxδx01ϕ(C)0+1t=0(δxTdVdxT˙x+VTδ˙x)1‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖VTδ˙x=ddt(VTδx)˙VTδx=ddt(VTδx)˙xTdVdxTδxδx=ϕ(C)+1t=0˙xT(dVdxdVdxT)0δx=ϕ(C) 1次近似の範囲で成り立つのだから、有限の変形でも値を変えない。(経路の変化 δC での1次近似というのは初めて出てきたが、これまでの章で扱ってきた変数の変化 x の微分、即ち、 δx に対する1次近似の自然な拡張である。通常の微分と同様、微分が 0 であれば定数になる。ただし、経路を変化させる場合は、「微分」ではなく「変分」と呼ぶのが普通である。)即ち、始点・終点を固定しておけば、経路を連続的に変形しても、積分の値が変化しないことになる。

【15.2-注2】ベクトル場の積分

1次近似可能な関数 ϕ(x) の場合、微小ベクトル δx だけ離れた2点での値の差は、以下のようになるのであった:(右辺は x での値) δϕϕ(x+δx)ϕ(x)dϕdxδx(10) これを、微小なベクトルではなく、大きく離れた2点 x1,x2 の場合に拡張したい。そのためには、 x1 を始点とし x2 を終点とするような経路 C を、微小要素 δxi に分割し、各要素に式(10)を適用して足し上げればよい: ϕ(x2)ϕ(x1)=limδ0idϕdxδxiCdϕdxdx
この積分は、ベクトル場 V に対して定義することもできる: CVTdx(11)
これを実際に計算するには、前章と同様に、数直線上の積分へ引き戻してやればよい。経路上の点を、パラメータ t を使って x(t) と表せば、引き戻しは以下のように書ける[1]1t=0VT˙x(12) ただし、 x(0) が始点、 x(1) が終点とした。

補足

[1] 式(12)の導出は、区分求積を考えればよい: limδ0iVTδxi=limδ0iVTdxdtδti=1t=0VT˙x
前章で扱った密度の積分と異なり、式(11)の積分には方向があり、始点と終点を入れ替えて向きを変えると符号が反転する。 C のように矢印を付けて表記しているのは、単なる曲線ではなく、このように向きを持っているからである。

参考:穴がある場合、 ϕ は多価関数になり得る

上記の証明では、2つの積分経路が連続的に移り変われることが重要であった。これが成り立たない場合には、ポテンシャルが一意的に決まらないことがある。例えば、2次元平面において、可積分条件を満たさない領域、あるいは、ベクトル場がそもそも定義されていない領域があった場合、その領域を右回りに通る経路と、左回りに通る経路は、連続的に移り変わることはできない。この場合、たとえ積分経路上で可積分条件を満たしていても、積分が一致するとは限らない。
その典型例が、極座標 (x,y)=(rcosθ,rsinθ) の角度 θ である。 θ を微分して得られるベクトル場 V は、以下の【15.2-注2】の式(13)のようになり、原点では定義されていない(それ以外の点では可積分条件を満たす)。従って、原点を囲むように2つの経路を取ると、これまでの議論が使えない。実際、その積分は、 2π (の整数倍)だけずれることになる(これは、原点の周りに1周すると θ2π ずれることに対応している)。一方、原点を囲まないようにとった2つの経路であれば、積分は経路によらない。
このように、可積分条件を満たさない領域があったり、空間に穴があったりする場合、多価関数(複数の値をとる関数)になることがあるわけである。

【15.2-注2】角度の微分

2次元極座標の角度 θ を、デカルト座標 x で微分して得られるベクトル場 VV=θ=1x2+y2[yx](13) である。これは、原点において定義されない。一方、原点以外では定義されており、可積分条件(8)を満たす。

導出

デカルト座標 x と極座標 θ=(r,θ) の関係式は x(θ)=[rcosθrsinθ] である。よって、 dθdx は以下のようになる: dxdθ=[rxθx]=[cosθrsinθsinθrcosθ]dθdx=[xθyθ]=(dxdθ)1=[cosθsinθr1sinθr1cosθ] これにより、 VV=θ=(dθdx)T=r1[sinθcosθ] となるので、最右辺を x で表すと、式(13)に一致することが分かる。
また、原点以外で可積分条件を満たすこと、即ち dVdx が対称行列となることは、以下のように分かる(計算するまでもないが確認のため)dVdx=ddx1|x|2[yx]‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ddxfA=Adfdx+fdAdxddx1|x|2=d|x|2d|x|d|x|dx=2|x|3ˆxT=[yx](2xT|x|4)+1|x|2[0110]=1|x|4[2xyx2+y2x2+y22xy]

15.3 拘束条件の可積分条件

座標 x に、以下の拘束条件が課されているとする: ATδx0(14) 即ち、 x はこの式を満たす δx の方向にしか変化できない。 A(x) は行列である。拘束条件(14)が初期値 x=x0 のもとで可積分(またはホロノミック)であるとは、式(14)が以下と同値になるような G(x) が存在することを言う: G(x)=G(x0)(15)
この節では、第13章で述べた拘束条件が可積分であるための必要十分条件(17)を示す。しかしその前に、例を示しておこう。

可積分・非可積分の例

可積分および非可積分な拘束の例を挙げておこう:(可積分条件(19)を使って判定できる) A1=yx1,A2=yx1(16) A=A1 は可積分、 A=A2 は非可積分である。右図は、ベクトル場と垂直な面を示したものである。 A1 の場合、 x は曲面 Gxy=const. 上に拘束され、かつ、その曲面上を自由に動ける。一方、 A2 の場合、面がプロペラのようにつながっているため、運動の自由度(=式(14)を満たす δx が張る空間の次元)は2であるにもかかわらず、3次元空間の任意の点に移動することができる。例えば同図を見ると、原点から放射状に進む場合、 z 座標は変化しないが、反時計回りに回ると z が小さくなり、逆に、時計回りだと z が大きくなることが分かる。
非可積分な拘束の身近な例は、自動車である。実際、自動車には真横への平行移動が(直接は)できないという拘束がかかっているにもかかわらず、切り返しによって任意の配置を実現できる。この場合も、運動の自由度2(「向いている方向への運動」と「向きの変更」)よりも、配置の自由度3(位置2自由度と向き1自由度)のほうが大きくなっている。このように、運動の自由度よりも到達可能な配置の自由度のほうが大きくなるのが、非可積分な拘束の特徴である。

定理:フロベニウスの定理

拘束条件(14)が初期値 x0 のもとで可積分であるための必要十分条件は、 A の各々の列を A=[a1a2] と書くことにして P(daidxdaidxT)P=0,i=1,2,P1A(ATA)1AT(17) が、 D(x0) 上で成り立つことである。 D(x0) は、「初期値 x0 からスタートして、拘束条件(14)を満たしながら到達可能な領域」である。ただし、 D(x0) 上の任意の点において、 A は全微分可能であり、かつ、 a1,a2, は1次独立であるとする。
これを拘束条件の可積分条件という。証明の前に、いくつかの補足を【15.3-注1】に示す。

【15.3-注1】補足

式(17)の P は、 D(x0) の接空間への正射影行列である。あるいは P を使わない方法として、接空間の基底ベクトルを列に持つ行列 A を用いて、可積分条件(17)を以下のように書くこともできる: AT(daidxdaidxT)A=0,i=1,2,(18) (実際の計算はこっちのほうが楽である。)特に、 A の列数が(変数の数)-1であれば、 A は1列になるので、この式は常に成立し、常に可積分となる。また、 A が3次元で1列であれば、拘束条件を ATδx0 と書くことにして、式(17)は以下のように簡略化できる:(式(16)の場合の計算に使える) AT(×A)=0(19)
式(15)を微分すると dGdxδx0 となる(第3章の2節で述べた様に、 G の各成分は微分してもゼロにならないとする)。ただし、これを式(14)と見比べて AT=dGdx となるかというと、正しくない。というのも、可逆な行列 M(x) を用いて (AM)T=dGdx となっていればよいからである。 M を積分因子という。M=1 を要請すると、第2節の場合に一致する。)

証明

運動の自由度を d とおくと、これは、「全体の次元」から「拘束条件の数」を引いたものである: d=dimx(A) 到達可能な領域 D x0 は省略)の次元 dimDd と等しい場合を考える: dimD=d(20) D の次元と「運動の自由度」が一致するのだから、 xD 上を(拘束を破らずに)自由に移動することができる。この時、 D は式(15)の形で書ける。逆に、式(15)の形で書ければ、 D 上を自由に動けることになるので、やはり式(20)が成り立つ。従って、「 D が式(15)の形で書けること」と式(20)は同値である。よって、D 上を自由に移動できること」と式(17)が同値であることを示せばよい。
まず、式(14)を満たすように x を動かしていくと、曲線C とおく)を作ることができる。 C 上にパラメータ t を入れると、各点 x(t) は以下を満たす: AT˙x=0(21) 次に、 C に対し、微小な変分 C+δC を考え、その上の点を x(t)+δx(t) とする。ただし、 δx は、微分方程式(14)を満たすようにとる。変分後の曲線 C+δC に対して式(21)を計算すると:(右辺は x(t) での値) A(x+δx)T(˙x+δ˙x)AT˙x+ATδ˙x+δAT˙x‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ATδ˙x=ddt(ATδx)˙ATδx˙ATδx0˙ATδx+δAT˙x=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢˙xTda1dxT˙xTda2dxT⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥δx+⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δxTda1dxTδ˙xTda2dxT⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥˙x=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢˙xT(da1dxda1dxT)δx˙xT(da2dxda2dxT)δx⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥(22) C+δCD 上にあるのだから、 xD 上を自由に移動できる場合、式(22)は 0 でなければならない。 ˙x,δx は、拘束条件を満たすあらゆる値を取り得るので、結局式(17)が成り立つことになる。逆に、式(17)が成り立っていれば、1次近似の範囲で d 次元空間上を自由に動けるが、この空間は D しかあり得ない。