剛体の座標・速度

剛体の運動方程式を求めたい（前編）。

この章からは、「回転するこま」や「床を転がるボール」といった、剛体の運動を扱う。剛体とは、大きさを持っており、かつ、変形が無視できる物体のことである。前章までは、質点（＝大きさを無視できる物体）を主に扱ってきたが、その理解をもとに、大きさを持つ現実的な物体へと議論を進めていくわけである。

剛体の運動方程式(1)は成分が多すぎる→自由な座標を考える

知りたいのは、剛体の運動を求める方法である。ここで、剛体を、無数の質点（＝質点要素）の集合とみなせば、前章までの質点の理論が援用できそうである。全ての質点要素の運動を決めれば、剛体の運動も決まるというわけである。質点要素 𝒙𝑖 （ 𝑖 は質点要素を区別するラベル）に対する運動方程式は、これまで同様、外力 𝒇𝑖 と拘束力 𝒇c𝑖 を用いて以下の形になる： ⎡⎢ ⎢⎣𝑚1𝑚2⋱⎤⎥ ⎥⎦⏟___⏟___⏟𝑀⎡⎢ ⎢⎣¨𝒙1¨𝒙2⋮⎤⎥ ⎥⎦⏟¨𝑿=⎡⎢ ⎢⎣𝒇1𝒇2⋮⎤⎥ ⎥⎦⏟𝑭+⎡⎢ ⎢⎣𝒇c1𝒇c2⋮⎤⎥ ⎥⎦⏟𝑭c(1) 外力 𝑭 は重力などの既知の力である。拘束力 𝑭c についても、第8章の【8.2-注4】で見たように、拘束条件が与えられれば書き下すことができる。

質点要素 𝒙𝑖 に課せられる拘束条件は、「物体が変形しない」即ち「質点要素間の距離が一定」である： 𝐺𝑖𝑗≡|𝒙𝑖−𝒙𝑗|=const.(2) 第12章で扱うように、剛体自体にも拘束がかかっている場合には、それも拘束条件に加える必要がある。これにより 𝑭c が求まるので、運動方程式(1)が確定する。よってし、全ての質点要素の時間発展 𝒙𝑖(𝑡) を、少なくとも原理的には、計算することができる。

しかしこのままだと、無数にある質点要素の全てについて時間発展を追う必要があり、直接解くのは難しそうである。そこで変数の数を減らすため、第9章のように、運動方程式(1)を自由な座標を用いたものに書き換えるという方針で考えることにしよう。自由な座標は、直感的には、平行移動と回転に分離できそうである。となると、回転を表す自由な座標が分かれば良いわけだが、より扱いやすい自由な「速度」から考えるのが良い。というのも、自由な「座標」は、拘束条件を満たすあらゆる状態を考慮する必要があるのに対し、自由な「速度」は、変化できる方向を考えるだけで済むからである。

以上を踏まえてこの章では、剛体の自由な座標がどのようなものになるかを、剛体の位置と回転に分離するという方針で、以下のように議論する：10.1剛体の位置と回転を分離する10.2回転の自由な速度：角速度ベクトル 𝝎 10.3回転の自由な座標本来の目的は、剛体の運動方程式(1)を自由な座標（または自由な速度）で表すことであるが、これは次の第11章で行う。

10.1剛体の位置と回転を分離する

拘束条件(2)から、自由な座標を求めたいのだが、いきなりは難しい。この節では第1段階として、剛体の状態を決めるには、「剛体上の1点 𝒙0 」と「回転行列 𝑅 」を与えればよいことを見る。 𝒙0 は剛体の位置を表し、 𝑅 は剛体の向きを表す。

10.1.1剛体の自由度は 6 だろう

剛体を構成する質点要素 𝒙𝑖 は非常に多いが、一方で、拘束条件 𝐺𝑖𝑗 の数も膨大である。そのため、自由な座標の成分の数（＝自由度）は少なくなっていると期待できる。実際、以下の【10.1-注1】のように、自由度が 6 しかないことが推測される（数学的な議論は10.2節で行う）。この程度であれば、自由な座標を求めて、運動方程式の形まで持っていけるのではないだろうか。

10.1.2剛体の配置は 𝒙0 と 𝑅 で決まる：式(6)

剛体上の任意の1点 𝒙0 に着目すると、これは剛体を動かすことにより任意の値を取り得るので、自由な座標の一部として採用してよい。なお、 𝒙0 は剛体とともに動いていればよく、文字通り剛体上にある必要はない（例えばドーナツ型の剛体の場合、その中心を 𝒙0 にとってもよい）。

残りは、回転に対応する自由度である。まず、拘束条件(2)を、 𝒙0 を基準にした相対座標 𝒙𝑖0≡𝒙𝑖−𝒙0 （右図）に関する式として書き直すと、以下のように簡単になる：（導出は以下の【10.1-注2】） 𝒙T𝑗0𝒙𝑇𝑖0=const.(3) この式を、 𝒙𝑖0 を未知数とする1次方程式とみなせば、 𝑗=1,2,3 と変えて3本集めれば、 𝒙𝑖0 の3つの成分が決まる。即ち、 𝒙10,𝒙20,𝒙30 さえ分かれば、全ての 𝒙𝑖0 が確定する。よって、この3つのベクトルの中に、回転の情報は全て含まれることになる。

実際にやってみよう。式(3)において 𝑗=1,2,3 ととれば、以下の3本の連立1次方程式が得られる：（最右辺は 𝑡=0 での値） ⎡⎢ ⎢ ⎢⎣𝒙T10(𝑡)𝒙T20(𝑡)𝒙T30(𝑡)⎤⎥ ⎥ ⎥⎦𝒙𝑖0(𝑡)=const.=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣𝒙T10(0)𝒙T20(0)𝒙T30(0)⎤⎥ ⎥ ⎥⎦𝒙𝑖0(0) 𝒙10,𝒙20,𝒙30 を1次独立にとっておけば、赤字部分は逆行列を持つので、その逆行列を左乗することにより、 𝒙𝑖0(𝑡) が決まる： 𝒙𝑖0(𝑡)=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣𝒙T10(𝑡)𝒙T20(𝑡)𝒙T30(𝑡)⎤⎥ ⎥ ⎥⎦−1⎡⎢ ⎢ ⎢⎣𝒙T10(0)𝒙T20(0)𝒙T30(0)⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⏟____⏟____⏟≡𝑅(𝑡)𝒙𝑖0(0)∴𝒙𝑖0(𝑡)=𝑅(𝑡)𝒙𝑖0(0)(4) この 3×3 行列 𝑅(𝑡) さえ分かれば、式(4)により全ての 𝑖 に対して 𝒙𝑖0(𝑡) が、（初期値 𝒙𝑖0(0) のもとで）決まることになる。 𝑅 を回転行列という。

以上により、任意の質点要素の位置 𝒙𝑖(𝑡) は 剛体上の一点𝒙0(𝑡)回転行列𝑅(𝑡)}(5) が与えられれば、以下のように決まる： 𝒙𝑖(𝑡)=𝒙0(𝑡)+𝒙𝑖0(𝑡)∵𝒙𝑖0≡𝒙𝑖−𝒙0=𝒙0(𝑡)+𝑅(𝑡)𝒙𝑖0(0)∵式(4)=𝒙0(𝑡)+𝑅(𝑡)(𝒙𝑖(0)−𝒙0(0))(6)

10.1.3回転行列 𝑅 の自由度は3

剛体の回転は、回転行列 𝑅 で表されることが分かった。この 𝑅 が自由な座標であればよいのだが、そうではなく、 𝑅 にはまだ拘束条件が残っている。実際、式(4)を拘束条件(7)に代入して得られる 𝒙T𝑖0(𝑡)𝒙𝑗0(𝑡)=𝒙T𝑖0(0)𝑅T(𝑡)𝑅(𝑡)𝒙𝑗0(0)⏟_____⏟_____⏟≡𝐴(𝑡)=const.=𝒙T𝑖0(0)𝒙𝑗0(0)⏟__⏟__⏟𝐴(0) において、全ての 𝑖,𝑗 に対して 𝐴(𝑡)=𝐴(0) が成り立つための必要十分条件は、以下である： 𝑅T𝑅=1(9) 右辺の 1 は単位行列。数学的には、この式(9)が、回転行列の定義である（以下の【10.1-注3】）。

式(9)は 3×3 の行列の方程式なので、 9 個の拘束条件がかかっているように見える。しかし、左辺は、 𝑅 の値によらず自動的に対称行列（ 𝐴=𝐴T を満たす行列）となるため、左辺の「右上三角部分の3成分」と「左下三角部分の3成分」の値は自動的に等しい。よって、独立な条件は 6 個のみである。よって、この条件の数を引いた 9−6=3 が、 𝑅 の自由度となる。よって結局、剛体全体の自由度は、 𝒙0 の自由度 3 と 𝑅 の自由度3、合わせて 6 自由度となり、上述の【10.1-注1】での推測が正しかったことが分かる。

10.2回転の自由な速度：角速度ベクトル 𝝎

前節までの議論により、質点要素の数だけ存在していた変数を、有限個の変数(5)にまで落とし込むことができた。しかし、回転行列 𝑅 には、まだ拘束条件(9)が残っているので、 𝑅 は回転の自由な座標ではない。自由な座標を知りたいのだが、この章の冒頭でも述べたように、自由な「速度」の導出をまず考えるのが良い。

この節では、 𝑅 の自由な「速度」である角速度ベクトル 𝝎 を導く（式(16)）。

10.2.1 𝑅 の自由な速度は、式(13)の 𝑎,𝑏,𝑐

まず、回転行列 𝑅 の「速度」 ˙𝑅 に対する拘束条件を得るには、拘束条件(9) 𝑅T𝑅=1 の時間微分を取ればよい。しかしここでは、積の順序を交換した 𝑅𝑅T=1 の微分を考えることにする： 𝑑𝑑𝑡(𝑅𝑅T)=˙𝑅𝑅T+𝑅˙𝑅T=0∴˙𝑅𝑅T+(˙𝑅𝑅T)T=0(12) 一般に 𝐴𝐵=1 ならば 𝐵𝐴=1 なので積の順序を交換してよい。交換したのは、上式の赤字部分が後の式(14)に現れるようにするためである。

上式(12)より、赤字部分は反対称行列（ 𝐴+𝐴T=0 となる行列）である。このような行列は、3つの数 𝑎,𝑏,𝑐 により ˙𝑅𝑅T=⎡⎢ ⎢⎣−0−𝑎𝑏−𝑎−0𝑐−𝑏−𝑐0⎤⎥ ⎥⎦(13) と書ける。 𝑎,𝑏,𝑐 は、任意の値をとれるため、自由な速度になっている。

10.2.2 𝑎,𝑏,𝑐 は角速度ベクトル 𝝎 の成分：式(16)

自由な速度は見つかったわけだが、この式(13)はどのような物理的意味を持っているのだろうか。速度に関する量なので、時刻 𝑡+𝛿𝑡 における相対座標 𝒙𝑖0(𝑡+𝛿𝑡) の1次近似を考えればよいはずである。式(4)より：（時刻を明示していない量は 𝑡 での値） 𝒙𝑖0(𝑡+𝛿𝑡)=𝑅(𝑡+𝛿𝑡)𝒙𝑖0(0)∣1次近似：𝑅(𝑡+𝛿𝑡)≐𝑅+˙𝑅⋅𝛿𝑡≐(𝑅+˙𝑅⋅𝛿𝑡)𝒙𝑖0(0)∣1=𝑅T𝑅を挿入して𝑅をくくりだす=(1+˙𝑅𝑅T⋅𝛿𝑡)𝑅𝒙𝑖0(0)∣式(4)=(1+˙𝑅𝑅T⋅𝛿𝑡)𝒙𝑖0(𝑡)(14) (⋯) 部分は、 𝒙𝑖0(𝑡) を 𝒙𝑖0(𝑡+𝛿𝑡) に変化させる行列、即ち、 𝛿𝑡 の間における微小回転を表す行列である。この行列の 𝛿𝑡 の係数が、ちょうど式(13)になっている。

ところで一般に、「単位ベクトル 𝒆=[𝑒1𝑒2𝑒3]T を軸とし、微小角度 𝛿𝜃 だけ右ねじ回転するような回転行列 𝑅(𝒆,𝛿𝜃) 」は、1次近似の範囲で以下のように書ける： 𝑅(𝒆,𝛿𝜃)≐1+𝛿𝜃⋅𝒆×𝒆×≡⎡⎢ ⎢⎣−0−𝑒3−𝑒2−𝑒3−0−𝑒1−𝑒2−𝑒1−0⎤⎥ ⎥⎦(15) 以下の【10.2-注1】の回転行列の公式(17)において、 𝜃 が小さいという近似： cos⁡𝜃≐1,sin⁡𝜃≐𝜃 を行ったもの。

式(15)と元の式(14)を見比べると、あるベクトル 𝝎 を 𝝎×=˙𝑅𝑅T(16) となるように定義したくなる。そうすれば、式(14)は 𝒙𝑖0(𝑡+𝛿𝑡)≐(1+𝛿𝑡⋅𝝎×)𝒙𝑖0(𝑡) となり、 (⋯) 部分が式(15)と同じ形になる。よって (⋯) 部分は、「 𝝎 方向を軸として角度 |𝝎|𝛿𝑡 だけ右ねじ回転」させるような回転行列を表している。要するに、 𝝎 の物理的意味は、「向きが回転軸の方向で、大きさが右ねじ回転の速さになるベクトル」ということである。 𝝎 を角速度（または角速度ベクトル）という。このように直感的にも分かりやすい意味を持つ 𝝎 を、自由な速度として使うのが自然だろう。

以上により、剛体の自由な速度は、「剛体上の基準点の速度 ˙𝒙0 」と「角速度 𝝎 」である。質点要素の速度 ˙𝒙𝑖 を、これらを用いて表すには、式(6)を時間微分すればよく、以下のようになる：（全ての量は時刻 𝑡 でのもの） ˙𝒙𝑖=˙𝒙0+𝝎×(𝒙𝑖−𝒙0)

10.3回転の自由な座標

回転運動の自由な速度として角速度 𝝎 （式(16)）が得られたので、これをもとに自由な座標 𝜽 が得られないだろうか。この節では、それが不可能であることを示す。その後、自由な座標の例として、オイラー角と角度ベクトルを紹介する。

10.3.1 ˙𝜽=𝝎 を満たす自由な座標 𝜽 は、存在しない

さて、欲しかったのは、回転行列 𝑅 の自由な座標 𝜽 であった。角速度 𝝎 が求まったのだから、そこから導けるのではないだろうか。即ち、もし、 ˙𝜽=𝝎 となるような 𝜽 が存在すれば、それが最も自然な 𝜽 だと考えられる（速度 ˙𝒙 が座標 𝒙 の微分であったように）。しかし、以下の【10.3-注1】のように、そのような 𝜽 は存在しない。自由な座標 𝜽 自体が存在しないことを意味しているわけではない。実際、すぐ次の段落で自由な座標の具体例を与える。