可積分条件

15.1偏微分は可換である

第7章の【7.3-注1】で、偏微分が可換だと述べたが、証明していなかった。この節でその証明を行う。

定理

多変数関数 の偏微分は可換である（＝微分の順序を交換できる）： ただし、 は2階全微分可能であるとする。 のように略記している。

証明

まず、 は全微分可能（＝1次近似可能）なので、1次近似する：（右辺は における値） と が同じ方向を向けば赤字部分の内積は正の値となるので、 は、 が大きくなる方向を向くことが分かる（ の場合）。

さらに、 は2階全微分可能なので、ベクトル場 も同様に1次近似できる： ここでは3次元を想定しているが、以降の議論は自然に一般化できる。緑字部分を、 のヘッセ行列という。式()が成立していることを言うには ヘッセ行列が対称行列になる を言えばよい。

ヘッセ行列()は 成分の行列なのだから、 個の基底行列 の線形和 で書ける。そのような の取り方には任意性があるが、ここでは以下の【15.1-注1】のように、発散成分や回転成分に分けることを考える。

さて、背理法で定理を示す。式()が成立していないと仮定すると、ヘッセ行列は反対称成分を持つ。即ち、【15.1-注1】の反対称行列 のいずれかの係数が ではなくなり、同注の青図（右に再掲）で示したような回転状のベクトル場が含まれることになる。しかし、上述のように、 の方向に進むと の値が大きくなるのだから、ベクトル場の回転に沿って1周して戻ってくると、 の値が元の値より大きくなってしまう（右図の赤線）。同じ点では同じ値に戻らなければならないので、これは、矛盾である。反対称性分以外の項と打ち消しあって、元の値に戻る可能性はない。実際、対称部分の寄与は、中心点回りに1周する経路を考えるとゼロになることからもわかるように、任意の経路で打ち消すことはできない。また、1次近似による誤差も、小さな経路を考えれば相対的に無視できるようになる。

15.2ベクトル場の可積分条件

ベクトル場 が、ある関数 の微分で書けるとする： この時、 は可積分であるといい、 のことをポテンシャルという。なぜ積分という言葉が含まれているかというと、以下の証明中の式()のように、ポテンシャル は、ベクトル場 を積分することで得られるからである

この節では、ポテンシャルが存在するための必要十分条件()を示す（第8章の【8.2-注2】の補足で結果だけ示していた）。

定理：ポアンカレの補題（の特別な場合）

ベクトル場 がポテンシャル を持つための必要十分条件は、全ての点で全微分が対称行列になること（＝回転()がゼロ）になることである： ただし、 は全ての点で全微分可能（＝1次近似可能）とする。この定理をポアンカレの補題という（実際にはもっと一般的な定理であり、電磁力学編の第14章で扱う）。式()をベクトル場の可積分条件という。なお、式()を成分ごとに書けば、以下のように表すこともできる： 全てのに対して

証明

まず ポテンシャルが存在可積分条件が成立 は容易に示せる。実際、 の定義式()を可積分条件()に代入すれば、偏微分の可換性の式()そのものになるので確かに成り立つ。よって後は、この逆 可積分条件が成立ポテンシャルが存在 を示せばよい。そのために、ポテンシャル を実際に構成することを考える。

式()より、 の1次近似： を使えばよい。これを使って、適当な固定点 から経路 に沿って ずつ進めていくことで、 が計算できる（右図）。積分の形で書けば以下のようになる：（以下の【15.2-注1】の式()） 経路 は、始点 と終点 を結ぶ曲線である。 に定数を足しても式()に影響しないので、この自由度を使って、 とする。

ところで、 は、始点・終点しか固定されておらず、途中の経路の取り方に任意性がある。そのため、 が一意的に決まるには 式のは、積分経路に依存しない という条件が必要である。これが成り立てば、 が一意的に決まるだけでなく、ポテンシャルの定義式 も成り立つ。実際、微小量 に対する の変化は、「2点 を結ぶ直線経路」 に沿った積分で得られるので（経路は任意なのでこのようにとってよい） は（全微分可能）連続関数なので、上での変化は十分小さい。即ち、この積分は次近似できる。

よって、命題()を示せばよい。実際に を計算するには、 上の各点 にパラメータ を入れて としたうえで、式()を数直線上の積分に引き戻せばよい：（以下の【15.2-注1】の式()） この式において、始点・終点はそのままで をわずかに変形させた経路を と書くことにする（上の と同じ記号だが意味が違うので注意）。 上の点を と書くことにする。すると、可積分条件()が成り立つ場合、 は の値を変化させないことが以下のように言える（ を変えた時の変化に注目しているので、 の代わりに と書いている）： 次近似：を代入した後、微小量の次と次の項のみ残す。次次を含む項をで表したもの：を代入してを括りだす。積分の境界ではなので、青字部分は積分すると消える。 の1次近似の範囲で が変化しないのだから、微小変形を繰り返し適用することにより、有限の変形でも値を変えないことが分かる。 は の関数なので、これまでの1次近似とは少し違う。分かりにくければ、 のように微小部分を定数 の形で括り出せばよい。そうすれば、 に対する1次近似の範囲で値が変わらないことになる。よって、始点・終点だけで値が決まる、即ち、命題()は真である。

（参考）領域に穴がある場合、ポテンシャル は多価関数になり得る

上記の証明では、2つの積分経路が連続的に移り合えること（ホモトピックであるという）が重要であった。これが成り立たない例として、2次元平面において「可積分条件を満たさない領域 」がある場合、を考えてみよう。この場合、 を「時計回りに迂回する経路 」と「反時計回りに迂回する経路 」は、連続的に移り合うことはできないので、領域全体に関してポテンシャル が存在するとは言えなくなる。

このような が存在する典型例が、極座標 の角度 を微分して得られるベクトル場 である。 は、以下の【15.2-注3】の式()のようになり、原点では定義されていない（それ以外では可積分条件()を満たす）。このため、原点を囲むように2つの経路を取ると、 の積分（＝ ）の値は一致しない可能性がある。実際、よく知られているように、 の整数倍だけずれる。このような関数を多価関数（＝複数の値をとる関数）という。一方、原点を囲まないように移動する分には、 は一意的に決まる。3次元の場合も、極座標の方位角 を微分して得られるベクトル場が、 軸上で定義されない。実際、 は多価関数であり、 軸周りに1周すると ずれる。