キャッチボール（放物運動の運動方程式）

「投げられたボールが $𝑡$ 秒後に、どの位置 $𝒙 𝑡$ にあるか」を計算したい。 $𝒙 𝑡$ は $𝑡$ の関数このサイトでは、関数を表す際、 $𝒙 (𝑡)$ ではなく $𝒙 𝑡$ と表すことが多い。これは、式( $3$ )などを見やすくするためである。 $𝒙 (𝑡)$ の形式のほうが見やすい場合もあるので使い分ける。

ボールの運動 $𝒙 𝑡$ は、初期値( $1$ )と運動方程式から計算できる

キャッチボールをしている場面を想像してみよう。投げられたボールの運動は、投げるたびに異なったものとなるだろう。しかし経験的に分かるように、ボールの運動には再現性がある、即ち、「同じ投げ方」をすればボールの運動は毎回同じになる。だからこそボールの軌道を予測して捕球できるわけである。

ボールの運動を司る法則が存在する

これは非常に興味深いことである。というのも、初期値（＝投げ方）からボールの運動 $𝒙 𝑡$ （＝任意の時刻 $𝑡$ におけるボールの位置）を一意的に決定する物理法則が存在することを意味しているからである。先取りになるが、この物理法則のことを（キャッチボールの）運動方程式という。再現性がある現象を見つければ、そこには物理法則が潜んでいる。そこで、運動方程式を見つけて $𝒙 𝑡$ を計算したい。そのためにはまず、「同じ投げ方」なるものを理論的に扱えるようにしておく必要がある。

「投げ方」を定量化したい

「同じ投げ方」が具体的に何なのかは経験的に分かるだろう。即ち、ボールの運動を一意的に決めるためには、以下の3つを固定すればよい： $ボールを \dots どの位置から投げるかどの方向に投げるかどれくらいの速さで投げるか ⎫ { {⎬ { {⎭ (1)$ とはいえ、これには不満がある。「どの位置から」とか「どの方向に」といった表現は感覚的すぎるのである。今後、何らかの計算を行うためには、これらを $0$ や $1.5$ といった数字で表す（＝定量化する）必要がある。細かいことを言えば、風やボールの回転による影響があるため、初期値( $1$ )だけではボールの運動が確定しない。しかしここでは、それらの影響は無視できるとしている（例えば十分に重いボールを考える）。

ボールの運動を計算するまでのロードマップ

以上により、ボールの運動 $𝒙 𝑡$ を計算するためには、「初期値の定量化」→「運動方程式の導出」→「運動方程式を解く」という3つのステップに分けて考えるのが良さそうである：1.1初期値( $1$ )の定量化：式( $2$ ), ( $4$ )1.2運動方程式の導出：式( $14$ )1.3運動方程式の解

1.1初期値( $1$ )の定量化：式( $2$ ), ( $4$ )

この節では、初期値( $1$ )の定量化を行う。結論から言うと、「どの位置から投げるか」は位置ベクトル $𝒙 0$ （式( $2$ )）で表され、残りの2つ「方向と速さ」は速度ベクトル $˙ 𝒙 0$ （式( $4$ )）で表される。

1.1.1「どこから投げるか」は、デカルト座標( $2$ )で表す

まず、初期値( $1$ )の1つ目「どこから投げるか」である。これは単に、 $𝑡 = 0$ でのボールの位置 $𝒙 0$ である。従って、ボールの位置を定量化する方法を与えればよい。

デカルト座標の復習

これは特に問題ないだろう。即ち、慣れ親しんだデカルト座標を使えばよい。具体的には右図のように、ボールの位置 $𝒙$ を、「原点 $𝑶$ から $𝑥$ 軸方向に $𝑥 [m]$ 、 $𝑦$ 軸方向に $𝑦 [m]$ 、 $𝑧$ 軸方向に $𝑧 [m]$ 」という三つ組のベクトル： $𝒙 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥 𝑦 𝑧 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ によって表すわけである。（あらかじめ「原点 $𝑶$ 」および「互いに直交する $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 軸」を適当に取っておく。）この $𝒙$ のように、太字の変数はベクトルを表すものとする。

ボールの位置はデカルト座標で表す

結局、「ボールをどこから投げるか」は、デカルト座標により $𝒙 0 (2)$ と表すことができる。この章の冒頭でも、投げてから $𝑡$ 秒後のボールの位置を $𝒙 𝑡$ と書いていたが、これについてもデカルト座標で表されているとする。もちろん、デカルト座標系以外の座標系を使ってもよい。例えば、振り子の場合、振れ角によって重りの位置を表してもよい。そのような例は第9章で扱う。

1.1.2「投げる方向と速さ」は、速度ベクトル( $4$ )で表される

次は、初期値( $1$ )の残りの2つ：「投げる方向」と「投げる速さ」を定量化する方法である。投げる「方向」については、その方向を向くベクトルで表現できそうだが、「速さ」についてはどうすれば良いだろうか。

ボールの運動方向と速さは瞬間的には決まらない

注目するのは、ボールの運動方向と速さを知るには、ごく短い間だけでも、ボールの運動を観察しなければならないという事実である。例えば、ボールの運動方向や速さを、撮影された写真から判断しようとする時、1枚の写真だけでは駄目で、連続する複数の写真が必要となることからも分かるだろう。直感的には、位置の「変化の方向」から運動の方向が、「変化の量」から速さが分かりそうである。そこで、右図のように、微小時間 $𝛿 𝑡$ 秒の測定で得られた2つのボール位置 $𝒙 𝑡, 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ をもとに、ボールの運動方向と速さを定量的に得る方法を探ろう。

1次近似が使える

まず、 $𝛿 𝑡$ は非常に小さいので、この間の運動は直線的（＝ $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ が $𝛿 𝑡$ の1次関数）であるとみなせる。詳しくは以下の【1.1-注1】参照。即ち、ある未知の係数 $˙ 𝒙 𝑡$ を用いて、 $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ は以下の形で近似できる： $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝒙 𝑡 + ˙ 𝒙 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (3)$ 左辺 $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ は、右辺にある2つの量 $𝒙 𝑡$ と $˙ 𝒙 𝑡$ から決まるわけだが、 $𝒙 𝑡$ は測定開始時刻 $𝑡$ でのボールの位置なので、 $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ を測定することで新たに得られる情報は、もう一方の $˙ 𝒙 𝑡$ ということになる。よって、「運動の方向と速さ」は、 $˙ 𝒙 𝑡$ に含まれているはずである。

1次近似の係数 $˙ 𝒙 𝑡$ が運動方向と速さを持つ

そこで、 $˙ 𝒙 𝑡$ がどのような量なのか、詳しく見てみよう。まず、上式( $3$ )の右辺第2項は、 $𝛿 𝑡$ 秒間にボールが $𝒙 𝑡$ からどれだけ移動したかを表すベクトルである（右図の赤矢印部分）。よって、 $˙ 𝒙 𝑡$ の向きは、運動方向に等しい。また、同項の大きさ： $| ˙ 𝒙 𝑡 | \cdot 𝛿 𝑡$ は、「 $𝛿 𝑡$ 秒間での移動距離」なので、公式「移動距離=速さ・時間」と見比べれば、ベクトルの大きさ $| ˙ 𝒙 𝑡 |$ は、時刻 $𝑡$ でのボールの速さに等しいことが分かる。つまり、 $˙ 𝒙 𝑡$ は、「ボールの運動方向を向き、大きさが運動の速さに一致する」ベクトルであり、まさに「運動の方向と速さ」を過不足なく持っている。この $˙ 𝒙 𝑡$ を速度ベクトル（あるいは単に速度）という。

初期値の残りは速度ベクトルで表される

以上により、初期値の残りである「投げる方向と速さ」は、 $𝑡 = 0$ における速度ベクトル： $˙ 𝒙 0 (4)$ で表されることになる。非常にきれいな結果が得られたので、運動方程式についても簡潔に書けるのではないかという期待が持てる。なお、実際に $˙ 𝒙 0$ を測定するには、 $𝑡 = 0$ 近傍での微小時間の観測を行って $𝒙 0, 𝒙 0 + 𝛿 𝑡$ を特定し、式( $3$ )を用いればよい。

【1.1-注1】関数の1次近似：式( $5$ )，式( $6$ )

変数 $𝑡$ の任意の関数 $𝑥 𝑡$ に対し、 $𝑡 - 𝑥$ グラフを描いてみる。このグラフ上の任意の1点 $𝑃 = (𝑡, 𝑥)$ の近傍を拡大していくと、右図のように、直線に近づいていく[1]。直線は1次関数で表すことができるので、十分小さな $𝛿 𝑡$ において（＝点 $𝑃$ の近傍では）、 $𝑥 𝑡 + 𝛿 𝑡$ は $𝛿 𝑡$ の1次関数として近似できる： $𝑥 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝑥 𝑡 + ˙ 𝑥 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (5)$ この式( $5$ )を1次近似と言い、 $≐$ は1次近似であることを表す。 $𝛿 𝑡$ の係数 $˙ 𝑥 𝑡$ （＝点 $𝑃$ における接線の傾き）、または、 $˙ 𝑥 𝑡$ を求める操作を微分という[2]。微分は、 $˙ 𝑥$ のようにドットで表す以外にも、 $𝑑 𝒙 𝑑 𝑡$ のように表すこともある。

ベクトルの微分

ベクトル値関数 $𝒙 𝑡$ についても、成分ごとに上式( $5$ )を適用すれば1次近似できる： $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥 𝑡 + 𝛿 𝑡 𝑦 𝑡 + 𝛿 𝑡 𝑧 𝑡 + 𝛿 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ≐ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥 𝑡 + ˙ 𝑥 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 𝑦 𝑡 + ˙ 𝑦 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 𝑧 𝑡 + ˙ 𝑧 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ \equiv 𝒙 𝑡 + ˙ 𝒙 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (6)$ $˙ 𝒙 𝑡$ は、 $𝒙 𝑡$ の各成分を微分したものである。

補足

[1] 1次近似できない関数

グラフ曲線が三角定規の角のように角ばっている場合（右図）、その点の付近をいくら拡大していっても、角ばったままで直線に近づかない。従って、その点では1次近似はできない。このようなことが起きるのは、「壁と衝突するボールの運動」の軌跡のように、瞬間的に運動の向きが変わる場合である。キャッチボールのような運動ではこのような角ばった軌道は取らないので、通常の運動では1次近似できると見なしてよい。

[2] 微分の図示

微分を考える際には、1次近似式( $5$ )を、 $𝑥$ の変化量 $𝛿 𝑥 \equiv 𝑥 𝑡 + 𝛿 𝑡 - 𝑥 𝑡$ を使って書き直すとイメージしやすい（右図）： $𝛿 𝑥 ≐ ˙ 𝑥 \cdot 𝛿 𝑡 (7)$ $𝛿 𝑥$ が $𝛿 𝑡$ に近似的に比例し、その係数が微分 $˙ 𝑥$ となるわけである。今後は、この式( $7$ )の形もよく使うことになる。

1.2運動方程式の導出：式( $14$ )

ボールの運動 $𝒙 𝑡$ を決めるために必要な初期値は、初期位置 $𝒙 0$ と初期速度 $˙ 𝒙 0$ であることが分かった。 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ から $𝒙 𝑡$ が決まるこの状況を模式的に表すと以下のようになる： $𝒙 0, ˙ 𝒙 0 「時間を 𝑡 秒進める法則」 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝒙 𝑡 (8)$ この節では、「時間を $𝑡$ 秒進める法則」、即ち、運動方程式( $14$ )を書き下す。

1.2.1ボールの運動は、加速度ベクトル( $11$ )によって決まる

式( $8$ )の肝である「時間を $𝑡$ 秒進める法則」を求めたい。

微小時間 $𝛿 𝑡$ を考えれば十分

進める時間は任意なのだから、非常に小さな値 $𝛿 𝑡$ としても良い。前節のように1次近似が使いたいわけである。そこで、時刻 $𝑡$ から $𝛿 𝑡$ だけ時間を進めることを考える： $𝒙 𝑡, ˙ 𝒙 𝑡 「時間を 𝛿 𝑡 秒進める法則」 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡, ˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 (9)$ 両辺を対称にするため、右辺にも速度 $˙ 𝒙$ を加えた。これは、「 $𝒙 𝑡$ の関数形が決まっている → その時間微分 $˙ 𝒙 𝑡$ も決まる」ことから正当化できる。この式( $9$ )を漸化式の要領で連続して使用すれば、 $𝑡 = 0$ から始めて $𝛿 𝑡$ ずつ、任意の時刻まで進めることができる。よって、「時間を $𝛿 𝑡$ 秒進める法則」が分かれば、式( $8$ )についても理解したことになる。

再び1次近似を考える

それでは、前節で有効だった1次近似をここでも適用してみよう。式( $9$ )の右辺を1次近似すると、1次近似式( $3$ )の要領で以下のようになる： $𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ 𝒙 𝑡 + ˙ 𝒙 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 ˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ ˙ 𝒙 𝑡 + ¨ 𝒙 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡} (10)$ この式の右辺の未知数は $¨ 𝒙$ のみである（それ以外の $𝒙 𝑡, ˙ 𝒙 𝑡$ は式( $9$ )の左辺として与えられている）。 $¨ 𝒙$ は、速度ベクトル $˙ 𝒙$ の時間微分、即ち、速度の変化率＝右図のように、微小時間間隔 $𝛿 𝑡$ を掛けると、 $𝛿 𝑡$ 秒間での速度の変化量になるような量である。 $¨ 𝒙$ を、加速度ベクトル（または単に加速度）と言う。

加速度ベクトルを与える法則が知りたい

よって結局、ボールの運動を決めるのに必要な量は、任意の時刻 $𝑡$ における加速度ベクトル $¨ 𝒙 𝑡 (11)$ ということになる。これが分かれば、漸化式( $10$ )によって1ステップずつ、任意の時刻まで時間を進めていくことができる（この操作を積分という）。

参考近似の誤差はいくらでも小さくできる

なお、式( $10$ )は近似式なので、等式と見なして時間を進めていくと誤差が生じる。よって、刻み幅 $𝛿 𝑡$ を小さくしていった時に、任意の時刻 $𝑡$ での誤差 $𝐸$ がゼロに収束することを示しておく必要がある。直感的には以下のように、 $𝐸$ を見積もることで示せる。 $𝐸 ∽ (ステップ数 𝑛) \times (1 ステップあたりの誤差 𝜖) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ・ 𝑡 = 𝑛 𝛿 𝑡 より、 𝑛 \propto 1 𝛿 𝑡 ・以下の【 1.2 - 注 1 】より、 𝜖 \propto (𝛿 𝑡) 2 \propto 𝛿 𝑡$ よって、 $𝛿 𝑡 \to 0$ の極限で $𝐸 \to 0$ となる。 $◼$ ただしこの説明では、1ステップでの誤差が次のステップで増幅されていく可能性が考慮されていないので不十分である。厳密に議論しても同じ結論になるのだが、それは第3章で行う。

【1.2-注1】1次近似の誤差は $(𝛿 𝑡) 2$ 程度の量である

1次近似 $𝛿 𝑥 ≐ ˙ 𝑥 \cdot 𝛿 𝑡$ （式( $7$ )）の誤差 $𝜖$ ： $𝜖 \equiv 𝛿 𝑥 - ˙ 𝑥 \cdot 𝛿 𝑡 (12)$ は、 $𝛿 𝑡 \to 0$ としたとき、 $𝛿 𝑡$ よりも早くゼロになる： $l i m 𝛿 𝑡 \to 0 𝜖 𝛿 𝑡 = 0 (13)$ この式は、直感的には、 $𝛿 𝑡$ が十分小さい時、 $𝜖 \propto (𝛿 𝑡) 2$ 程度の量になるということである。これを、「 $𝜖$ は $(𝛿 𝑡) 2$ のオーダーである」という。実際、多項式 $𝜖 = 𝑎 + 𝑏 (𝛿 𝑡) + 𝑐 (𝛿 𝑡) 2 + \dots$ の形を仮定して式( $13$ )に代入してみると、 $𝑎 = 𝑏 = 0$ でなければならない。 $(𝛿 𝑡) 3$ 以降の項は、 $𝛿 𝑡$ が小さければ、 $(𝛿 𝑡) 2$ に比べて小さいので効かない。因みに、「任意の連続関数は多項式でいくらでも精度良く近似できる」という定理（ワイエルシュトラスの多項式近似定理）が成り立つので、多項式を仮定するのは悪くない。

導出

式( $12$ )の両辺を $𝛿 𝑡$ で割って $𝛿 𝑡 \to 0$ の極限をとると $l i m 𝛿 𝑡 \to 0 𝑒 𝛿 𝑡 = l i m 𝛿 𝑡 \to 0 𝛿 𝑥 - ˙ 𝑥 \cdot 𝛿 𝑡 𝛿 𝑡 = l i m 𝛿 𝑡 \to 0 𝛿 𝑥 𝛿 𝑡 - ˙ 𝑥 ∣ 式 (7) より、第 1 項は ˙ 𝑥 に一致 = 0 ◼$

1.2.2キャッチボールの運動方程式：式( $14$ )

後は、加速度 $¨ 𝒙$ を決定するだけである。単純な例として、重力のない宇宙空間では $¨ 𝒙 = 0$ である。なぜなら、ボールは一定の速度で進み続けるため、式( $10$ )の第2式が $˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 = ˙ 𝒙 𝑡$ となるからである。

加速度を測定する方法

加速度 $¨ 𝒙$ がどのような法則に従うかを見出すには、実際に様々な初期値・時刻のもとで $¨ 𝒙$ を測定してみればよい。 $¨ 𝒙$ を測定するには、短い時間間隔で位置 $𝒙$ をで3回測定して、以下の【1.2-注2】の式( $15$ )を使えばよい。

測定から分かっていること

実際にそのような測定が行われ、その結果、 $¨ 𝒙$ は、重力加速度と呼ばれるある定数 $𝒈$ となることが知られている（以下の【1.2-注3】）： $¨ 𝒙 𝑡 = 𝒈 (14)$ ボールは下向きに加速するのだから、 $𝒈$ は下方向を向くベクトル。これが求めたかった運動方程式である。

必要な法則がそろった

以上により、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ が与えられれば、運動方程式( $14$ )によって、任意の時刻 $𝑡$ でのボールの位置 $𝒙 𝑡$ が決まることになる。ボールの素材は無数に考えられるが、それら運動は全てこの1つの単純な運動方程式に支配されているのである（前述のとおり空気抵抗などは無視している）。ボールの運動の違いは、初期値が異なることに起因し、ボールの素材には依存しない。

【1.2-注2】加速度ベクトル $¨ 𝒙 𝑡$ の測定

3つの時刻での位置ベクトル $𝒙 𝑡, 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡, 𝒙 𝑡 + 2 𝛿 𝑡$ を測定する（ $𝛿 𝑡$ はなるべく小さな値）。これらの測定値から加速度ベクトル $¨ 𝒙 𝑡$ は以下のように求まる。 $¨ 𝒙 𝑡 ≃ 𝒙 𝑡 + 2 𝛿 𝑡 - 2 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 + 𝒙 𝑡 𝛿 𝑡 2 (15)$

導出

まず、速度ベクトル $˙ 𝒙 𝑡, ˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡$ は、以下のように決まる：（1次近似式( $10$ )の第1式を $˙ 𝒙 𝑡 ≐ (\dots)$ の形に変形したもの） $˙ 𝒙 𝑡 ≃ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 - 𝒙 𝑡 𝛿 𝑡 ˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≃ 𝒙 𝑡 + 2 𝛿 𝑡 - 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 𝛿 𝑡$ 変形によって $𝛿 𝑡$ の1次関数の形ではなくなったので、等号は $≐$ ではなく $≃$ とした。これらを、加速度ベクトル $¨ 𝒙 𝑡$ ：（同第2式を $¨ 𝒙 𝑡 ≐ (\dots)$ の形に変形したもの） $¨ 𝒙 𝑡 ≃ ˙ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 - ˙ 𝒙 𝑡 𝛿 𝑡$ に代入すると、与式( $15$ )になる。 $◼$

精度を上げる

なお、実際には、式( $15$ )のように $𝑡, 𝑡 + 𝛿 𝑡, 𝑡 + 2 𝛿 𝑡$ の値を使うよりも、 $𝑡, 𝑡 \pm 𝛿 𝑡$ での値を用いた以下の式のほうが精度は良い（中心差分という）： $¨ 𝒙 𝑡 ≃ 𝒙 𝑡 + 𝛿 𝑡 - 2 𝒙 𝑡 + 𝒙 𝑡 - 𝛿 𝑡 𝛿 𝑡 2$

【1.2-注3】重力加速度 $𝒈$

放り投げられた物体は、その物体が何であるかによらず[1]、一定の加速度 $𝒈$ を受ける。その値は、鉛直下向きで大きさが約 $9.8 m / s 2$ である[2]。成分で書くと $𝒈 \approx ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 m / s 2 0 m / s 2 - 9.8 m / s 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ となる（ $𝑧$ 軸を鉛直上向き方向にとっている）。 $𝒈$ を重力加速度という。 [1] 「 $𝒈$ が物体によらない」という性質をガリレイの等価原理と言う。重さや密度にも依存しないことに注意。羽はゆっくり落ちるし、ヘリウム風船は逆に浮き上がってしまうので、成り立っていないような気がするが、これは空気抵抗や空気の浮力のためである。真空中であれば石などと同じように落ちる。[2] $𝒈$ のこの値は、地球上での典型的な値である。例えば、月の上だともっと小さな値になるし、星から遠く離れた重力の働かない宇宙空間だと $𝟎$ になるだろう。地球上であっても場所によって0.5%程度の違いがある。

1.3運動方程式の解

ここまでの議論により、初期位置 $𝒙 0$ ・初期速度 $˙ 𝒙 0$ が与えられれば、運動方程式( $14$ )：（再掲） $¨ 𝒙 𝑡 = 𝒈 (16)$ を解くことで、任意の時刻 $𝑡$ での位置 $𝒙 𝑡$ が決まる。ここまでくれば後は、物理学というよりは、数学的・計算技術的な話である。このように数式に落とし込むことにより、物理的なイメージに頼ることなく、数学の手法によって処理できるようになる。運動方程式( $16$ )は、数学的には、未知のベクトル値関数 $𝒙 𝑡$ に対する2階の微分方程式に過ぎない。

解く方法は2種類に大別される

この節では、運動方程式( $16$ )の解として、数値解と解析解についてそれぞれ述べる：数値解＝コンピュータを用いて計算する近似的な解解析解＝数学的に厳密な解数値解は、多くの場面で使える汎用的な手法だが、近似値なので、誤差が許容範囲内か考慮する必要がある。（本サイトの計算は基本的にこちらを採用する。）解析解は、誤差を含まない厳密な解だが、問題に応じて解法が異なり、そもそもほとんどの場合、求められない。（数学的な側面が強いため、本サイトではどうしても必要なもの以外は扱わない。）

1.3.1数値解

運動方程式( $16$ )を数値的に解くには、上述の1次近似式( $10$ )を使って逐次的に計算を進めていけばよい。即ち、以下の漸化式：（ $𝒙, ˙ 𝒙$ を1つのベクトルにまとめた） $[𝒙 ˙ 𝒙] 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ [𝒙 ˙ 𝒙] 𝑡 + [˙ 𝒙 𝒈] 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (17)$ を用いて、 $𝑡 = 0$ から始めて $𝛿 𝑡$ ずつ進めていけばよい。 $𝛿 𝑡$ を小さくしていけば精度が良くなる。（前節でも述べたが、数学的な正当化は第3章で行う。）微分と積分このように、「いきなり大きな時間幅を考えるのは難しいので、微小な時間幅 $𝛿 𝑡$ を考えることで簡単な関係式を探す」というのが微分の考えであり、「そうして得られた関係式( $17$ )を繋いでいって大きな時間幅での結果を得る」というのが積分の考え方である。このように、微分と積分はペアとなっており、今後も時間発展を計算する際には、「微分形の方程式 → 積分」というロジックを考えることになる。

シミュレーション

実際に数値計算を行うと、右図のようになる。グリッドの間隔は $1 m$ である。

1.3.2解析解：式( $18$ )

運動方程式( $16$ )の解 $𝒙 𝑡$ は、解析的に示すこともできる。実際、初期値 $𝒙 0, ˙ 𝒙 0$ を用いて $𝒙 𝑡 = 𝒙 0 + 𝑡 ˙ 𝒙 0 + 12 𝑡 2 𝒈 (18)$ となる。検算この式は確かに、初期条件「 $𝒙 𝑡 = 0 = 𝒙 0$ および $˙ 𝒙 𝑡 = 0 = ˙ 𝒙 0$ 」を満たす。任意の $𝑡$ において運動方程式 $¨ 𝒙 𝑡 = 𝒈$ が成立していることも、実際に2階微分を計算してみれば分かる。解析解の有用性解析解( $18$ )からは、ボールの運動は時刻 $𝑡$ の2次関数であることが分かる。これは上述の数値解法では分からなかった性質である。このように、解析解のほうが得られる情報は多い。ただし、前述のように、一部の単純な場合を除いて、解析解の導出は困難である。逆に、数値解法は汎用性がある。式( $18$ )の導出の概要まず、運動方程式 $¨ 𝒙 = 𝒈$ より、 $𝒙$ を2階微分すると定数 $𝒈$ になるのだから、 $𝒙$ は $𝑡$ の2次関数になるはずである：（ $𝒂, 𝒃, 𝒄$ は定数） $𝒙 𝑡 = 𝒂 + 𝑡 𝒃 + 𝑡 2 𝒄$ 後は、初期条件 $𝒙 𝑡 = 0 = 𝒙 0$ および $˙ 𝒙 𝑡 = 0 = ˙ 𝒙 0$ と、運動方程式 $¨ 𝒙 = 𝒈$ を満たすように $𝒂, 𝒃, 𝒄$ を求めると、一意的に解( $18$ )が得られる。 $◼$

ボールの運動 𝒙𝑡 は、初期値(1)と運動方程式から計算できる