振り子の運動方程式の導出（デカルト座標）

任意の時刻 $𝑡$ における振り子の位置 $𝒙 𝑡$ を計算したい。

拘束力 $𝒇 𝑐$ と、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件が知りたい

振り子のおもりの運動 $𝒙 𝑡$ を計算するには、運動方程式： $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c (1)$ を具体的に書き下せばよい。 $𝒇$ は重力 $𝑚 𝒈$ 、 $𝒇 c$ は振り子のひもからおもりが受ける拘束力（右図）。

拘束力 $𝒇 c$ が分かれば、運動方程式が決まる

そのためには、唯一の未知数である拘束力 $𝒇 c$ を導出すればよい。そうすれば、運動方程式が確定し、第3章の3.1節で述べたように、初期位置 $𝒙 0$ および初期速度 $˙ 𝒙 0$ のもとで、 $𝒙 𝑡$ が計算できる。

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する条件も必要

ただし、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ は、（これまでのように）自由な値を取れるわけではない。実際、振り子の場合、拘束条件として、「原点からの距離がひもの長さ $𝑙$ に一致する」（右図）： $𝐺 (𝒙) \equiv | 𝒙 | - 𝑙 = 0 (2)$ という条件がかかるので、おもりの初期位置 $𝒙 0$ も、この拘束条件 $𝐺 (𝒙 0) = 0$ を満たさなければならない。では、初期速度 $˙ 𝒙 0$ についてはどうだろうか。式( $2$ )には速度は含まれてい。しかし、だからといって $˙ 𝒙 0$ を自由にとれるわけではない。実際、ひもが伸びたり縮んだりしてはならないので、直感的に、速度 $˙ 𝒙 0$ はひもと垂直になることが分かるだろう。この条件を理論的に導く方法を考えたい。以下の7.1.1節で議論するが、結論だけ言うと $˙ 𝐺 = 0$ である。

この章の方針

よって、おもりの運動 $𝒙 𝑡$ を実際に計算するために必要となるのは、「初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件の導出」と「拘束力 $𝒇 c$ の導出」である。この章では、これらを踏まえて以下の3つの節に分けて議論を行う：7.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件7.2拘束力 $𝒇 c$ の導出7.3おもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算7.4参考拘束が時間に依存する場合第9章の予告なお、拘束条件を表現する方法として、式( $2$ )のように $𝐺 = 0$ と表す以外に、極座標などの別の座標系を用いる方法も考えられる。それについては、第9章で扱う。

7.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件

この節では、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ が満たすべき拘束条件( $6$ )を導出する。

7.1.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $6$ )

拘束条件： $𝐺 (𝒙) = 0 (3)$ は、位置 $𝒙$ に対する条件である。

速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件が知りたい

一方、速度 $˙ 𝒙$ についても、冒頭でも述べたように、自由な値をとれるわけではなく、拘束がかかっている。よって、 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件を書き下す必要がある。

$𝛿 𝑡$ 秒後の拘束条件( $3$ )を考えればよい

もともと速度 $˙ 𝒙$ は、 $𝛿 𝑡$ 秒後の位置 $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ の1次近似（右図）： $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝒙 𝑡 + ˙ 𝒙 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡$ から出てきた量であった（第1章の1.1節）。よって、「 $𝛿 𝑡$ 秒後の位置 $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ でも拘束条件( $3$ )が破れないこと」を要求すれば、それは $˙ 𝒙$ に対する拘束条件にもなっているはずである。

拘束条件( $3$ )の時間微分を計算すればよい

拘束条件 $𝐺 (𝒙)$ は、位置 $𝒙$ の関数である。しかし、おもりの位置 $𝒙 𝑡$ は時間 $𝑡$ の関数であるため、 $𝐺 (𝒙 𝑡)$ は、 $𝒙 𝑡$ 経由で、 $𝑡$ に依存しているとも見なせる。これを $𝐺 𝑡$ で表すことにする： $𝐺 𝑡 \equiv 𝐺 (𝒙 𝑡)$ 。すると拘束条件は、時刻 $𝑡 + 𝛿 𝑡$ においても成り立たなければならないので、 $𝐺 𝑡 = 𝐺 𝑡 + 𝛿 𝑡 = 0$ となる（右図）。 $𝐺 𝑡 + 𝛿 𝑡 = 0$ については、1次近似により $0 = 𝐺 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝐺 𝑡 + ˙ 𝐺 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡$ と書ける。よって $˙ 𝐺 𝑡 = 0 (4)$ となる。これが、速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件になっているはずである。

速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件：式( $5$ )

式( $4$ )の左辺の微分を計算すると、微分の連鎖律（第5章の【5.1-注3】において $𝒙'$ を $𝑡$ としたもの）により、 $˙ 𝒙$ を括り出すことができる： $˙ 𝐺 \equiv 𝑑 𝐺 𝑑 𝒙 𝑑 𝒙 𝑑 𝑡 \equiv (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 = 0 (5)$ これは確かに速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件になっている。 $\nabla 𝐺$ は拘束面に垂直なベクトル（右図）なので、この式( $5$ )は、 $˙ 𝒙$ が拘束面上にあることを意味しておりもっともらしい（振り子の場合は $˙ 𝒙$ がひもと直交していることを意味している）。なお、第4章の4.2節でも述べたように、 $\nabla 𝐺 \neq 𝟎$ となるように $𝐺$ をとっているものとする。

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $6$ )

以上をまとめると、 $𝒙, ˙ 𝒙$ は以下の拘束条件を満たさなければならない： $𝐺 = 0 ˙ 𝐺 \equiv (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 = 0} (6)$ 従って、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ もこの式を満たすようにとっておく必要がある。もう一度微分した $¨ 𝐺 = 0$ も新しい条件を与えそうな気がするが、次節ですぐ見るように、これには加速度が含まれ、初期値ではなく拘束力 $𝒇 c$ に対する条件になる。

7.2拘束力 $𝒇 c$ の導出

この節では、拘束力 $𝒇 c$ の具体的な式( $9$ )を導く。拘束力が決まることで、最終的な運動方程式( $13$ )が得られる。

7.2.1拘束力 $𝒇 c$ を決定する式：拘束条件( $7$ )とダランベールの原理( $8$ )

拘束力 $𝒇 c$ を導出したい。 $𝒇 c$ はもちろん拘束条件( $3$ )に依存する。また、拘束力以外の外力 $𝒇$ にも依存する。例えば、おもりを引っ張るような外力 $𝒇$ を与えれば、それに抵抗するように拘束力 $𝒇 c$ が働く。

拘束条件( $7$ )が拘束力 $𝒇 c$ に課す条件：式( $7$ )

拘束条件( $7$ )が拘束力 $𝒇 c$ に課す条件を導こう。まず、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ が、式( $6$ )： $𝐺 = ˙ 𝐺 = 0$ を満たしている時、その後も拘束条件 $𝐺 = 0$ を満たし続けるためには、任意の時刻で $¨ 𝐺 = 0 (7)$ が成り立てばよい。分かりにくければ次のアナロジーを考えるとよい：初期位置・初期速度 $𝑥 0, ˙ 𝑥 0$ が $0$ で、それ以降の加速度 $¨ 𝑥$ も $0$ であれば、位置 $𝑥$ は $0$ のままである。 $𝑥$ を $𝐺$ に置き換えればよい。

条件が足りない

式( $7$ )は、式( $6$ )の第2式をもう一度微分したものであり、加速度 $¨ 𝒙$ を含む条件式になっている。その式に、運動方程式 $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c$ を代入して $¨ 𝒙$ を消去すれば、拘束力 $𝒇 c$ に対する条件が得られる。しかし、 $𝒇 c$ はベクトルなので、式( $7$ )の1条件だけでは完全には決まらない。しかも、式( $7$ )さえ満たしていれば拘束条件は満たされるのだから、拘束条件からはこれ以上の条件は出ない。よって、 $𝒇 c$ を決めるためには、物理的な条件を加える必要がある。

ダランベールの原理( $8$ )を課せばよい

その条件は既に分かっている。即ち、第4章の4.1節で述べたダランベールの原理：拘束力 $𝒇 c$ は拘束面に垂直になるである（右図）。これにより、 $𝒇 c$ と $\nabla 𝐺$ は平行となるので、未知係数 $𝜆$ を用いて、 $𝒇 c$ は以下のように書ける： $𝒇 c = 𝜆 \nabla 𝐺 (8)$ この式は、振り子の場合には、 $𝒇 𝑐$ がひもと平行になることを意味しており、もっともらしい。

式( $7$ ), ( $8$ )から拘束力 $𝒇 c$ が決まる

以上で、必要な条件が出そろった。ダランベールの原理( $8$ )の未知数は $𝜆$ だけなので、拘束条件( $7$ )（と運動方程式）を用いることで、 $𝜆$ が求まり $𝒇 c$ が決まる。

7.2.2拘束力 $𝒇 c$ を与える公式：式( $9$ )

実際に、拘束条件( $7$ )とダランベールの原理( $8$ )から、拘束力 $𝒇 c$ を求めると、以下の【7.2-注1】の式( $9$ )のようになる。この結果は、一般的な拘束条件においても成り立つ（振り子に特有の性質は使っていない）。

【7.2-注1】拘束力 $𝒇 c$ の公式( $9$ )

拘束条件 $𝐺 (𝒙) = 0$ が課されている時、拘束力 $𝒇 c$ は以下のようになる： $𝒇 c = 𝜆 \nabla 𝐺 𝜆 \equiv - 𝑚 (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 + (\nabla 𝐺) T 𝒇 | \nabla 𝐺 | 2 (9)$ $𝒇$ は重力などの外力（＝拘束力以外の力）である。

導出

ダランベールの原理を適用した運動方程式：式( $10$ )

まず、運動方程式( $1$ )にダランベールの原理( $8$ )を代入すると $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝜆 \nabla 𝐺 (10)$ となる。後は、この式が拘束条件の2階微分( $7$ )を満たすように $𝜆$ を決めればよい。

拘束条件から $𝜆$ を決める

式( $7$ )を実際に計算するには、式( $6$ )の第2式： $˙ 𝐺 \equiv (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 = 0$ をもう一度微分すればよい： $¨ 𝐺 \equiv (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 + (\nabla 𝐺) T ¨ 𝒙 = 0 (11)$ 以下の積の微分公式【7.2-注2】を、 $˙ 𝐺 \equiv (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙$ に適用した。式( $12$ )で $𝐴 = (\nabla 𝐺) T, 𝐵 = ˙ 𝒙$ とすればよい。式( $10$ )の $¨ 𝒙$ を式( $11$ )に代入すれば、 $𝜆$ に対する方程式になる。これを解くと、式( $9$ )の $𝜆$ に一致する。 $◼$

【7.2-注2】積の微分公式

時刻 $𝑡$ に依存する2つの行列 $𝐴 𝑡, 𝐵 𝑡$ に対し、それらの積 $𝐴 𝐵$ の微分は、以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 𝐴 𝐵 = ˙ 𝐴 𝐵 + 𝐴 ˙ 𝐵 (12)$

導出

求める微分は、 $𝛿 (𝐴 𝐵)$ を1次近似した時の $𝛿 𝑡$ の係数（以下の赤字部分）である：（時刻を省略した右辺の項は $𝑡$ での値） $𝛿 (𝐴 𝐵) \equiv 𝐴 𝑡 + 𝛿 𝑡 𝐵 𝑡 + 𝛿 𝑡 - 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 ∣ ∣ ∣ ∣ 𝐴 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝐴 + ˙ 𝐴 \cdot 𝛿 𝑡 𝐵 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝐵 + ˙ 𝐵 \cdot 𝛿 𝑡 ≐ (𝐴 + ˙ 𝐴 𝛿 𝑡) (𝐵 + ˙ 𝐵 𝛿 𝑡) - 𝐴 𝐵 ≐ (˙ 𝐴 𝐵 + 𝐴 ˙ 𝐵) 𝛿 𝑡 ◼$

7.2.3最終的な運動方程式：式( $13$ )

拘束力 $𝒇 c$ （式( $9$ )）が求まったので、運動方程式 $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c$ も確定する。具体的に書き下すと、外力 $𝒇$ を含む部分・含まない部分に分けて、以下のようになる： $𝑚 ¨ 𝒙 = [1 - ˆ \nabla 𝐺 (ˆ \nabla 𝐺) T] 𝒇 - 𝑚 (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 | \nabla 𝐺 | ˆ \nabla 𝐺 (13)$ 記号 $ˆ \nabla$ $ˆ \nabla 𝐺 \equiv \nabla 𝐺 | \nabla 𝐺 |$ 運動方程式の解釈運動方程式( $13$ )の右辺「第1項」は拘束面に平行な方向（＝運動可能な方向）を向き、同「第2項」は垂直な方向を向いている。それでも分かりやすいとは言えないが、以下の【7.2-注3】のように、幾何学的に解釈しやすい形に変形できる。

【7.2-注3】運動方程式( $13$ )の別表現

運動方程式( $13$ )を、解釈しやすいように1次近似の形で（差分方程式として）書くと、以下のようになる： $˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝑃 𝑡 + 𝛿 𝑡 (˙ 𝒙 + 𝑚 - 1 𝒇 \cdot 𝛿 𝑡) 𝑃 \equiv 1 - ˆ \nabla 𝐺 (ˆ \nabla 𝐺) T (14)$ ただし、時刻 $𝑡 + 𝛿 𝑡$ を明記しているもの以外は、時刻 $𝑡$ での値である。 $𝑃$ は、拘束面（の接平面）への直交射影行列になっている。

運動方程式( $14$ )の解釈

この式の意味を考えてみよう。 $𝑚 - 1 𝒇$ は、拘束が存在しない場合の加速度に等しい。従って、右辺の $(\dots)$ 部分は、拘束がない場合の「時刻 $𝑡 + 𝛿 𝑡$ での速度」である。これに直交射影 $𝑃 𝑡 + 𝛿 𝑡$ がかかっているので、「その速度」を、拘束面へ直交射影したものが、実際の速度 $˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ になるわけである。拘束条件 $𝐺$ は、この $𝑃$ の部分にのみ影響を与える。

導出

1運動方程式を、

𝑃

を使って表す

まず、運動方程式( $13$ )が、拘束面への直交射影行列 $𝑃$ を用いて $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝑃 𝒇 + ˙ 𝑃 𝑚 ˙ 𝒙 (15)$ と書けることを示す。そのためには、自明な式 $˙ 𝒙 = 𝑃 ˙ 𝒙$ （式( $6$ )の第2式より明らか）の両辺を微分した後、運動方程式を使えばよい： $¨ 𝒙 = 𝑑 𝑑 𝑡 (𝑃 ˙ 𝒙) = ˙ 𝑃 ˙ 𝒙 + 𝑃 ¨ 𝒙 ∣ 運動方程式： 𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c = ˙ 𝑃 ˙ 𝒙 + 𝑃 𝒇 + 𝒇 c 𝑚 ∣ ∣ ∣ ∣ ダランベールの原理より、 𝒇 c は拘束面に垂直： 𝑃 𝒇 c = 𝟎 = ˙ 𝑃 ˙ 𝒙 + 𝑃 𝒇 𝑚$

21次近似を代入

後は、1次近似の定義式 $˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ ˙ 𝒙 + ¨ 𝒙 \cdot 𝛿 𝑡 𝑃 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝑃 + ˙ 𝑃 \cdot 𝛿 𝑡$ を式( $14$ )に代入すれば、式( $15$ )と1次近似の範囲で確かに等しくなることが分かる。 $◼$

7.3おもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算

以上で、必要な議論がそろった。この節では、拘束条件 $𝐺 (𝒙) = 0$ が課されたおもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算方法についてまとめた後、具体的な例として、冒頭で述べた「振り子の運動」と「ゆがんだ床の上を滑る運動」を扱う。

7.3.1おもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算手順

拘束条件 $𝐺 (𝒙) = 0$ によって拘束された物体の運動 $𝒙 𝑡$ を計算するには、以下の手順を踏めばよい：

1初期条件を設定

時刻 $𝑡 = 0$ における初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ を、拘束条件( $6$ )が成り立つようにとる。

2運動方程式を解く

その後の時刻 $𝑡$ での位置 $𝒙 𝑡$ は、運動方程式( $13$ )から計算できる。ただし、外力 $𝒇$ は既知であるとする。運動方程式の解き方は、第3章の3.1節で述べた。

7.3.2例題1振り子の運動

振り子の運動を計算する（右図）。拘束条件 $𝐺$ およびその微分は以下のようになる： $𝐺 \equiv | 𝒙 | - 𝑙 \nabla 𝐺 = ˆ 𝒙 = 𝒙 𝑙 𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺 = 𝑑 𝑑 𝑡 𝒙 𝑙 = ˙ 𝒙 𝑙 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (16)$ $\nabla 𝐺 = ˆ 𝒙$ の導出は、第4章の【4.3-注1】で行った。

初期条件( $17$ )、運動方程式( $18$ )

これらを用いると、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件( $6$ )は $| 𝒙 0 | = 𝑙 𝒙 T 0 ˙ 𝒙 0 = 0} (17)$ となる。運動方程式を得るには、公式( $13$ )に、式( $16$ )と重力 $𝒇 = 𝑚 𝒈$ を代入すればよい： $𝑚 ¨ 𝒙 = (1 - 𝒙 𝒙 T 𝑙 2) 𝑚 𝒈 - 𝑚 | ˙ 𝒙 | 2 𝑙 2 𝒙 (18)$ 質量 $𝑚$ に依存しない式( $18$ )を見ると、全ての項に質量 $𝑚$ が現れているので、 $𝑚$ を消去できる（運動方程式っぽく見せるために上式では $𝑚$ を残している）。よって、振り子の運動は、初期値さえ同じであれば、 $𝑚$ によらず同じになる。第9章の予告第9章の9.2.2節で、運動方程式( $18$ )を極座標で書き直す。

シミュレーション

実際に数値計算を行うと、右図のようになる。2次元, 3次元ともに同じ運動方程式( $18$ )である。

7.3.3例題2 $𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)$ のグラフ上の運動

次に、もう1つの例として、3次元空間内のグラフ $𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)$ で表される曲面上におもりを拘束する場合を考える。拘束条件は $𝐺 \equiv 𝑓 (𝑥, 𝑦) - 𝑧 = 0$ とすればよい。

拘束条件の微分

拘束条件 $𝐺$ の微分は以下のようになる：

$\nabla 𝐺 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 𝑥 𝑓 𝜕 𝑦 𝑓 - 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺 = 𝑑 (\nabla 𝐺) 𝑑 𝒙 ˙ 𝒙 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 2 𝑥 𝑓 𝜕 𝑦 𝜕 𝑥 𝑓 0 𝜕 𝑥 𝜕 𝑦 𝑓 𝜕 2 𝑦 𝑓 0 000 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝑥 ˙ 𝑦 ˙ 𝑧 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ 赤字部分はのベクトル値関数の連鎖律である（第5章の【5.1-注3】）。また、 $𝜕 𝑦 𝜕 𝑥 𝑓$ と $𝜕 𝑥 𝜕 𝑦 𝑓$ は、偏微分の可換性（以下の【7.3-注1】）により等しくなるので、一方だけ計算すればよい。

初期条件と運動方程式

上式を、拘束条件( $6$ )に代入すると、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する条件が得られる。また、運動方程式も、式( $13$ )から得られる。しかし、きれいな形になるわけでもないので、代入結果については割愛する。数値計算を行う場合、このような代入処理はプログラム内で行えばよいので、代入後の式を具体的に書き下しておく必要はない。

シミュレーション

適当な $𝑓$ を決めて数値計算を行うと、右図のようになる。なお、重力が下向きに働いている。

【7.3-注1】偏微分は可換

偏微分は可換である。即ち、2階全微分可能な任意の多変数関数 $𝑓 (𝑥 1, 𝑥 2, \dots)$ について以下が成り立つ： $𝜕 𝑖 𝜕 𝑗 𝑓 = 𝜕 𝑗 𝜕 𝑖 𝑓$ 記号 $𝜕 𝑖$ $𝜕 𝑖$ は、 $𝑥 𝑖$ による偏微分の略記である： $𝜕 𝑖 = 𝜕 𝜕 𝑥 𝑖$

証明

第15章の15.1節で証明する。

7.4参考拘束が時間に依存する場合

ここでは、動く振り子の運動 $𝒙 𝑡$ の計算方法を考える。これは、振り子の中心点 $𝒂$ が時間とともに動くようになったものである。拘束条件 $𝐺$ は $𝐺 (𝑡, 𝒙) \equiv | 𝒙 - 𝒂 𝑡 | - 𝑙 = 0$ となり、時刻 $𝑡$ に依存することになる。

これまでと同じ考え方で良さそう

おもりの運動 $𝒙 𝑡$ を計算するには、ここでも「初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件」と「拘束力 $𝒇 c$ 」の2つが分かればよい。前節までの類推により、 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ は $𝐺 = ˙ 𝐺 = 0$ を満たせばよく、 $𝒇 c$ はダランベールの原理から導出できることが期待される。

7.4.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $19$ )

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件は、前章と同様、 $𝑡 = 0$ において $𝐺 = ˙ 𝐺 = 0$ を満たすことである： $𝐺 = 0 ˙ 𝐺 \equiv 𝜕 𝑡 𝐺 + (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 = 0} (19)$ 導出第2式は、以下の【7.4-注1】から得られる。ただし、以下のようにおいている： $𝜕 𝑡 𝐺 = 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡, \nabla 𝐺 = (𝜕 𝐺 𝜕 𝒙) T = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 𝑥 𝐺 𝜕 𝑦 𝐺 𝜕 𝑧 𝐺 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$

【7.4-注1】合成関数の微分公式

任意の $𝑡, 𝒙$ の関数 $𝐺 (𝑡, 𝒙)$ を考える。 $𝒙$ が $𝑡$ に依存するならば、 $𝐺 (𝑡, 𝒙 𝑡)$ は、 $𝑡$ に関する1変数関数とみなせる。これを $𝑡$ で微分したものは、以下のようになる： $˙ 𝐺 = 𝑑 𝑑 𝑡 𝐺 (𝑡, 𝒙 𝑡) = 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝒙 𝑑 𝒙 𝑑 𝑡$

導出

まず、 $𝐺 (𝑡, 𝒙)$ に対し、通常の全微分を考えると $𝛿 𝐺 ≐ 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 𝛿 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝒙 𝛿 𝒙 (20)$ となる（第5章の【5.2-注1】）。さらに、 $𝒙$ が $𝑡$ に依存するので、 $𝒙$ の全微分を考えることができる： $𝛿 𝒙 ≐ 𝑑 𝒙 𝑑 𝑡 𝛿 𝑡 (21)$ 後は、式( $20$ )に式( $21$ )を代入して、 $𝛿 𝑡$ を括り出せばよい：

$𝛿 𝐺 ≐ (𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝒙 𝑑 𝒙 𝑑 𝑡) 𝛿 𝑡$ 微分 $𝑑 𝐺 𝑑 𝑡$ は、 $𝛿 𝐺$ を1次近似したときの $𝛿 𝑡$ の係数なので、 $(\dots)$ 部分である。 $◼$ この導出は、第5章の5.2.2節で、壁の速度を求めた時のものと同じである。

7.4.2拘束力 $𝒇 c$ と運動方程式：それぞれ式( $25$ )と式( $24$ )

拘束力 $𝒇 c$ の導出も、前章の議論をなぞればよい。

拘束力 $𝒇 c$ ：式( $25$ )

即ち、拘束条件の2階微分： $¨ 𝐺 = 0 (22)$ とダランベールの原理：（ $𝜆$ は未知係数） $𝒇 c = 𝜆 \nabla 𝐺 (23)$ を連立して $𝜆$ を求めれば、 $𝒇 c$ が確定する。実際に解くと、以下の【7.4-注2】の式( $25$ )のようになる。当然だが、 $𝜕 𝑡 𝐺 = 0$ の場合、時間依存しない場合の拘束力( $9$ )に一致する。

運動方程式：式( $24$ )

これにより、運動方程式 $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c$ は以下のようになる： $𝑚 ¨ 𝒙 = [1 - ˆ \nabla 𝐺 (ˆ \nabla 𝐺) T] 𝒇 - 𝑚 [𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝐺 + (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙] | \nabla 𝐺 | ˆ \nabla 𝐺 (24)$

【7.4-注2】時間変化する拘束条件による拘束力：式( $25$ )

時間に依存する拘束条件 $𝐺 (𝑡, 𝒙) = 0$ が課されている時、拘束力 $𝒇 c$ は以下のようになる： $𝒇 c = 𝜆 \nabla 𝐺 𝜆 \equiv - 𝑚 [𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝐺 + (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙] + (\nabla 𝐺) T 𝒇 | \nabla 𝐺 | 2 (25)$ $𝒇$ は重力などの外力（＝拘束力以外の力）である。

導出

拘束条件( $22$ )の微分を実際に行うと、以下のようになる：（ $(\dots)$ 部分は式( $19$ )の第2式） $0 = 𝑑 𝑑 𝑡 ˙ 𝐺 = 𝑑 𝑑 𝑡 (𝜕 𝑡 𝐺 + (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙) = 𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝐺 + (𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 + (\nabla 𝐺) T ¨ 𝒙 (26)$ この式から $¨ 𝒙$ を消去するために、運動方程式 $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝒇 c$ にダランベールの原理( $23$ )を代入したもの： $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 + 𝜆 \nabla 𝐺$ を代入すれば、 $𝜆$ に対する方程式となる。これを解くと、 $𝜆$ が決まり、式( $25$ )のものに一致する。 $◼$

7.4.3物体の運動 $𝒙 𝑡$ の計算

時間に依存する拘束条件 $𝐺 (𝑡, 𝒙) = 0$ によって拘束された物体の運動 $𝒙 𝑡$ は、以下のように計算できる：前節の「時間変化しない拘束の場合」とは、使う式が異なるだけである。

1初期条件を設定

時刻 $𝑡 = 0$ における初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ を、拘束条件( $19$ )が成り立つようにとる。

2運動方程式を解く

その後の時刻 $𝑡$ での位置 $𝒙 𝑡$ は、運動方程式( $24$ )から計算できる。

7.4.4例題1動く振り子：初期条件( $27$ )、運動方程式( $28$ )

節の冒頭で述べた通り、中心点 $𝒂$ が動くような振り子（右図）の拘束条件は $𝐺 (𝑡, 𝒙) \equiv | 𝒙 - 𝒂 𝑡 | - 𝑙 = 0$ である。以下では、式を見やすくするため $𝒚 \equiv 𝒙 - 𝒂 𝑡$ とおく。

拘束条件の微分

拘束条件 $𝐺$ の微分を計算すると、以下のようになる：（ $𝜕 𝑡$ は $𝒂$ のみに作用し、 $𝑑 𝑑 𝑡$ は $𝒙, 𝒂$ 両方に作用することに注意） $𝜕 𝑡 𝐺 = - ˆ 𝒚 T ˙ 𝒂 = - 𝒚 T ˙ 𝒂 𝑙 𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝐺 = - ˙ 𝒚 T ˙ 𝒂 + 𝒚 T ¨ 𝒂 𝑙 \nabla 𝐺 = ˆ 𝒚 = 𝒚 𝑙 𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺 = ˙ 𝒚 𝑙$

初期条件と運動方程式

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件は、上式を式( $19$ )に代入すればよい： $| 𝒚 0 | = 𝑙 𝒚 T 0 ˙ 𝒚 0 = 0} (27)$ ただし、 $𝒚 0 = 𝒙 0 - 𝒂 0$ である。運動方程式は、「上で計算した拘束条件 $𝐺$ の微分」と「 $𝒇 = 𝑚 𝒈$ 」を式( $24$ )に代入すれば得られる： $𝑚 ¨ 𝒙 = (1 - ˆ 𝒚 ˆ 𝒚 T) 𝑚 𝒈 - 𝑚 | ˙ 𝒚 | 2 - 𝒚 T ¨ 𝒂 𝑙 ˆ 𝒚 (28)$ 固定された振り子（7.3.2節）の場合と同様に、質量 $𝑚$ は削除できる。

シミュレーション

適当な $𝒂 𝑡$ を採用して数値計算を行うと、右図のようになる。

7.4.5例題2波打つ床

もう1つの例として、グラフ $𝑧 = 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦)$ で表される曲面上に、おもりを拘束する場合を考える（右図）。重力が下方向に働いているとする。拘束条件 $𝐺$ は $𝐺 \equiv 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦) - 𝑧 = 0$ となる。

拘束条件の微分

拘束条件 $𝐺$ の微分は以下のようになる： $𝜕 𝑡 𝐺 = 𝜕 𝑡 𝑓, 𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝐺 = (𝜕 𝑡 + ˙ 𝑥 𝜕 𝑥 + ˙ 𝑦 𝜕 𝑦) 𝜕 𝑡 𝑓 \nabla 𝐺 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 𝑥 𝑓 𝜕 𝑦 𝑓 - 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦, 𝑑 𝑑 𝑡 \nabla 𝐺 = (𝜕 𝑡 + ˙ 𝑥 𝜕 𝑥 + ˙ 𝑦 𝜕 𝑦) ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 𝑥 𝑓 𝜕 𝑦 𝑓 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$

初期条件と運動方程式

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件は式( $19$ )から決まり、運動方程式は式( $24$ )から決まる。しかし、きれいな形になるわけでもないので、結果については省略する。

シミュレーション

3次元の場合に、適当な $𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦)$ を採用して数値計算を行ってみると、右図のようになる。

拘束力 𝒇𝑐 と、初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する拘束条件が知りたい

拘束力 𝒇c が分かれば、運動方程式が決まる

初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する条件も必要

この章の方針

7.1初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する拘束条件

7.1.1初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する拘束条件：式(6)

速度 ˙𝒙 に対する拘束条件が知りたい

𝛿𝑡 秒後の拘束条件(3)を考えればよい

拘束条件(3)の時間微分を計算すればよい

速度 ˙𝒙 に対する拘束条件：式(5)

初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する拘束条件：式(6)

7.2拘束力 𝒇c の導出

7.2.1拘束力 𝒇c を決定する式：拘束条件(7)とダランベールの原理(8)

拘束条件(7)が拘束力 𝒇c に課す条件：式(7)

条件が足りない

ダランベールの原理(8)を課せばよい

式(7), (8)から拘束力 𝒇c が決まる

7.2.2拘束力 𝒇c を与える公式：式(9)

【7.2-注1】拘束力 𝒇c の公式(9)

導出

ダランベールの原理を適用した運動方程式：式(10)

拘束条件から 𝜆 を決める

【7.2-注2】積の微分公式

導出

7.2.3最終的な運動方程式：式(13)

【7.2-注3】運動方程式(13)の別表現

運動方程式(14)の解釈

導出

7.3おもりの運動 𝒙𝑡 の計算

7.3.1おもりの運動 𝒙𝑡 の計算手順

7.3.2例題1振り子の運動

初期条件(17)、運動方程式(18)

シミュレーション

7.3.3例題2 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) のグラフ上の運動

拘束条件の微分

初期条件と運動方程式

シミュレーション

【7.3-注1】偏微分は可換

証明

7.4参考拘束が時間に依存する場合

これまでと同じ考え方で良さそう

7.4.1初期値 𝒙0,˙𝒙0 に対する拘束条件：式(19)

【7.4-注1】合成関数の微分公式

導出

7.4.2拘束力 𝒇c と運動方程式：それぞれ式(25)と式(24)

拘束力 𝒇c ：式(25)

運動方程式：式(24)

【7.4-注2】時間変化する拘束条件による拘束力：式(25)

導出

7.4.3物体の運動 𝒙𝑡 の計算

7.4.4例題1動く振り子：初期条件(27)、運動方程式(28)

拘束条件の微分

初期条件と運動方程式

シミュレーション

7.4.5例題2波打つ床

拘束条件の微分

初期条件と運動方程式

シミュレーション

拘束力 $𝒇 𝑐$ と、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件が知りたい

拘束力 $𝒇 c$ が分かれば、運動方程式が決まる

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する条件も必要

7.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件

7.1.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $6$ )

速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件が知りたい

$𝛿 𝑡$ 秒後の拘束条件( $3$ )を考えればよい

拘束条件( $3$ )の時間微分を計算すればよい

速度 $˙ 𝒙$ に対する拘束条件：式( $5$ )

初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $6$ )

7.2拘束力 $𝒇 c$ の導出

7.2.1拘束力 $𝒇 c$ を決定する式：拘束条件( $7$ )とダランベールの原理( $8$ )

拘束条件( $7$ )が拘束力 $𝒇 c$ に課す条件：式( $7$ )

ダランベールの原理( $8$ )を課せばよい

式( $7$ ), ( $8$ )から拘束力 $𝒇 c$ が決まる

7.2.2拘束力 $𝒇 c$ を与える公式：式( $9$ )

【7.2-注1】拘束力 $𝒇 c$ の公式( $9$ )

ダランベールの原理を適用した運動方程式：式( $10$ )

拘束条件から $𝜆$ を決める

7.2.3最終的な運動方程式：式( $13$ )

【7.2-注3】運動方程式( $13$ )の別表現

運動方程式( $14$ )の解釈

7.3おもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算

7.3.1おもりの運動 $𝒙 𝑡$ の計算手順

初期条件( $17$ )、運動方程式( $18$ )

7.3.3例題2 $𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)$ のグラフ上の運動

7.4.1初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ に対する拘束条件：式( $19$ )

7.4.2拘束力 $𝒇 c$ と運動方程式：それぞれ式( $25$ )と式( $24$ )

拘束力 $𝒇 c$ ：式( $25$ )

運動方程式：式( $24$ )

【7.4-注2】時間変化する拘束条件による拘束力：式( $25$ )

7.4.3物体の運動 $𝒙 𝑡$ の計算

7.4.4例題1動く振り子：初期条件( $27$ )、運動方程式( $28$ )