拘束された剛体の運動方程式の導出（こま、実体振り子）

剛体に拘束条件を追加して、1点または2点を固定した場合の運動を求めたい。

剛体に拘束条件を加える場合、固定点を基準にとるのがよい

例えば、剛体上の1点 $𝒙 0$ を固定すれば、コマ（軸の先端が固定されている）のような運動になるし（右図左）、2点 $𝒙 0, 𝒙 1$ を固定すれば、「その2点を通る軸」の周りの回転運動になる（同右）。

運動方程式の導出は、前章に沿えばよい

運動を計算するには運動方程式を導出すればよいわけだが、導出の手順は、「固定点を表す拘束条件」が増える以外、前章の自由な剛体の場合と基本的に同じである。ただし、剛体の基準点は、重心 $𝒙 g$ ではなく、固定点 $𝒙 0$ にとるのが自然だろう。第11章では基準点として重心を採用したが、そうしたのは、作用・反作用の法則によって拘束力が打ち消し合い、重心運動が拘束力の影響を受けなくなるからであった。固定点がある場合、その固定点から受ける拘束力は打ち消されないので、重心にこだわる必要はない。

運動方程式は、回転に関する式だけになる

第10章で述べたように、剛体の位置・姿勢を決めるのは、剛体上の任意の基準点 $𝒙 0$ と回転行列 $𝑅$ である。今の場合、 $𝒙 0$ を固定しているのだから、 $𝑅$ だけが未知数となる。よって、運動方程式は、 $𝑅$ に関する部分、即ち、回転部分のみとなる。回転の運動方程式を解く際には、前章の11.2節で扱った方法が使えるはずである。

この章の方針

この章では、1点を固定する場合と2点を固定する場合について、それぞれの節で議論を行う：12.11点を固定した剛体12.22点を固定した剛体なお、これらの拘束条件以外にも、滑り・転がりという（馴染みはあるが見るからに複雑そうな）拘束条件もある。これらについては、次の第13章で扱う。

12.11点を固定した剛体

この節では、剛体上の1点 $𝒙 0$ を固定した場合（右図）の運動方程式( $7$ )を導出する。これは、回転のみの運動方程式である。また、外力として重力が働いている場合の数値計算を行う。

12.1.11点を固定した剛体の運動方程式：式( $7$ )

剛体上の1点 $𝒙 0$ を固定した場合でも、運動方程式を導く手順の大枠は、前章（の11.1.1節と11.1.2節）と同じである：1 質点要素の速度 $˙ 𝑿$ を、自由な速度 $𝝎$ で表現し、2 運動方程式から、未知数である拘束力 $𝑭 c$ を消去する。3 後は、慣性モーメント $𝐼 0$ とトルク $𝝉 0$ を用いた形に整形する。 $𝑭 c$ 以下、順に見ていこう。

˙ 𝑿

を

𝝎

で表す：式(

2

)

第11章の【11.1-注1】で見たように、質点要素の速度 $˙ 𝒙 𝑖$ は、「剛体上の1点 $𝒙 0$ の速度 $˙ 𝒙 0$ 」と「角速度 $𝝎$ 」を用いて、以下のように書けるのだった： $˙ 𝑿 \equiv ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝐴 [˙ 𝒙 0 𝝎] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ \equiv 𝛀 (1)$ 拘束がなければ $𝛀$ が自由な速度になるが、今は $𝒙 0$ を固定点しているので $˙ 𝒙 0 = 𝟎$ である。よって、自由な速度は $𝝎$ のみであり、式( $1$ )は以下のように書ける： $˙ 𝑿 = 𝐵 𝝎 𝐵 \equiv ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ - 𝒙 10 \times - 𝒙 20 \times ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (2) (3)$

2運動方程式から

𝑭 c

を消去する：式(

6

)

次に、質点要素に対する運動方程式： $𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑭 + 𝑭 c (4)$ から拘束力 $𝑭 c$ を消したい。ダランベールの原理ダランベールの原理により、拘束力 $𝑭 c$ は、任意の $˙ 𝑿$ と直交する： $˙ 𝑿 T 𝑭 c = 0$ これに式( $2$ )を代入すると、以下の公式が得られる： $𝐵 T 𝑭 c = 0 (5)$ 式( $5$ )より、運動方程式( $4$ )の両辺に $𝐵 T$ を左乗すれば、 $𝑭 c$ が消せる： $𝐵 T 𝑀 ¨ 𝑿 = 𝐵 T 𝑭$ $¨ 𝑿$ に式( $2$ )（の微分）を代入すれば、 $𝝎$ に関する運動方程式が得られる： $𝐵 T 𝑀 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐵 𝝎) = 𝐵 T 𝑭 (6)$ 式の数は、 $𝝎$ の成分と一致するので、過不足のない方程式となっている。

𝐼 0, 𝝉 0

を用いた形に変形する：式(

7

)

後は、式( $6$ )の整形すればよいのだが、計算しなくても結論は推測できる。まず、今考えている運動が、「自由な剛体の運動」でも再現できることに着目する。実際、点 $𝒙 0$ にある質点要素の質量が非常に大きく、初期速度が $˙ 𝒙 0 = 𝟎$ であれば、自由な剛体であっても $𝒙 0$ は固定点のように振る舞う（重力以外の外力を考えている）。この時、重心 $𝒙 g$ は $𝒙 0$ に一致する。このように考えると、運動方程式( $6$ )は、「自由な剛体の運動方程式（の回転部分）において、基準点を $𝒙 g$ から $𝒙 0$ に置き換えたもの」になると予想できる： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 0 𝝎) = 𝝉 0 𝐼 0 \equiv \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 0 | 2 - 𝒙 𝑖 0 𝒙 T 𝑖 0) 𝝉 0 \equiv \sum 𝑖 𝒙 𝑖 0 \times 𝒇 𝑖 (7)$ $𝐼 0$ は慣性モーメント、 $𝝉 0$ はトルク。ともに、 $𝒙 0$ が基準点である。これが正しいことは、実際に計算を行うと分かる（以下の【12.1-注1】）。

【12.1-注1】式( $6$ )の各項の計算

式( $6$ )の左辺の微分を括り出した時、各項は以下の赤字部分のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 [𝐵 T 𝑀 𝐵 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T ⏟ = 𝐼 0 \cdot 𝝎 𝐵 T] - (𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T 𝑀 (𝐵 𝝎) ⏟___⏟___⏟ = 𝟎 = 𝐵 T 𝑭 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T ⏟ = 𝝉 0$ ただし、 $𝐼 0$ は $𝒙 0$ に関する慣性モーメント、 $𝝉 0$ は $𝒙 0$ に関するトルクである： $𝐼 0 \equiv \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 0 | 2 - 𝒙 T 𝑖 0 𝒙 T 𝑖 0) 𝝉 0 \equiv \sum 𝑖 𝒙 𝑖 0 \times 𝒇 𝑖 (8)$

導出

左辺第1項

式( $3$ )で与えた $𝐵$ を代入する： $𝐵 T 𝑀 𝐵 = [𝒙 10 \times 𝒙 20 \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ - 𝒙 10 \times - 𝒙 20 \times ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 0 \times) 2 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 0 | 2 - 𝒙 T 𝑖 0 𝒙 T 𝑖 0) = 𝐼 0 ◼$

左辺第2項

$(𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T 𝑀 𝐵 𝝎 = [˙ 𝒙 10 \times ˙ 𝒙 20 \times \dots] 𝑀 ˙ 𝑿 ∣ 𝒙 0 は固定点なので、 ˙ 𝒙 𝑖 0 = ˙ 𝒙 𝑖 = [˙ 𝒙 1 \times ˙ 𝒙 2 \times \dots] 𝑀 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝟎 ◼$

右辺第1項

$𝐵 T 𝑭 = [𝒙 10 \times 𝒙 20 \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = \sum 𝑖 𝒙 𝑖 0 \times 𝒇 𝑖 = 𝝉 0 ◼$

12.1.2運動方程式( $7$ )を正規形にする：式( $9$ )

求めたかった運動方程式( $7$ )は、自由な剛体における回転部分の運動方程式と同じ形である。よって、解き方も前章の11.2.2節と同じである。

数値的に解くには、正規形にすればよい：式( $9$ )

即ち、式( $7$ )を正規形（1階の微分方程式）に変形したもの： $𝑑 𝑑 𝑡 [𝑅 𝐼 0 𝝎] = [𝝎 \times 𝑅 𝝉 0] (9)$ を、数値的に解けば、剛体の運動 $𝑅 (𝑡)$ が求まる。初期値としては、 $𝑡 = 0$ における赤字部分を与えればよい。もちろん、剛体の固定点の座標が $𝒙 0$ となるように、剛体の初期配置を調節しておく。なお、慣性モーメント $𝐼 0$ は、重心を基準としたもの $𝐼 g$ が計算されていれば、以下の【12.1-注2】から容易に求められる。

【12.1-注2】慣性モーメントとトルクの変換公式（一般化された平行軸の定理）

重心 $𝒙 g$ を基準とする慣性モーメントおよびトルク、それぞれ $𝐼 g, 𝝉 g$ が求まっているとする。この時、基準点を任意の点 $𝒙 0$ に置き換えたもの $𝐼 0, 𝝉 0$ は、以下の公式により計算できる：（ $𝒙 0 g = 𝒙 0 - 𝒙 g$ ） $𝐼 0 = 𝐼 g + 𝒎 (| 𝒙 0 g | 2 - 𝒙 0 g 𝒙 T 0 g) 𝝉 0 = 𝝉 g - 𝒙 0 g \times 𝒇 (10)$ $𝒎$ は剛体の総質量、 $𝒇$ は外力の総和である。これを、（一般化された）平行軸の定理という。

導出

$𝒙 𝑖 0 = 𝒙 𝑖 g - 𝒙 0 g$ と書けることに着目すればよい。

第1式

$𝐼 0 \equiv - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 0 \times) 2 = - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 [(𝒙 𝑖 g - 𝒙 0 g) \times] 2 ∣ 二項展開： (𝐴 + 𝐵) 2 = 𝐴 2 + 𝐴 𝐵 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 2 = - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 g \times) 2 - (𝒙 𝑖 g の 1 次の項) - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 0 g \times) 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (𝒙 𝑖 g の 1 次の項) は以下の関係式により、消える： \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 - 𝒙 g) = 𝑚 (𝒙 g - 𝒙 g) = 𝟎 = 𝐼 g + 0 + 𝑚 (| 𝒙 0 g | 2 - 𝒙 0 g 𝒙 T 0 g) ◼$

第2式

$𝝉 0 \equiv \sum 𝑖 𝒙 𝑖 0 \times 𝒇 𝑖 = \sum 𝑖 (𝒙 𝑖 g - 𝒙 0 g) \times 𝒇 𝑖 = 𝝉 g - 𝒙 0 g \times 𝒇 ◼$

12.1.3例題重力下における、固定点を持つ剛体の運動方程式：式( $12$ )

外力として、重力が働いている場合を考える。

トルク $𝝉 0$ ：式( $11$ )

外力は、「固定点 $𝒙 0$ まわりのトルク $𝝉 0$ 」の形でのみ、運動方程式( $7$ )に含まれる。トルク $𝝉 0$ を求めるには、定義式( $8$ )に $𝒇 𝑖 = 𝑚 𝑖 𝒈$ を代入すればよい： $𝝉 0 = \sum 𝒙 𝑖 0 \times 𝑚 𝑖 𝒈 = 𝒙 g 0 \times 𝑚 𝒈 (11)$ これは、重心 $𝒙 g$ に全ての重力が集中している場合のトルクに等しい。基準点が $𝒙 g$ ではないので、前章のように $𝝉 0 = 𝟎$ にはならない。

運動方程式( $12$ )

上式を運動方程式( $7$ )に代入すると、解くべき方程式は以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 0 𝝎) = 𝒙 g 0 \times 𝑚 𝒈 (12)$

数値シミュレーション

例として、「頂点の1つを固定した三角錐」について数値計算を行うと、右図のようになる。質量は、残りの3頂点に集中している。

12.22点を固定した剛体

固定点が2点 $𝒙 0 𝒙 1$ の場合の剛体の運動方程式( $15$ )を導く。これは、 $𝒙 0 𝒙 1$ を通る軸周りの回転運動である。また、外力として重力が働いている場合の数値計算を行う。

12.2.12点を固定した剛体の運動方程式：式( $15$ )

2点を固定した場合の運動方程式の導出は、前節の12.1.1節をなぞればよい。違いは、自由な速度だけである。

自由な速度は1成分 $𝜔$ のみ：式( $13$ )

運動方程式は、自由な速度に対する方程式なのだから、まず、自由な速度を求める必要がある。前節では角速度 $𝝎$ が自由な速度であったが、固定点 $𝒙 1$ を追加した場合、 $𝝎$ にも拘束がかかることになる。実際、固定点は静止： $˙ 𝒙 1 = 𝟎$ しているのだから、式( $2$ )の第1成分はゼロである： $𝒙 10 \times 𝝎 = 𝟎$ この式は、 $𝝎$ と $𝒙 10$ が平行であることを示しているので、結局、 $𝝎$ の大きさに対応する $𝜔$ が自由な速度である（ $𝜔$ はマイナスにもなる）： $𝝎 = 𝜔 ˆ 𝒙 10 (13)$

固定軸周りの剛体の運動方程式：式( $14$ )

後は、12.1.1節の 1～ 3の議論を繰り返せば、運動方程式が得られる。実際に計算すると以下のようになる（導出は以下の【12.2-注1】）： $˙ 𝜔 = 𝝉 10 𝐼 10 𝝉 10 \equiv ˆ 𝒙 T 10 𝝉 0 （固定軸周りのトルク） 𝐼 10 \equiv ˆ 𝒙 T 10 𝐼 0 ˆ 𝒙 10 （固定軸周りの慣性モーメント） (14)$ $𝒙 10 = 𝒙 1 - 𝒙 0$ であり、 $𝐼 0, 𝝉 0$ は式( $7$ )と同じである。また、 $𝐼 10$ は定数になるので、一度計算するだけでよい。

参考回転角 $𝜃$ で表した運動方程式：式( $15$ )

式( $14$ )のまま解いても良いが、軸周りの運動なので、回転角 $𝜃$ に対する方程式にすることもできる。実際、 $𝜔 = ˙ 𝜃$ が成り立つので（第10章の10.2.2節の $𝝎$ の解釈部分）、式( $14$ )は以下のようになる： $¨ 𝜃 = 𝝉 10 𝐼 10 (15)$ $𝑡 = 0$ における初期値 $𝜃, ˙ 𝜃$ を与えた上で、これを解けば $𝜃 (𝑡)$ が求まる。 $𝜃$ のプラス方向は、 $ˆ 𝒙 10$ の周りの右ねじ回転方向であり、予め、原点（ $𝜃 = 0$ がどの方向を向くか）を決めておく。また、 $𝜃$ と回転角 $𝑅$ の関係式は、第10章のロドリゲスの回転公式【10.2-注1】で与えられる： $𝑅 (𝜃) = ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10 + c o s 𝜃 \cdot (1 - ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10) + s i n 𝜃 \cdot ˆ 𝒙 10 \times (16)$

【12.2-注1】運動方程式( $14$ )の導出

12.1.1節の 1～ 3の議論を繰り返すことで、固定軸周りの剛体の運動方程式( $14$ )を導く。

導出

整形前の運動方程式：式( $19$ )

1今の場合、質点要素の速度 $˙ 𝑿$ を表す式( $2$ )に対応するのは、同式( $2$ )に式( $13$ )を代入した $˙ 𝑿 = 𝐶 𝜔 𝐶 \equiv 𝐵 ˆ 𝒙 10 (17) (18)$ である。後は、2運動方程式( $4$ )： $𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑭 + 𝑭 c$ に $𝐶 T$ 辺々左乗して拘束力 $𝑭 c$ を消し： $𝐶 T 𝑀 ¨ 𝑿 = 𝐶 T 𝑭$ 3その $¨ 𝑿$ 部分に式( $17$ )を代入したもの： $𝐶 T 𝑀 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐶 𝜔) = 𝐶 T 𝑭 (19)$ を変形していけばよい。

運動方程式( $19$ )の整形

式( $19$ )の左辺の微分を括り出した時、各項は以下の赤字部分のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 [𝐶 T 𝑀 𝐶 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T ⏟ ˆ 𝒙 T 10 𝐼 0 ˆ 𝒙 10 𝝎 𝐵 T] - (𝑑 𝑑 𝑡 𝐶) T 𝑀 (𝐶 𝜔) ⏟___⏟___⏟ 𝟎 = 𝐶 T 𝑭 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐵) T ⏟ ˆ 𝒙 T 10 𝝉 0$

左辺第1項

$𝐶$ の定義( $18$ )により $𝐶 = 𝐵 ˆ 𝒙 10 (20)$ である（ $𝐵$ は式( $3$ )）。これを使えば、 $𝐼 0$ を括り出せる： $𝐶 T 𝑀 𝐶 = ˆ 𝒙 T 10 𝐵 T 𝑀 𝐵 ⏟ = 𝐼 0 ˆ 𝒙 10$ これが定数であることは以下のように分かる： $𝑑 𝑑 𝑡 (ˆ 𝒙 T 10 𝐼 0 ˆ 𝒙 10) = ˆ 𝒙 T 10 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐼 0) ˆ 𝒙 10 = ˆ 𝒙 T 10 (𝝎 \times 𝐼 0 - 𝐼 0 𝝎 \times) ˆ 𝒙 10 ∵ 前章の【 11.1 - 注 3 】 = 0 - 0 ∵ 式 (13)$

左辺第2項

【12.1-注1】と同様にゼロである： $(𝑑 𝑑 𝑡 𝐶) T 𝑀 (𝐶 𝜔) = 𝟎$

右辺第1項

式( $20$ )を代入すればよい： $𝐶 T 𝑭 = ˆ 𝒙 T 10 𝐵 T 𝑭 ⏟ = 𝝉 0 ◼$

12.2.2例題重力下における、固定軸を持つ剛体の運動方程式：式( $22$ )

例題として、固定軸を持つ剛体の、重力下での運動を考える。

運動方程式：式( $21$ )

まず、トルク $𝝉 0$ は、1点のみを固定した場合の式( $11$ )と同じである： $𝝉 0 = 𝒙 g 0 \times 𝑚 𝒈$ よって、運動方程式( $15$ )は以下のようになる： $¨ 𝜃 = ˆ 𝒙 T 10 𝒙 g 0 \times 𝑚 𝒈 ˆ 𝒙 T 10 𝐼 0 ˆ 𝒙 10 (21)$ 右辺において、 $𝒙 g 0$ 以外は、全て定数である。

回転角 $𝜃$ に関する運動方程式：式( $22$ )

運動方程式( $21$ )を計算しやすくするには、完全に $𝜃$ に関する式にするのがよい。そのためには、 $𝒙 g 0$ を $𝜃$ で表式せばよく、実際に計算すると以下のようになる（導出は以下の【12.2-注2】）： $¨ 𝜃 = - 𝑚 𝒈 T (1 - ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10) ˜ 𝒙 g 0 ˆ 𝒙 T 10 𝐼 0 ˆ 𝒙 10 s i n 𝜃 (22)$ $𝜃$ の原点は、重心が最も下がった位置とし、その位置での $𝒙 g 0$ を $˜ 𝒙 g 0$ とおいている。緑字部分は定数なので、任意の配置を1つ決めて計算しておけばよい。この運動方程式( $22$ )は、極座標表示の2次元振り子（第9章の9.2.2節）と同じ形になっている。

数値シミュレーション

数値計算を行うと、右図のようになる。

【12.2-注2】運動方程式( $21$ )の分子

運動方程式( $21$ )の分子： $ˆ 𝒙 T 10 𝒙 g 0 \times 𝑚 𝒈 (23)$ を変形して、回転角 $𝜃$ のみが未知数になるようにすると、以下のようになる： $- 𝑚 𝒈 T (1 - ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10) ˜ 𝒙 g 0 s i n 𝜃 (24)$ ただし、重心が最も下がった位置を $𝜃 = 0$ とし、その位置での $𝒙 g 0$ を $˜ 𝒙 g 0$ とする。

導出

まず、 $𝒙 g 0$ と $˜ 𝒙 g 0$ は、回転行列 $𝑅$ で結び付けられる： $𝒙 g 0 = 𝑅 ˜ 𝒙 g 0$ これを、（ $𝑅$ に回転公式( $16$ )を代入して） $𝜃$ に関する式にした後、式( $23$ )に代入して変形すれば、式( $24$ )になる： $式 (23) = 𝑚 𝒈 T ˆ 𝒙 10 \times 𝒙 g 0 (∵ 𝒂 T 𝒃 \times 𝒄 = 𝒄 T 𝒂 \times 𝒃) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝒙 g 0 = 𝑅 ˜ 𝒙 g 0 = [ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10 + c o s 𝜃 \cdot (1 - ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10) + s i n 𝜃 \cdot ˆ 𝒙 10 \times] ˜ 𝒙 g 0 ˆ 𝒙 10 \times ˆ 𝒙 10 = 𝟎 𝒈 T ˆ 𝒙 10 \times 1 \cdot ˜ 𝒙 g 0 = 0 (∵ 3 つのベクトルは同一平面上にある) = 𝑚 𝒈 T ˆ 𝒙 10 \times ˆ 𝒙 10 \times ˜ 𝒙 g 0 s i n 𝜃 ∣ ˆ 𝒙 10 \times ˆ 𝒙 10 \times = - (1 - ˆ 𝒙 10 ˆ 𝒙 T 10) (∵ 簡約公式【 10.2 - 注 2 】) = 式 (24) ◼$

剛体に拘束条件を加える場合、固定点を基準にとるのがよい

運動方程式の導出は、前章に沿えばよい

運動方程式は、回転に関する式だけになる

この章の方針

12.11点を固定した剛体

12.1.11点を固定した剛体の運動方程式：式(7)

【12.1-注1】式(6)の各項の計算

導出

12.1.2運動方程式(7)を正規形にする：式(9)

数値的に解くには、正規形にすればよい：式(9)

【12.1-注2】慣性モーメントとトルクの変換公式（一般化された平行軸の定理）

導出

12.1.3例題重力下における、固定点を持つ剛体の運動方程式：式(12)

トルク 𝝉0 ：式(11)

運動方程式(12)

数値シミュレーション

12.22点を固定した剛体

12.2.12点を固定した剛体の運動方程式：式(15)

自由な速度は1成分 𝜔 のみ：式(13)

固定軸周りの剛体の運動方程式：式(14)

参考回転角 𝜃 で表した運動方程式：式(15)

【12.2-注1】運動方程式(14)の導出

導出

整形前の運動方程式：式(19)

運動方程式(19)の整形

12.2.2例題重力下における、固定軸を持つ剛体の運動方程式：式(22)

運動方程式：式(21)

回転角 𝜃 に関する運動方程式：式(22)

数値シミュレーション

【12.2-注2】運動方程式(21)の分子

導出

12.1.11点を固定した剛体の運動方程式：式( $7$ )

【12.1-注1】式( $6$ )の各項の計算

12.1.2運動方程式( $7$ )を正規形にする：式( $9$ )

数値的に解くには、正規形にすればよい：式( $9$ )

12.1.3例題重力下における、固定点を持つ剛体の運動方程式：式( $12$ )

トルク $𝝉 0$ ：式( $11$ )

運動方程式( $12$ )

12.2.12点を固定した剛体の運動方程式：式( $15$ )

自由な速度は1成分 $𝜔$ のみ：式( $13$ )

固定軸周りの剛体の運動方程式：式( $14$ )

参考回転角 $𝜃$ で表した運動方程式：式( $15$ )

【12.2-注1】運動方程式( $14$ )の導出

整形前の運動方程式：式( $19$ )

運動方程式( $19$ )の整形

12.2.2例題重力下における、固定軸を持つ剛体の運動方程式：式( $22$ )

運動方程式：式( $21$ )

回転角 $𝜃$ に関する運動方程式：式( $22$ )

【12.2-注2】運動方程式( $21$ )の分子