力から加速度を求める（ニュートンの運動方程式）

力から加速度 $¨ 𝒙$ を導く法則（＝ニュートンの運動方程式）を書下したい。

重力以外についても、運動方程式が存在しそう

前章で扱ったキャッチボールにおいて、投げられたボールが下向きに加速するのは、重力によってボールが下方向に引っ張られるからである。即ち、重力が加速度 $¨ 𝒙$ を生み出しているわけである。ところで、これは重力に限ったことではない。日常的に体験しているように、物体に力を加えれば、その強さに応じて力の方向に加速度が生じる。ということは、力から $¨ 𝒙$ を決める法則（ニュートンの運動方程式という）が存在するのではないだろうか。摩擦がある場合は、力を加えても静止したまま加速しないこともあるが、これは「加えた力と摩擦力が釣り合っているため」と考えられる。綱引きを考えれば分かるように、力は、「足し合わせる」ことによって打ち消せる。

もう少し具体的に

例えば右図のように、バネに繋がれたおもりが振動しているとする。知りたいのは、おもりの運動 $𝒙 𝑡$ （＝任意の時刻 $𝑡$ におけるおもりの位置）である。おもりがバネから受ける力 $𝒇$ は既に分かっているとする。例えば、バネの長さを変えて $𝒇$ を測定するという実験を行えば、 $𝒇$ をバネの長さの関数として表せるだろう。伸び縮みするほど $𝒇$ の大きさは大きくなるはず。この時、「おもりに働く力 $𝒇$ 」と「おもりの加速度 $¨ 𝒙$ 」を結びつける方程式（＝ニュートンの運動方程式）が存在すれば、 $¨ 𝒙$ を求めることができる。そうすれば、前章と同様に、初期位置 $𝒙 0$ および初期速度 $˙ 𝒙 0$ のもとで、バネにつながれたおもりの運動 $𝒙 𝑡$ が計算できることになる。

力を定量化したい（重力を参考に）

とはいえ、実験から力 $𝒇$ を求めるといっても、そのためにはまず、「力」という感覚的な概念を定量化する必要がある。今のところ分かっている運動方程式は、キャッチボールの場合： $¨ 𝒙 = 𝒈 (1)$ だけなので、そこに働く力である重力の定量化から始めるのがよいだろう。そうして得られた重力を用いて運動方程式( $1$ )を書き直せば、重力の場合のニュートンの運動方程式が得られる。その式を参考にすれば、一般的なニュートンの運動方程式が得られるのではないだろうか。そこでこの章では、重力の定量化から始めて、ニュートンの運動方程式に迫ることにしよう：2.1重力の定量化2.2ニュートンの運動方程式：式( $11$ )2.3補足単位

2.1重力の定量化

重力を $𝒇 g$ と書くことにする。この節では、まず、 $𝒇 g$ の定量化を、天秤を用いて行う。その後、 $𝒇 g$ と加速度 $¨ 𝒙$ の関係式、即ち、重力の場合のニュートンの運動方程式( $5$ )を導く。

2.1.1重力 $𝒇 g$ の定量化には、天秤が使える：式( $2$ )

力という概念は、日常的なものではあるが、それをどのように定量化すればよいかは自明ではない。とはいえ、力は、向きと大きさを持っているので、何らかのベクトルで表すことができそうである。重力 $𝒇 g$ であれば、向きは「鉛直下方向」、大きさは「重い物体ほど大きくなる」といった具合である。力の向きは直感的に分かるだろうから、力の大きさをどのように定量化するかが主要な問題になる。

重力の向き＝重力加速度の向き

まず、重力 $𝒇 g$ の向きについてだが、これは、重力加速度 $𝒈$ の方向に一致すると考えるのが自然だろう。よって、以下の形で書けるはずである： $𝒇 g = 𝑤 ˆ 𝒈 (2)$ $ˆ 𝒈$ は、 $𝒈$ を正規化したもの： $ˆ 𝒈 = 𝒈 | 𝒈 |$ 。係数 $𝑤$ は、 $𝒇 g$ の大きさである（重いものほど大きくなるようにとるのが自然だろう）。

重力の大きさ＝物体の重さ

重力を定量化するためには、重力の大きさ $𝑤$ を決めてやればよい。ところで、「重力の大きさ」とは、身近な言葉でいえば、物体を持ち上げる際の「重さ」に他ならない。物体の重さは、天秤を使って量れることが知られている（以下の【2.1-注1】）。 $𝑤$ の定量化としては、これをそのまま用いて $𝑤 = (天秤で決めた重さ) (3)$ とするのが自然だろう。これで、重力( $2$ )の定量化ができたことになる。

参考このように定義された重力は、加法性を持つ

なお、本章の冒頭でも触れたように、力は足し合わせ可能だと考えられる。このように足し合わせ出来る性質を加法性という。式( $3$ )の重さ $𝑤$ は、この加法性を持ったものになっている。即ち、重さがそれぞれ $𝑤 1, 𝑤 2$ の2つの物体を合体させると、全体の重さは、和 $𝑤 1 + 𝑤 2$ になる（右図）。この性質が重力( $2$ )にも受け継がれるので、重力も加法性を持つ、即ち、合体した物体全体に働く重力は、元の各物体に働く重力の和に一致する。力がベクトルとして表されることを期待しているので、これは好ましい性質である。

【2.1-注1】天秤を用いた重さの定量化

重さの基準

天秤を用いて重さを実際に量るには、まず、重さの基準となる物体 $𝐴$ （1リットルの水と同じくらいの重さとする）を持ってきて、その重さを $1 k g f$ と定義する。 $k g f$ は重さを表す単位で重量キログラムという。さらに、「 $𝐴$ を10等分したもの」を $0.1 𝐴$ と呼ぶことにし、その重さを $0.1 k g f$ と定義する。10等分するには、10個に分けられた分割物体の重さが互いに等しくなっていることを確認する必要がある。そのためには、任意の2つの分割物体を天秤の各皿に乗せて、天秤が釣り合うかどうかを見ればよい。全ての組み合わせで釣り合っていれば、分割物体の重さは等しい。

重さの測定

これらを使って、次のように、任意の物体 $𝐵$ の重さを定量することができる。例えば物体 $𝐵$ が、右図のように（ $3$ 個の $𝐴$ ）＋（ $4$ 個の $0.1 𝐴$ ）と釣り合えば、Bの重さは、総和を取った $3.4 k g f$ である。うまく釣り合わなければ、 $0.01 𝐴$ 、 $0.001 𝐴$ と細かくしたものを使うことにより、より精密に量ることができる。

2.1.2重力 $𝒇 g$ におけるニュートンの運動方程式：式( $5$ )

重力 $𝒇 g$ が定量化できたので、これを使って、今分かっている唯一の運動方程式であるキャッチボールの運動方程式：（前章の1.2節） $¨ 𝒙 = 𝒈 (4)$ を書き換えよう。

重力におけるニュートンの運動方程式

これは簡単で、以下のようになる： $¨ 𝒙 = | 𝒈 | 𝑤 𝒇 g (5)$ この式に $𝒇 g$ の定義式( $2$ )を代入してみれば、式( $4$ )に戻ることがすぐ分かる。これが、重力 $𝒇 g$ と加速度 $¨ 𝒙$ を関係づける方程式、即ち、重力におけるニュートンの運動方程式である。

係数の解釈は後で

係数 $| 𝒈 | 𝑤$ は、物理的意味を持つものなのだろうか。気になる所だが、この節の目的は、重力を定量化して式( $5$ )を導くことだったので、とりあえず次に進むことにしよう。一般的な力を考える中で、この係数の意味も分かってくることが期待される。

2.2ニュートンの運動方程式：式( $11$ )

この節では、まず、一般の力の定量化を行う。その後それを用いて、本章の目的であるニュートンの運動方程式( $11$ )を導く。

2.2.1一般の力 $𝒇$ を定量化したい

一般の力 $𝒇$ を定量化したい。これまでも何度か指摘してきたように、力には加法性があると思われる。従って、2つの力 $𝒇 1, 𝒇 2$ が1つの物体に働いて全体として釣り合っている時、それらのベクトル和がゼロ： $𝒇 1 + 𝒇 2 = 𝟎 （釣り合いの式） (6)$ とすべきである。2つの力のうち一方は、既に定量化が終わっている重力を考えるのがよいだろう。

まず、バネの力 $𝒇 s p$ を定量化する

式( $6$ )を使って、まず、バネの力を定量化することを考えよう。右図のように、バネにおもりをつけて持ち上げ、そのまま静止させる。この時、バネによる力 $𝒇 s p$ と重力 $𝒇 g$ は釣り合っているので、上述のように $𝒇 s p + 𝒇 g = 𝟎$ が成り立つ。よって、 $𝒇 s p$ は $𝒇 s p = - 𝒇 g (7)$ と定量化できるはずである。この時、バネの伸びとおもりの重さは1対1対応すること（以下の【2.2-注1】）が知られている。これを使うことにより、バネの伸びを測定するだけで、 $𝒇 s p$ の値が分かる。次の様な流れである：バネの伸びを測定する → おもりの重さが決まる → 重力 $𝒇 g$ が決まる → 式( $7$ )からバネの力 $𝒇 s p$ が分かる。

バネを使って、一般の力 $𝒇$ を定量化する

このバネの性質を使って、一般の力 $𝒇$ を測ることができる。実際、バネに一般の力 $𝒇$ を作用させたまま釣り合わせた時、その時の $𝛿 𝑙$ を測ることにより $𝒇 s p$ が分かるので、釣り合いの式 $𝒇 + 𝒇 s p = 𝟎$ から、 $𝒇$ を決めることができる。要するに、バネにかかる力は「 $𝛿 𝑙$ が一致するならば（重力以外の場合でも）全て大きさが等しい」と定義するわけである。

力は加法性を持つ

このようにして定量化した力は、力の向きがそろっていない場合の釣り合いにおいてもうまくいくことが、実験的に分かっている。例えば右図のように、ある物体に、3つの力 $𝒇 1, 𝒇 2, 𝒇 3$ を加えた時、その物体を静止させることができれば $𝒇 1 + 𝒇 2 + 𝒇 3 = 𝟎$ が成り立つ。これは、力の加法性が矛盾なく成立しているということであり、良い知らせである。

【2.2-注1】バネ量りの原理

バネにおもりを吊るした時、おもりの重さ $𝑤$ とバネの伸び $𝛿 𝑙$ は、1対1対応する。即ち、 $𝑤$ を決めれば $𝛿 𝑙$ が決まるし、逆に、 $𝛿 𝑙$ から $𝑤$ が逆算することもできる（予め $𝛿 𝑙$ と $𝑤$ の対応表を作っておく）。おもりが重いほどバネは伸びるはずなので、これは直感的に自明だろう。これを使って、物体の重さを量ることができる。これをバネ量りという。バネ量りには、あらかじめ目盛りが入っており、物体を吊り下げた時の目盛りの値を読み取ることで $𝑤$ の値が分かるようになっている。

2.2.2ニュートンの運動方程式：式( $11$ )

さて、もともと求めたかったのは、一般の力における運動方程式である。前節で求めた、重力における運動方程式( $5$ )：（再掲） $¨ 𝒙 = | 𝒈 | 𝑤 𝒇 g (8)$ はその特殊な場合であるため、これを一般化することを考える。

最も単純な一般化でよい

もっとも単純なのは、式( $8$ )の重力 $𝒇 g$ を、重力以外の任意の力 $𝒇$ にそのまま置き換えたもの： $¨ 𝒙 = | 𝒈 | 𝑤 𝒇 (9)$ である。これが正しいかどうかは、もちろん実験的に確かめるべきである。加速度 $¨ 𝒙$ と力 $𝒇$ はともに測定可能な量なので、様々な $𝒇$ に対して測定を行い、式( $9$ )が成り立つことを確認すればよい。実験を行った結果、実際に正しいことが知られている。

係数に名前を付ける

従って、重力を使って求めた比例係数 $| 𝒈 | 𝑤$ は、実際には、重力に限らない普遍的な値ということである。そこで、これに名前を付けておこう。この係数の逆数を、 $𝑚$ と書き、質量と呼ぶ： $𝑚 \equiv 𝑤 | 𝒈 | (10)$ 質量は加法性を持つ質量 $𝑚$ は加法性を持つ。なぜなら、式( $10$ )より質量 $𝑚$ が重さ $𝑤$ に比例するので、 $𝑤$ の加法性が引き継がれるからである。よって右図のように、質量 $𝑚 1, 𝑚 2$ の2つの物体を合体させたものは、質量 $𝑚 1 + 𝑚 2$ を持つようになる。

ニュートンの運動方程式：式( $11$ )

質量 $𝑚$ を用いて運動方程式( $9$ )を書き直すと、きれいな式になる： $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 (11)$ これを、ニュートンの運動方程式（あるいは単に運動方程式）という。複数の力複数の力 $𝒇 1, 𝒇 2, \dots$ が働いている場合、力の加法性が成り立つので、運動方程式( $11$ )には $𝒇 = 𝒇 1 + 𝒇 2 + \dots$ を代入すればよい。重力式( $2$ )で与えた重力 $𝒇 g$ を、質量 $𝑚$ を用いて書いておくと $𝒇 g = 𝑚 𝒈 (12)$ となる。当然だが、これを式( $11$ )に代入すると、キャッチボールの運動方程式： $¨ 𝒙 = 𝒈$ になる。

質量と力から運動が計算できる

ニュートンの運動方程式( $11$ )を使えば、「物体に固有の量である質量 $𝑚$ 」と「その物体にかかる力 $𝒇$ 」の情報だけから、力の種類（重力、バネ、手押しなど）には依らず、その物体の加速度 $¨ 𝒙$ が分かる。 $¨ 𝒙$ が分かれば、第1章と同じロジックが使えるので、初期位置・初期速度の下で、運動を計算することができる。具体的な計算は第3章で扱う。なお、質量 $𝑚$ と力 $𝒇$ の単位については、以下の【2.2-注2】を参照。

【2.2-注2】質量 $𝑚$ と力 $𝒇$ の単位

質量の単位

質量 $𝑚$ の単位は、 $k g$ と書き、キログラムと読む。地球上において $1 k g f$ の重力を受ける物体の質量が $1 k g$ となる。1リットルの水の質量がほぼ $1 k g$ である。

力の単位

力 $𝒇$ の単位は、 $k g$ を用いて書くと、 $k g \cdot m \cdot s - 2$ となる（式( $11$ )の両辺の単位が一致することからわかる）。あるいは略記して $N$ とも書く（ニュートンと読む）。単位の一般論については、次節を参照。

2.2.3参考ニュートンの運動方程式( $11$ )を用いて、力 $𝒇$ と質量 $𝑚$ を測定する

運動方程式( $11$ )が正しいことが分かってしまえば、逆に、力 $𝒇$ と質量 $𝑚$ を定義・測定する手段として、この式を使うこともできる（以下の【2.2-注3】）。そうすれば、これまでのように、重力を経由しなくてもよくなり、運動方程式から直接これらの概念を扱えるようになる。これまでは、天秤を用いて重力 $𝒇 g$ を定量化し、 $𝒇 g$ とのつり合いからバネ量りの目盛りを入れ、バネの伸びから任意の力 $𝒇$ を定量化したのであった。

【2.2-注3】運動方程式による質量 $𝑚$ と力 $𝒇$ の測定

運動方程式( $11$ )：（再掲） $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝒇 (13)$ を用いることにより、任意の力 $𝒇$ 、および、任意の物体の質量 $𝑚$ を測定することができる。原理的には、以下のようにすればよい：

基準質量を定義する

質量の基準となる物体 $𝐴$ （例えば1リットルの水）を用意し、その質量を $𝑚 𝐴 = 1 k g$ と定義する。

力を測る

未知の力 $𝒇$ を測定するには、 $𝒇$ を $𝐴$ に作用させればよい。その時の加速度 $¨ 𝒙$ を測定すれば、式( $13$ )の未知数は $𝒇$ だけとなり、 $𝒇$ が求まる： $𝒇 = 𝑚 𝐴 ¨ 𝒙$

質量を測る

未知の質量 $𝑚$ を定量するには、すでに測定済みの任意の力 $𝒇$ を、対象となる物体に作用させればよい。その時の加速度 $¨ 𝒙$ を測定すれば、式( $13$ )の未知数は $𝑚$ だけとなり、 $𝑚$ が求まる： $𝑚 = | 𝒇 | | ¨ 𝒙 |$ ただし、 $𝒇$ として、重力 $𝒇 g$ を採用することはできない（式( $12$ )を上式に代入すると $𝑚$ が打ち消すため）。

2.3補足単位

ここまでは、単位について理解していることを前提として話を進めてきた。念のため、ここで単位について見直しておく。

2.3.1物理量の定量化は、加法性に基づいて行う

単位を表記するのは、どのように物理量を定量化したかを明示するためである。例えば、単位を示さずに「この棒の長さは $1$ である」とだけ言われても訳が分からない。通常、この定量化には加法的なものが存在し、基準となる量を1つだけ人為的に定義してやるだけで定量化が完了する。この基準をどう取ったかを示すのが単位である。

単位の例：長さ

例えば、「長さ」であれば、長さ $1$ となる物差しを基準として適当に与えてやれば、それ以外の長さも自動的に決まる。実際、「長さ」は加法性を持つので、例えば、長さ $2$ であれば「長さ $1$ のものを2つ足し合わせた長さ」、長さ $0.5$ であれば「2つ合わせたときに長さ $1$ になる長さ」のように決まる。ただし、「長さ $1$ 」といった表現だと、どのような基準（物差し）を取ったかが伝わらないため、基準値ごとに $m, c m$ といった単位記号を割り当てて区別する。この記号を使って、長さ $1$ であれば $1 m$ のように、基準の取り方を含めた形で表す。この基準の取り方（あるいは単位記号）が単位であり、 $1, 2$ といった数値部分を成分という。長さ以外でも、「時間」「質量」「力の大きさ」なども加法性を持つので、基準値を与えるだけで自然に定量化できる。なお、重要な例外として、「温度」は加法性を持たないが、理論的に自然な定量化の方法が存在する（熱力学編の第5章）。

単位の取り換え

このような、加法性に基づいた定量化では、単位を取り換えた際に、成分は定数倍ずれるだけである。例えば $m$ 単位と $c m$ 単位では、成分が $100$ 倍違う。物理量を $1 m$ のように「成分×単位」の形で表記するのは、この性質を生かして、単位変換を容易にするためである。例えば、 $m \to c m$ の単位変換は、 $1 m = 100 c m$ を用いて単純な置き換えで済む： $1.23 m = 1.23 \times 1 m = 1.23 \times 100 c m (14)$

ベクトル量の単位

力のようなベクトル量を定量化する際、ベクトルの大きさについては、上記のように単位を決めれば定量化が済むが、向きについては、向きの基準となるベクトル $𝒆 𝑥, 𝒆 𝑦, 𝒆 𝑧$ を追加で与える必要がある。そうすれば、力 $𝒇$ は $𝒇 = 𝑓 𝑥 𝒆 𝑥 + 𝑓 𝑦 𝒆 𝑦 + 𝑓 𝑧 𝒆 𝑧$ のように書ける。赤字部分が成分、緑字部分が単位に相当する。とはいえ、基準となるベクトルは $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 軸から自然に決まるので、通常は省略される。即ち、ベクトルは成分だけで表す： $𝒇 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑧 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ 各成分 $𝑓 𝑥 𝑓 𝑦, 𝑓 𝑧$ 自体は、力の単位を持つ。

2.3.2物理量の積

物理量同士の積や割り算によって新たに作られた物理量の単位は、単位変換の整合性から決まる。例えば、微小時間 $𝛿 𝑡 [s]$ における長さ $𝐿 [m]$ の変化 $𝛿 𝐿$ は、1次近似により $𝛿 𝐿 ≐ ˙ 𝐿 𝛿 𝑡$ と書けるわけだが、 $˙ 𝐿$ の単位を $m \cdot s - 1$ としてやれば、式( $14$ )のような単位変換に対して、両辺の成分が一致する。加法的な定量化を行っていれば、（ニュートンの運動方程式のような）物理法則は、物理量同士の積や割り算で表せることが多い。その式に新たに表れた物理量の単位は、このように単位変換の整合性から決めればよい。