動く壁との衝突

動いている壁（変形する壁も含む）に弾性衝突するボールの運動 𝒙𝑡 を計算したい。

前章との違いは、壁が動いているという点のみなので、弾性衝突公式（＝弾性衝突の前後での速度変化を与える公式）がどう変わるかを考えればよい。それ以外の計算手順は前章と同じである。

弾性衝突公式は、相対性原理から求められそう

まず、簡単な例として、右図のように静止しているボール（ ˙𝒙in=𝟎 ）を考え、これに、速度 𝒗wall を持つ壁がぶつかってくる場合を考える。この場合は弾性衝突条件が推測でき、衝突後のボールの速度 ˙𝒙out は、壁面の速度 𝒗wall の2倍になる： ˙𝒙out=2𝒗wall(1) これは、実験で検証することも容易である。逆に、ゼロ弾性衝突（＝全く跳ね返らないような衝突）の場合には、壁に接触したままになるので ˙𝒙out=𝒗wall となる。

このように、壁が動いている場合、たとえ弾性衝突であっても、衝突の前後で速度の大きさが変化する。よって、前章で述べた弾性衝突条件 |˙𝒙out|=|˙𝒙in| はそのままでは成立しない。しかし、この結果が使えるようにする方法がある。それは、壁とともに動いている観測者 𝐾′ を考えることである（右図）。 𝐾′ から見れば、壁は静止しているので、前章の結果が使えるというわけである。詳しくは後述するが、このような手法がうまくいくことを相対性原理という。

よって、「 𝐾′ で成り立つ弾性衝突公式」を元の観測者 𝐾 から見たものに座標変換することにより、「 𝐾 での弾性衝突公式」を導く、という戦略をとることにしよう。ただし、目的の弾性衝突公式には、壁面の速度 𝒗wall が現れるはずなので、 𝒗wall を（壁の形状を表す拘束条件 𝐺(𝑡,𝒙)≥0 から）導く公式も必要となる。これらを踏まえてこの章では、以下の3つの節に分けて議論を行う：5.1相対性原理による弾性衝突公式の導出5.2壁面の速度 𝒗wall の導出5.3ボールの運動 𝒙𝑡 の計算

5.1相対性原理による弾性衝突公式の導出

この節では、壁とともに移動する観測者を経由することで、弾性衝突の公式(13)を求める。ただし、壁の速度 𝒗wall はまだ未知である。

5.1.1壁とともに動く観測者 𝐾′ から見た衝突の公式：式(2)

冒頭でも述べた様に、まず着目するのは、「本来の観測者 𝐾 から見て動いている壁であっても、壁面の速度 𝒗wall と同じ速度で動いている別の観測者 𝐾′ からは、壁面は静止して見える」という事実である（右図）。 𝐾′ から見れば、壁面は静止しているので、前章の結果が使えるだろう。これを、相対性原理という（以下の【5.1-注1】）。

これにより、 𝐾′ から見たボールの運動は、前章の結果をそのまま使って計算できる。即ち、反射速度 ˙𝒙′out は以下で与えられる：（「 ′ 」は 𝐾′ から見た量であることを表す） ˙𝒙′out=[1−2̂∇′𝐺′(̂∇′𝐺′)T]˙𝒙′in(2) よって、この式を、元の観測者 𝐾 から見たものへ変換してやれば、目的の弾性衝突公式が得られることになる。

ただし、 𝒗wall が一定でない場合（＝壁が加速度運動している場合）、壁面上の観測者も加速度を持つことになるので、相対性原理は成り立たない。しかしその場合でも、「衝突の瞬間の短い時間間隔において衝突点での壁面が静止して見える」ような等速度の観測者は、常に存在する。この観測者を 𝐾′ とすれば、式(2)がやはり成り立つ。要するに、衝突の際には、壁面の加速度を考慮する必要はなく、壁面の速度だけで十分だということである。直感的には加速度にも依存しそうだが、上下に振動する床にボールを当てることを考えると分かりやすい。床が上昇していればボールの勢いは増大し、下降していれば減少する。上昇しきった・下降しきった時はその中間なので、加速度が生じているが勢いは変化しない。よって、加速度ゼロで静止し続けている場合と同じであり、加速度には依存しない。

5.1.2速度 ˙𝒙′ の変換則：式(4)

壁とともに動いている観測者 𝐾′ から見た時の弾性衝突の公式(2)を、元の観測者 𝐾 での式（＝「 ′ 」がつかない式）に変換したい。そのためには、同式に現れる2種類の量 ∇′𝐺′ と ˙𝒙′ の変換則が分かればよい。

まず、速度 ˙𝒙′ の変換則である。座標 𝒙′ の変換則を考え、それを時間微分すればよい。 𝒙′,𝒙 の関係式は、 𝐾′ の移動速度が壁面の速度 𝒗wall であることより、単純に以下のようになる：（以下の【5.1-注2】のガリレイ変換(5)） 𝒙′=𝒙−𝑡𝒗wall(3) 速度 ˙𝒙′ の変換則は、これを時間微分すれば得られる： ˙𝒙′=˙𝒙−𝒗wall(4) これは直感的にも自然である。

5.1.3 ∇′𝐺′ の変換則：式(9)

後は、式(2)に含まれる ∇′𝐺′ を ∇𝐺 で表せばよい。とはいえ、計算しなくてもその答えは直感的に分かる。実際、壁の向きは、観測者の速度には依存しないはずなので、 ∇′𝐺′∥∇𝐺 となりそうである。これを示そう。

まず、動いたり変形したりしている壁を考えているので、拘束条件 𝐺 の関数形は、時刻 𝑡 とともに変化することになる： 𝐺(𝑡,𝒙)≥0(6) 𝐺 は予め与えられているとする。例えば、水平な床が上下（ 𝑧 軸方向）に振動しているような場合であれば、 𝐺(𝑡,𝒙)≡𝑧−𝑎sin⁡𝑏𝑡 のようになる（ 𝑎,𝑏 は定数）。一方、動いている観測者 𝐾′ から見た壁の形状についても、同様に 𝐺′(𝑡,𝒙′)≥0(7) の形で表される。 𝐺 と 𝐺′ の関係式を求め、それを空間微分すれば求める変換則が得られる。

さて、ガリレイ変換(3)： 𝒙′=𝒙−𝑡𝒗wall の関係式を満たす任意の 𝒙,𝒙′ に対して、両者は観測者が異なるだけで空間上の同じ点を表しているので（右図）、式(6)と式(7)は「両方とも成立する（＝壁の外にある）」か「両方とも成立しない（＝壁の中にある）」かのどちらかである。要するに、この 𝒙,𝒙′ について、 𝐺′(𝑡,𝒙′) と 𝐺(𝑡,𝒙) の符号が一致すればよい。そのような 𝐺′(𝑡,𝒙′) として、単純に 𝐺(𝑡,𝒙) に一致するものを取ればよい： 𝐺′(𝑡,𝒙′)=𝐺(𝑡,𝒙)(8) 前章でも述べたように、拘束条件の関数形には任意性があるので、 𝐺 が与えられていても、 𝐺′ は一意的には決まらない。ここでは、正当な 𝐺′ として、最も自然な式(8)を採用したということである。後は、この関係式に注意して、 ∇′𝐺′ を ∇𝐺 によって表すと、以下のようになる： (∇′𝐺′)T≡𝜕𝐺′(𝑡,𝒙′)𝜕𝒙′∣式(8)=𝜕𝐺(𝑡,𝒙)𝜕𝒙′∣ ∣ ∣ ∣微分の連鎖則を使って𝒙での微分にする（以下の【5.1-注3】の式(11)）=𝜕𝐺(𝑡,𝒙)𝜕𝒙𝜕𝒙𝜕𝒙′∣ ∣ ∣ ∣ ∣𝜕𝒙𝜕𝒙′=𝜕(𝒙′+𝑡𝒗wall)𝜕𝒙′=𝑑𝒙′𝑑𝒙′=1=(∇𝐺)T よって、点 𝒙′ における ∇′𝐺′ と、それに対応する点 𝒙=𝒙′+𝑡𝒗wall における ∇𝐺 は等しい： ∇′𝐺′=∇𝐺◼(9) 完全に一致したのは、式(8)となるように 𝐺′ を取ったからである。一般には大きさまでは一致しないが、式(2)でに代入してしまえば正規化した形になるので、影響はない。

5.1.4弾性衝突の公式：式(13)→壁面の速度 𝒗wall を求めたい

以上により、 𝐾′ から見た衝突の公式(2)に、 ˙𝒙′ と ∇′𝐺′ の変換則、それぞれ式(4)と式(9)を代入すれば、元の観測者 𝐾 から見た衝突後の速度 ˙𝒙out の公式が得られる： ˙𝒙out=[1−2̂∇𝐺(̂∇𝐺)T](˙𝒙in−𝒗wall)+𝒗wall(13) 後は、 𝒗wall を求めればよい。

5.2壁面の速度 𝒗wall の導出

残る課題は、式(13)の未知数である壁面の速度 𝒗wall を、拘束条件から求めることである。そうすれば、弾性衝突公式(13)が確定する。

この節では、 𝒗wall を求め、最終的な弾性衝突公式(21)を導く。

5.2.1 𝒗wall は壁面に垂直：式(14)

衝突点における壁面の速度 𝒗wall を、拘束条件 𝐺(𝑡,𝒙) から求めたい。まず、右図のように、 𝒗wall は、壁面に垂直であるとしてよい（式(13)の導出でもこの性質を使った）。というのも、前章と同様に、壁とボールの間に摩擦がないという理想的な状況を考えているので、壁面と平行な方向の壁の運動は、ボールの運動には影響しないので無視できるからである。拘束条件(6)の形で壁を表した場合、これには、そもそも壁面と平行な方向の速度の情報が含まれていない。例えば、水平な床が前後左右に動いていても、見かけの壁の位置は変化しないので、 𝐺 は静止している場合と変わらない。

前章の4.1節で述べたように、 𝐺 の微分 ∇𝐺 は壁面に垂直である。従って、 𝒗wall は、 ∇𝐺 と平行である： 𝒗wall=𝜆∇𝐺(14) 未知数は、 𝒗wall の大きさに対応する、 𝜆 だけである。あるいは、式(14)は、射影行列を使った形で以下のようにもかける： ̂∇𝐺(̂∇𝐺)T𝒗wall=𝒗wall(15) （ 𝒗wall を ̂∇𝐺 方向に直交射影しても変化しないということである。）これを使うと、式(13)はもっと簡単になる： ˙𝒙out=[1−2̂∇𝐺(̂∇𝐺)T]˙𝒙in+2𝒗wall(16)

5.2.2 𝒗wall は式(19)

さて、 𝒗wall を決めるには、あと1つ、 𝒗wall の大きさに関する条件があればよい。まず、時刻 𝑡 において壁面上にあった点 𝒙 は、 𝛿𝑡 秒後、 𝛿𝒙≐𝒗wall⋅𝛿𝑡 だけ移動する（右図）。移動後の点 𝒙+𝛿𝒙 は壁面上に留まらなければならないので、拘束条件 𝐺(𝑡+𝛿𝑡,𝒙+𝛿𝒙)=0(17) を満たす。これが、壁面の速度 𝒗wall の大きさに関する条件を与える（ 𝒗wall が大きすぎても小さすぎても、壁面からずれてしまう）。

上式(17)を1次近似すると、以下のようになる（以下の【5.2-注1】）： 0=𝐺(𝑡+𝛿𝑡,𝒙+𝛿𝒙)≐𝐺+𝜕𝐺𝜕𝑡𝛿𝑡+𝜕𝐺𝜕𝒙𝛿𝒙≐0+𝜕𝐺𝜕𝑡𝛿𝑡+𝜕𝐺𝜕𝒙𝒗wall⋅𝛿𝑡=(𝜕𝐺𝜕𝑡+𝜕𝐺𝜕𝒙𝒗wall)𝛿𝑡 よって、 (⋯) 部分は0でなければならない：（ 𝜕𝐺𝜕𝒙=(∇𝐺)T ） 𝜕𝐺𝜕𝑡+(∇𝐺)T𝒗wall=0(18) これが求めたかった条件である。

後は、式(18)の両辺に ̂∇𝐺 をかけて、式(15)を使えば、 𝒗wall=[⋯] の形に変形できる： 𝒗wall=−𝜕𝑡𝐺|∇𝐺|̂∇𝐺(19)

5.2.3衝突公式（完成版）

式(16)と式(19)をまとめると、時間変化する壁との弾性衝突における反射速度 ˙𝒙out は、最終的に以下で与えられることになる：

˙𝒙out=[1−2̂∇𝐺(̂∇𝐺)T]˙𝒙in+2𝒗wall𝒗wall≡−𝜕𝑡𝐺|∇𝐺|̂∇𝐺(21)

なお、ここまで弾性衝突条件を露には考えてこなかった（必要がなかった）。弾性衝突条件を実際に書下してみると、以下の【5.2-注2】のように、壁との相対速度が保存するという形になる。この弾性衝突条件と、ダランベールの原理 𝒇c=𝜆∇𝐺 を連立して、前章の【4.1-注3】と同様に式(21)を導くこともできる。

5.3ボールの運動 𝒙𝑡 の計算

弾性衝突公式(21)が得られたので、前章と同じように計算できる。

この節では、まず、ボールの運動 𝒙𝑡 の計算方法についてまとめる。その後、具体的な計算を2つの例（上下振動する床、変形する床）に対して行う。

5.3.1ボールの運動 𝒙𝑡 の計算方法

時間変化する壁面との衝突を含むボールの運動は、前章の4.3節の計算とほぼ同じである。違うのは、弾性衝突公式が、式(21)に置き換わることだけである。

5.3.2【例題1】上下振動する平坦な床との衝突

時間変化する壁面の例として、右図のように平坦な床が上下に振動している場合を考える。拘束条件 𝐺 およびその微分 𝜕𝑡𝐺,∇𝐺 は、以下のようにとれる：（ 𝑎,𝑏 は定数） 𝐺(𝑡,𝒙)≡𝑧−𝑎sin⁡𝑏𝑡≥0𝜕𝑡𝐺=−𝑎𝑏cos⁡𝑏𝑡∇𝐺=⎡⎢ ⎢⎣𝜕𝑥𝐺𝜕𝑦𝐺𝜕𝑧𝐺⎤⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢⎣001⎤⎥ ⎥⎦ これらを式(13)に代入すれば、衝突後の速度 ˙𝒙out は以下のように計算できる： ˙𝒙out=⎡⎢ ⎢⎣10001000−1⎤⎥ ⎥⎦˙𝒙in+⎡⎢ ⎢⎣002𝑎𝑏cos⁡𝑏𝑡⎤⎥ ⎥⎦

数値計算を行うと右図のようになる。

5.3.3【例題2】変形する床との衝突

変形する床の例として、2次元平面において、右図のように以下のような拘束条件をとる（2次元にしたのは単に式を見やすくするため）： 𝐺(𝑡,𝒙)≡𝑦−𝑓(𝑡,𝑥)≥0𝑓(𝑡,𝑥)=𝐴⋅sin⁡𝐵𝑡⋅tanh⁡(𝐶sin⁡𝐷𝑥) 𝑦=𝑓(𝑡,𝑥) のグラフが壁の境界になっている。このグラフはのこぎり状の形状であり、定数 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 は大きくなるほどそれぞれ、 𝐴 ：高さの変化が大きくなり、 𝐵 ：振動が速くなり、 𝐶 ：歯が角ばっていき、 𝐷 ：階段の横幅が小さくなる。なお、 tanh は双曲線関数である（以下の【5.3-注1】）。

微分 𝜕𝑡𝐺,∇𝐺 は、以下のようになる： 𝜕𝑡𝐺=−𝐴𝐵⋅cos⁡𝐵𝑡⋅tanh⁡(𝐶sin⁡𝐷𝑥)∇𝐺=⎡⎢ ⎢⎣−𝐴𝐶𝐷sin⁡𝐵𝑡⋅cos⁡𝐷𝑥cosh2⁡(𝐶sin⁡𝐷𝑥)1⎤⎥ ⎥⎦ これらを式(13)に代入すれば、衝突後の速度 ˙𝒙out を与える式が求まる。特にきれいになるわけではないので、代入した結果は省略する。（数値計算を行う場合には、代入処理はプログラム中で行えばよいので、そもそも書き下す必要はない。）

3次元の場合も同様であり、数値計算を行うと右図のようになる。