二重振り子の運動方程式の導出

二重振り子の運動 $𝒙 1 (𝑡), 𝒙 2 (𝑡)$ が知りたい。

二重振り子の拘束力 $𝑭 c$ を求めたい

二重振り子は、2つのおもりを持つ振り子である（右図）。

運動方程式：式( $1$ )

第6章と同様に、それぞれの重りの位置 $𝒙 1, 𝒙 2$ に対する運動方程式を、まとめて大文字で表す：（ $𝑭$ は重力、 $𝑭 c$ は拘束力） $[𝑚 1 0 0 𝑚 2] ⏟__⏟__⏟ 𝑀 [¨ 𝒙 1 ¨ 𝒙 2] ⏟ ¨ 𝑿 = [𝒇 1 𝒇 2] ⏟ 𝑭 + [𝒇 c 1 𝒇 c 2] ⏟ 𝑭 c ∴ 𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑭 + 𝑭 c (1)$

二重振り子の拘束条件：式( $2$ )

拘束された運動を求めるには、拘束条件が必要である。二重振り子の拘束条件はひもの長さ $𝑙 1, 𝑙 2$ が一定（右上図）である。これを式で表すと以下のようになる： $𝑮 (𝑿) \equiv [𝐺 1 𝐺 2] \equiv [| 𝒙 1 | - 𝑙 1 | 𝒙 2 - 𝒙 1 | - 𝑙 2] = 𝟎 (2)$ これは、「2つのおもりと2つの拘束条件」があるような問題の例となっている。

拘束力 $𝑭 c$ が知りたい

運動方程式( $1$ )を解くために知る必要があるのは、これまで同様、拘束力 $𝑭 c$ と、初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ に対する拘束条件である。 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ に対する拘束条件については、今回も $𝑮 = ˙ 𝑮 = 𝟎$ となる。問題は、拘束力 $𝑭 c$ である。振り返り第6章でも述べたが、複数の物体がある系（＝多体系）では、各物体に対してダランベールの原理（＝拘束力は拘束面に垂直）を適用しただけでは、 $𝑭 c$ の向きが決まらない。第6章では、作用・反作用の法則を用いてダランベールの原理を多体系に拡張したわけだが、今回も、それと同じような考察が必要となるはずである。

この章の方針

そこでこの章では、拘束力 $𝑭 c$ を求めておもりの運動 $𝑿 𝑡$ を計算するために、以下の3つの節に分けて議論を行う：8.1拘束力 $𝑭 c$ の向きが決まらない8.2多体系のダランベールの原理 → 拘束力 $𝑭 c$ 8.3物体の運動 $𝑿 𝑡$ の計算

8.1拘束力 $𝑭 c$ の向きが決まらない

第6章でボール同士の衝突を考えた時、問題となったのは、「各々のボールにダランベールの原理を適用すると、未知係数の数が多くなりすぎる」ということだった。この節では、二重振り子の場合にも同じ問題が生じることを確認する。

8.1.1拘束力 $𝑭 c$ に対する拘束条件：式( $4$ )

初期値に対する拘束条件：式( $3$ )

まず、初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ に対する拘束条件は、これまでと同様に $𝑮 = ˙ 𝑮 = 𝟎$ である： $𝑮 (𝑿) = 𝟎 ˙ 𝑮 (𝑿) \equiv 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 ˙ 𝑿 = 𝟎 ⎫ { {⎬ { {⎭ (3)$

拘束力 $𝑭 c$ に対する拘束条件：式( $4$ )

拘束力 $𝑭 c$ に対する拘束条件は、 $𝑮 = 𝟎$ の2階微分： $¨ 𝑮 = 𝟎 (4)$ である。これを満たしさえすれば、初期条件( $3$ )と合わせることで、拘束条件 $𝑮 = 𝟎$ は常に成立する。式( $4$ )の成分は2つしかないので（式( $2$ )）、ここから得られる2つの条件だけでは、 $𝑭 c$ の6個の成分を完全に決めることはできない。6個の成分を決めるには、6個の条件が必要。よって、拘束条件以外の物理的な条件を追加する必要がある。ここまでは、前章と同じである。

8.1.2各々の物体に対するダランベールの原理より式( $5$ ) → 未知係数が多すぎる

拘束力 $𝑭 c$ に課すべき条件は、拘束条件( $4$ )だけでは足りない。これに追加するものとして、各々の物体にダランベールの原理を適用することを考える。

ダランベールの原理を適用してみる

まず、拘束力 $𝑭 c$ は、2つの拘束条件 $𝐺 1 = 𝐺 2 = 0$ に由来する拘束力、それぞれ $𝑭 c 1 𝑭 c 2$ を足し合わせたものになる（力の加法性による）： $𝑭 c = 𝑭 c 1 + 𝑭 c 2 (5)$ ここで、物体ごとにダランベールの原理を適用することを考える。ダランベールの原理により拘束力は拘束面に垂直なので、「物体 $𝒙 𝑖$ が拘束条件 $𝐺 𝑗$ により受ける拘束力 $𝒇 c 𝑖 𝑗$ の向き」は、 $\nabla 𝑖 𝐺 𝑗$ と平行である： $𝒇 c 𝑖 𝑗 = 𝜆 𝑖 𝑗 \nabla 𝑖 𝐺 𝑗$ $𝜆 𝑖 𝑗$ は未知の係数であり、 $\nabla 𝑖$ は $𝒙 𝑖$ での偏微分 $\nabla 𝑖 = (𝜕 𝜕 𝒙 𝑖) T$ である。

1つのベクトルにまとめておく：式( $6$ )

これらをまとめて書くと、式( $5$ )は以下のようになる： $𝑭 c = [𝒇 c 11 𝒇 c 21] + [𝒇 c 12 𝒇 c 22] = [𝜆 11 0 0 𝜆 21] [\nabla 1 𝐺 1 \nabla 2 𝐺 1] + [𝜆 12 0 0 𝜆 22] [\nabla 1 𝐺 2 \nabla 2 𝐺 2] \equiv [𝜆 11 0 0 𝜆 21] \nabla 𝐺 1 + [𝜆 12 0 0 𝜆 22] \nabla 𝐺 2 (6)$ $\nabla 𝐺 𝑖$ は、 $𝐺 𝑖$ を $𝑿$ で微分したものである： $\nabla 𝐺 𝑖 \equiv [\nabla 1 𝐺 𝑖 \nabla 2 𝐺 𝑖] \equiv 𝑑 𝐺 𝑖 𝑑 𝑿 T$ 最右辺は、括弧をつけて $(𝑑 𝐺 𝑖 𝑑 𝑿) T$ としたほうが誤解がないが、後で見づらくなるので括弧は省略する。

やはり未知数が多すぎて、拘束力 $𝑭 c$ が決まらない

式( $6$ )の未知係数 $𝜆 𝑖 𝑗$ を全て決めれば拘束力 $𝑭 c$ が決まる。しかし、式( $6$ )の $𝜆 𝑖 𝑗$ の数は「物体の数」×「拘束条件の数」なのに対し、式( $4$ )は「拘束条件の数」しか存在しないため、 $𝜆 𝑖 𝑗$ を一意的に決めるには不十分である。

8.1.3ダランベールの原理は式( $7$ )のように拡張できるのではないか

この状況は、ボール同士の衝突（第6章）の場合と同じである。

式( $6$ )は、式( $7$ )のように書ける？

ボール同士の衝突では、作用・反作用の法則により、両方のボールの未定乗数が等しくなり（ $𝜆 1 = 𝜆 2$ ）、拘束力は $𝑭 c = 𝜆 \nabla 𝐺$ という形に書けたのだった。もし今回も、同様の関係式 $𝜆 1 𝑗 = 𝜆 2 𝑗$ が成り立つとすれば、式( $6$ )は、以下の形で書けることになる： $𝑭 c = 𝜆 1 \nabla 𝐺 1 + 𝜆 2 \nabla 𝐺 2 = [\nabla 𝐺 1 \nabla 𝐺 2] [𝜆 1 𝜆 2] \equiv 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T 𝝀 (7)$ そうすれば、未知数は $𝝀$ のみとなり、その成分数は、拘束条件( $4$ )の数と一致するので、 $𝑭 c$ が決まることになる。

式( $7$ )を示したい

式( $7$ )は成立するだろうか。確かに、拘束運動と衝突は似ており、実際、衝突が連続的に生じているのが拘束運動であると見なすこともできるので、同様の式が成立している可能性はある。しかし、第6章で扱ったのは、球対称なボールの衝突という特殊な状況に過ぎない。式( $7$ )は、考え得る中で最も単純な形をしているが、果たしてそう上手くいくのだろうか。これを次節で考える。式( $6$ )の微分を実際に実行して、振り子の各ひもに対して作用・反作用の法則を使うと、確かに式( $7$ )が成り立つことが言える。しかしここでは、二重振り子に限らない一般論として示したい。

8.2多体系のダランベールの原理 → 拘束力 $𝑭 c$

この節では、式( $7$ )が確かに成立することを見る。その後、拘束力 $𝑭 c$ を与える公式( $27$ )を示す。

8.2.1拘束力 $𝑭 c$ は、運動エネルギー( $10$ )を変化させない

ここでも、ボール同士の衝突（第6章）における弾性衝突の議論を参考にしよう。弾性衝突では「運動の勢い」が保存するのであった。

拘束された運動でも「運動の勢い」を表す量が存在して、保存するはず

拘束された運動においても、「運動の勢い」が保存していると考えられる。実際、2重振り子の例をイメージしても分かるように、全体の運動がどんどん激しくなっていったり、減衰して止まったりすることは考えづらい。とりあえず簡単のため、外力 $𝑭$ （＝拘束力以外の力、例えば重力や摩擦力）がゼロで、拘束条件も時間に依存しない場合を考えている。拘束条件( $4$ )を満たすような勝手な拘束力 $𝑭 c$ を取ると「運動の勢い」は保存しなくなるので、「運動の勢い」の保存則は、何らかの新しい条件を与えることになる。

ダランベールの原理( $7$ )を仮定して、「運動の勢い」の候補を探したい

では、「運動の勢い」とはどのように定量化されるのだろうか。それを探るため、ダランベールの原理( $7$ )が成り立つと仮定してみて、候補となる保存量が存在するかを調べることにしよう。まず、式( $7$ )を仮定すると、運動方程式( $1$ )は以下の形になる：（上述のとおり $𝑭 = 𝟎$ としている） $𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T 𝝀 (8)$ これが正しいのであれば、この式から、「運動の勢い」に対応するような保存量が導けるはずである。

式( $8$ )から拘束条件 $𝑮$ を削除 → 運動エネルギー( $10$ )が保存する

「運動の勢い」は、拘束条件 $𝑮$ とは無関係に定義出来るはずなので、上式から $\nabla 𝑮$ を消すことを考える。これは簡単で、 $˙ 𝑿 T$ を左から掛ければよい。実際、拘束条件 $𝑮 = 𝟎$ の微分：（ $𝑮$ は時間によらないとする） $˙ 𝑮 \equiv 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 ˙ 𝑿 = 𝟎 (9)$ を用いれば、式( $8$ )の右辺が消える：（公式 $𝐴 T 𝐵 T = (𝐴 𝐵) T$ を使う） $˙ 𝑿 T (右辺) = ˙ 𝑿 T 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T 𝝀 = (𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 ˙ 𝑿) T 𝝀 = 0$ よって、左辺のみが残る： $˙ 𝑿 T 𝑀 ¨ 𝑿 = 0$ この式の左辺を変形すると $(左辺) = 𝑑 𝑑 𝑡 (12 ˙ 𝑿 T 𝑀 ˙ 𝑿) = 𝑑 𝑑 𝑡 (12 𝑚 1 | ˙ 𝒙 1 | 2 + 12 𝑚 2 | ˙ 𝒙 2 | 2)$ となる。これが $0$ となるのだから、赤字部分を $𝐸$ ： $𝐸 = 12 𝑚 1 | ˙ 𝒙 1 | 2 + 12 𝑚 2 | ˙ 𝒙 2 | 2 (10)$ とおくと、 $𝐸$ は保存する： $˙ 𝐸 = 0 (11)$ $𝐸$ を運動エネルギーという。

運動エネルギー( $10$ )が「運動の勢い」であることを認めよう

それらしき量が出てきたが、この $𝐸$ は本当に「運動の勢い」を表しているのだろうか。少なくとも、一方のおもりが静止している場合には、 $𝐸$ が保存すれば、もう一方のおもりの速度の大きさが保存することになるのでもっともらしい。第6章でボール同士の衝突を扱った際、弾性衝突は「運動の勢い」が保存するような衝突であった。従って、ボール同士の衝突の際にも $𝐸$ が保存することが期待されるが、これは実際に保存していることを示すことができる（以下の【8.2-注1】）。そこで、 $𝐸$ は「運動の勢い」を表していることを認めることにしよう。つまり、拘束力 $𝑭 c$ は、運動エネルギー $𝐸$ を保存するように働く。今は物体の個数が2つだけだが、式( $10$ )の項を増やすことで、より多くの物体がある場合にも自然に一般化できる。

重力がある場合、ポテンシャルエネルギーを加えたものが保存する

ところで、例えば、重力下での振り子の場合、おもりの速度の大きさは時間とともに変化するので、運動エネルギーは保存していない。しかし、全体としては周期的な運動を繰り返すのだから、運動が減衰しているわけではないように見える。この場合でも、何らかの保存則が成り立っているではないだろうか。これは実際に正しく、重力下の運動では、運動エネルギーに「ポテンシャルエネルギー」と呼ばれる項を加えたものが保存する（以下の【8.2-注2】）。

【8.2-注1】ボール同士の弾性衝突は、運動エネルギー $𝐸$ を保存する

2つのボールの弾性衝突において、式( $10$ )で定義される運動エネルギー $𝐸$ は、変化しない： $𝐸 = c o n s t . (12)$ 第6章では、弾性衝突条件として $| ˙ 𝒙 1 - ˙ 𝒙 2 | = c o n s t .$ を用いたが、その代わりに、エネルギー保存( $12$ )を弾性衝突条件として採用しても、衝突後の速度を正しく計算できるということである。

導出の概要

導出は、弾性衝突の公式（第6章の【6.2-注2】）を、式( $10$ )に実際に代入するだけである。すると、面倒な計算の後に $12 𝑚 1 | 𝒙 1, o u t | 2 + 12 𝑚 2 | 𝒙 2, o u t | 2 = 12 𝑚 1 | 𝒙 1, i n | 2 + 12 𝑚 2 | 𝒙 2, i n | 2$ が導ける。 $◼$

【8.2-注2】力学的エネルギー

おもりが1つだけの場合を考える。重力と拘束力のみが働いている場合、力学的エネルギー $𝐸$ ： $𝐸 = 12 𝑚 | ˙ 𝒙 | 2 ⏟ 運動エネルギー - 𝑚 𝒈 T 𝒙 | ˙ 𝒙 | 2 ⏟ ポテンシャルエネルギー$ が保存する。拘束条件は時間に依存しないとする。 $𝒈$ は重力加速度である。

導出

運動方程式は $𝑚 ¨ 𝒙 = 𝑚 𝒈 + 𝒇 c$ である。両辺に $˙ 𝒙 T$ を左乗すると、拘束力 $𝒇 c$ の項が消えて、微分を括りだせる： $𝑚 ˙ 𝒙 T ¨ 𝒙 = 𝑚 ˙ 𝒙 T 𝒈 ∴ 𝑑 𝑑 𝑡 (12 𝑚 | ˙ 𝒙 | 2) = 𝑑 𝑑 𝑡 (𝑚 𝒙 T 𝒈) ∴ 𝑑 𝑑 𝑡 (12 𝑚 | ˙ 𝒙 | 2 - 𝑚 𝒙 T 𝒈) ⏟____⏟____⏟ 𝐸 = 0 ◼$

補足

ポテンシャルエネルギーは重力に逆らって上に行くほど大きくなる。逆に、運動エネルギーは上に行くほど小さくなるので、足し合わせたものが一定になっているわけである。

ポテンシャルエネルギーの存在条件：式( $13$ )

なお、ポテンシャルエネルギーは重力以外の力 $𝒇$ でも存在することがある。ポテンシャルエネルギーが存在するための必要十分条件が知られている。それは、 $𝒇$ が時間に依存せず $⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕 𝑦 𝑓 𝑧 - 𝜕 𝑧 𝑓 𝑦 𝜕 𝑧 𝑓 𝑥 - 𝜕 𝑥 𝑓 𝑧 𝜕 𝑥 𝑓 𝑡 - 𝜕 𝑦 𝑓 𝑥 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝟎 (13)$ を満たすことである（詳しくは第15章の15.2節参照）。これが成り立つ時、 $𝒇 = - \nabla 𝑉$ となるような $𝑉 (𝒙)$ が存在し、 $𝑉 (𝒙)$ がポテンシャルエネルギーになる。

8.2.2拘束力 $𝑭 c$ は拘束条件のミクロな破れによって生じる

上述のように、拘束力 $𝑭 c$ は、運動エネルギー $𝐸$ を保存するように働く。しかし、 $˙ 𝐸 = 0$ という1つの条件だけでは、式( $6$ )からダランベールの原理( $7$ )：（再掲） $𝑭 c = 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T 𝝀 (14)$ は導けない。 $𝑭 c$ の性質について、もう少し考察する必要がある。

拘束力 $𝑭 c$ が満たすべき最後の条件：式( $15$ )

まず、拘束条件 $𝑮 = 𝟎$ は、ミクロに見れば、運動に応じてほんのわずかだけ、実際には破れているはずである。拘束力の実態は、そのミクロな破れを押し戻そうとする力である（右図の $𝒇 c$ ）。これは例えば、バネを変形させた時、変形に応じて元に戻ろうとする力が働くのと同様である。バネを非常に硬くしていったものが拘束だと考えてもよいだろう。よって、拘束面上の同一点において $拘束条件のミクロな破れ方が同じであれば、 𝑭 c は等しい (15)$ と言えそうである。これを認めることにしよう。これは、 $𝑭 c$ が、拘束のミクロな破れの量にのみ依存し、物体の速度や外力には直接依存しないということである。もちろん、速度や外力が大きいと $𝑭 c$ も大きくなる傾向があるが、その原因は、拘束がより大きく破れるからであって、速度や外力に直接依存しているからではない。

8.2.3多体系のダランベールの原理：式( $14$ )

以上で予備的な考察が終わった。ここからは、外力 $𝑭$ があってもよいとする。

任意の速度ベクトルは、拘束力と垂直：式( $17$ )

拘束面上の1点 $𝑿$ において、ある拘束力の値 $𝑭 c$ を与える「拘束条件の破れ」を $𝛿$ とおく。 $𝛿$ が等しい全ての $˙ 𝑿, 𝑭$ に対し、拘束力は同じ値 $𝑭 c$ を取ることになる。速度 $˙ 𝑿$ は、拘束条件( $9$ )：（再掲） $𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 ˙ 𝑿 = 𝟎 (16)$ を満たす全ての $˙ 𝑿$ を取ることができる。 $˙ 𝑿$ が異なると破れ方も変わるが、外力 $𝑭$ をうまく調節すれば、原理的には同じ破れ $𝛿$ を与えるようにできるはずである。そして、これら全ての $˙ 𝑿$ に対して、 $𝑭 c$ は運動エネルギー $𝐸$ を変化させない。式( $11$ )の導出で見たように、 $𝐸$ が変化しないのであれば、 $𝑭 c$ は $˙ 𝑿$ と垂直となる： $˙ 𝑿 T 𝑭 c = 0 (17)$

多体系でのダランベールの原理：式( $18$ )

以上により、拘束力 $𝑭 c$ に対する条件をまとめると拘束条件( $16$ )を満たす全ての速度 $˙ 𝑿$ に対してエネルギー保存則( $17$ )が成り立つとなる。そのような $𝑭 c$ は、式( $14$ )：（再掲） $𝑭 c = 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T 𝝀 (18)$ の形以外にはあり得ない（以下の【8.2-注3】参照）。これが、多体系でのダランベールの原理である。

振り返り

ここまでの議論の流れについて、見直しておこう。そもそも、エネルギー保存則 $˙ 𝐸 = 0$ だけからダランベールの原理( $14$ )が得られなかったのは、1つの運動に対する $˙ 𝑿$ のみを考えていたからである。性質( $15$ )を使うことにより、同じ $𝑭 c$ に対し、拘束条件を満たす全ての $˙ 𝑿$ を考えることができるようになった。それら全ての $˙ 𝑿$ に対して、 $𝑭 c$ が運動エネルギーを変化させないという条件から、式( $14$ )が得られたのである。

【8.2-注3】拘束力の向き

ある行列 $𝐴$ が与えられているとする。拘束条件 $𝑿 T 𝐴 = 𝟎 (19)$ を満たす全てのベクトル $𝑿$ について $𝑿 T 𝑭 = 0 (20)$ が成り立つならば、ベクトル $𝑭$ は、以下の形で書ける：（ $𝝀$ は任意の係数） $𝑭 = 𝐴 𝝀 (21)$ $𝐴 = 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T$ とすれば、本文の式( $18$ )の場合に一致する。

証明

まず、 $¯ 𝐴 \equiv [𝐴 𝐵]$ が逆行列を持つように行列 $𝐵$ をとれば、任意の $𝑭$ は $𝑭 = [𝐴 𝐵] [𝝀 𝐴 𝝀 𝐵] (22)$ の形で書くことができる。 $𝝀 𝐵 = 𝟎$ を示せばよい。 $𝐴$ の列は1次独立であると。そうでない場合は制約条件が冗長なので、減らすことができる。さて、任意の $𝑿 T$ についても、 $¯ 𝐴$ の逆行列 $¯ 𝐴 - 1$ を使って書いておく： $𝑿 T = [𝝀 † 𝐴 𝝀 † 𝐵] [𝐴 † 𝐵 †], ¯ 𝐴 - 1 \equiv [𝐴 † 𝐵 †]$ これを拘束条件( $19$ )に代入すると、 $𝝀 † 𝐴 = 𝟎 T$ となることが分かる： $𝑿 T = [𝟎 T 𝝀 † 𝐵] [𝐴 † 𝐵 †] (23)$ 式( $23$ )と式( $22$ )を、式( $20$ )に代入すると $𝝀 † 𝐵 𝝀 𝐵 = 0$ となる。これが任意の $𝝀 † 𝐵$ で成り立つのだから、 $𝝀 𝐵 = 𝟎$ である。 $◼$

8.2.4拘束条件が時間変化する場合も、ダランベールの原理( $14$ )は成り立つ

ここまでは、拘束条件が時間変化しない場合を考えた。ついでなので、時間変化する拘束条件 $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎$ の場合も考えておこう。

時間に依存する場合も、同じ考え方が使える

時間に依存する拘束条件の場合も、拘束力 $𝑭 c$ は、拘束の破れのみに依存し、拘束面の移動・変形速度には直接依存しない。よってこの場合も、 $𝑭 c$ の向きは拘束面に垂直となる。ただし、速度 $˙ 𝑿$ には拘束面の移動速度が含まれるため、 $𝑭 c$ と $˙ 𝑿$ は垂直でなくなる。そのため、式( $17$ )ではなく、 $˙ 𝑿$ を、「拘束面に沿った任意のベクトル $𝛿 𝑿$ 」に置き換えたものが成り立つ： $𝛿 𝑿 T 𝑭 c = 0 (24)$ ここで、 $𝛿 𝑿$ が拘束面上にあるという条件は、以下のように書ける： $𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 𝛿 𝑿 = 𝟎 (25)$ $𝛿 𝑿$ は、考えている時刻における拘束面の形状のみから決まり、移動・変形速度とは無関係である。 $𝑮$ が時刻に依存しない場合には、 $𝛿 𝑿$ と $˙ 𝑿$ は、取り得る方向が一致する。

同じ形のダランベールの原理が成り立つ

以上により、拘束力 $𝑭 c$ に対する条件は式( $25$ )を満たす全ての $𝛿 𝑿$ に対して、式( $24$ )が成立するとなる。よって結局、 $˙ 𝑿$ を $𝛿 𝑿$ に置き換えるだけの同じ議論により、 $𝑮$ が時間変化する場合もダランベールの原理( $14$ )が成り立つことが分かる。ただし、形式的な話だが、拘束条件 $𝑮 (𝑡, 𝑿)$ が時刻 $𝑡$ にも依存しているので、 $𝑿$ での微分は、偏微分で表記する： $𝑭 c = 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 T 𝝀 (26)$

8.2.5拘束力 $𝑭 c$ ：式( $27$ )

実際にダランベールの原理( $14$ ), ( $26$ )から拘束力 $𝑭 c$ を求めるには、未知係数 $𝝀$ を求めればよい。

「 $𝝀$ の成分数」と「拘束条件 $𝑮$ の要素数」が等しいので、拘束条件と連立してやれば、 $𝝀$ は一意的に決まる。実際に $𝑭 c$ を計算すると、 $𝑮$ が時間に依存する場合も含めて、以下の【8.2-注4】の式( $27$ )のようになる。これが、一般的な拘束力 $𝑭 c$ の公式である。運動方程式に代入したものを書き下しても良いが、きれいになるわけでもないので省略する。前章の【7.2-注3】のように、射影行列を使って運動方程式を書くこともできる。

【8.2-注4】多体・多拘束での拘束力 $𝑭 c$ ：式( $27$ )

拘束条件 $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎$ が課されている時、拘束力 $𝑭 c$ は以下のようになる： $𝑭 c = 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 T 𝝀 𝝀 \equiv - 𝑊 - 1 [(𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿) ˙ 𝑿 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 𝑀 - 1 𝑭 + 𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝑮] 𝑊 \equiv 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 𝑀 - 1 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 T (27)$ ただし、 $𝑭$ は重力などの外力である。単なる記法の問題であるが、 $𝜕 𝑮 𝜕 𝑿$ を偏微分にしているのは、 $𝑮$ が時刻 $𝑡$ にも依存する場合を考慮しているからである。 $𝑡$ に依存しない場合は全微分 $𝑑 𝑮 𝑑 𝑿$ と表記すればよい。

導出

拘束条件の2階微分 $¨ 𝑮 = 𝟎$ を実行すると、動く振り子の場合（第7章の【7.4-注2】）と同様に、以下のようになる： $𝟎 = 𝑑 𝑑 𝑡 ˙ 𝑮 = 𝑑 𝑑 𝑡 (𝜕 𝑡 𝑮 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ˙ 𝑿) = 𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑡 𝑮 + (𝑑 𝑑 𝑡 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿) ˙ 𝑿 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ¨ 𝑿$ この式に、ダランベールの原理( $14$ )を適用した運動方程式： $𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑭 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 T 𝝀$ を代入して $¨ 𝑿$ を消去すれば、 $𝝀$ について解くことができ、式( $27$ )のものに一致する。

8.3物体の運動 $𝑿 𝑡$ の計算

以上で、必要な式がそろった。この節では、まず、拘束条件がある場合の運動 $𝑿 𝑡$ の計算方法についてまとめる。その後、具体的な例として、ディアボロ（2物体1拘束）、2重振り子（2物体2拘束）、シーソー（2物体4拘束）について、数値計算を行う。

8.3.1物体の運動 $𝑿 𝑡$ の計算方法

複数の物体の座標 $𝑿$ に、任意個の成分を持つ拘束条件 $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎$ が課されているとする。 $𝑡$ は、拘束条件が時間に依存する場合を想定してのことである。例えば、振り子の中心が時間とともに移動する場合がそうである。物体の運動 $𝑿 𝑡$ を計算するには、以下の手順に従えばよい。

1初期条件

まず、初期時刻 $𝑡 = 0$ において拘束条件： $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎 ˙ 𝑮 (𝑡, 𝑿) \equiv 𝜕 𝑡 𝑮 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ˙ 𝑿 = 𝟎 ⎫ { {⎬ { {⎭ (28)$ を満たすような初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ を設定する。

2運動方程式

その後の時間発展は、運動方程式 $𝑀 ¨ 𝑿 = 𝑭 + 𝑭 c (29)$ によって計算できる。ただし、 $𝑭$ は重力などの外力であり、拘束力 $𝑭 c$ は式( $27$ )で与えられる。

8.3.2例題1ディアボロ：初期条件( $30$ )、運動方程式( $31$ )

まず、「2つの物体に1つの拘束条件」が課せられている例として、右図のようなディアボロの運動を考える。 $𝒂, 𝒃$ は固定点であり、ひもの全長 $𝐿 \equiv 𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3$ が一定となる（やや不自然だが、ひもはたるまない）。また、重力が働いているとする。

拘束条件とその微分

拘束条件 $𝐺$ およびその微分は、以下のようになる： $𝐺 (𝑿) = | 𝒙 1 𝑎 | + | 𝒙 12 | + | 𝒙 2 𝑏 | - 𝐿 ∵ ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝒙 1 𝑎 = 𝒙 1 - 𝒂 𝒙 12 = 𝒙 1 - 𝒙 2 𝒙 2 𝑏 = 𝒙 2 - 𝒃 𝑑 𝐺 𝑑 𝑿 T = \nabla 𝐺 = [ˆ 𝒙 1 𝑎 + ˆ 𝒙 12 ˆ 𝒙 2 𝑏 - ˆ 𝒙 12] ∵ \nabla | 𝒙 | = ˆ 𝒙 （【 4.3 - 注 1 】） 𝑑 𝑑 𝑡 𝑑 𝐺 𝑑 𝑿 T = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - ˆ 𝒙 1 𝑎 ˆ 𝒙 T 1 𝑎 | 𝒙 1 𝑎 | ˙ 𝒙 1 + 1 - ˆ 𝒙 12 ˆ 𝒙 T 12 | 𝒙 12 | ˙ 𝒙 12 1 - ˆ 𝒙 2 𝑏 ˆ 𝒙 T 2 𝑏 | 𝒙 2 𝑏 | ˙ 𝒙 2 - 1 - ˆ 𝒙 12 ˆ 𝒙 T 12 | 𝒙 12 | ˙ 𝒙 12 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∵ 𝑑 ˆ 𝒙 𝑑 𝑡 の計算：【 8.3 - 注 1 】$

初期条件( $30$ )、運動方程式( $31$ )

これを用いると、初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ が満たすべき拘束条件( $28$ )は $| 𝒙 1 𝑎 | + | 𝒙 12 | + | 𝒙 2 𝑏 | = 𝐿 ˆ 𝒙 T 1 𝑎 ˙ 𝒙 1 + ˆ 𝒙 T 12 ˙ 𝒙 12 + ˆ 𝒙 T 2 𝑏 ˙ 𝒙 2 = 𝟎} (30)$ となる。運動方程式( $29$ )についても、 $𝑭$ に重力を代入し、拘束力 $𝑭 c$ に式( $27$ )を代入して計算していくと、以下のようになる： $[𝑚 1 ¨ 𝒙 1 𝑚 2 ¨ 𝒙 2] = [𝑚 1 𝒈 𝑚 2 𝒈] + 𝜆 [ˆ 𝒙 1 𝑎 + ˆ 𝒙 12 ˆ 𝒙 2 𝑏 - ˆ 𝒙 12] 𝜆 \equiv - 𝛼 + (ˆ 𝒙 1 𝑎 + ˆ 𝒙 2 𝑏) T 𝒈 𝑚 - 1 1 ∣ ˆ 𝒙 1 𝑎 + ˆ 𝒙 12 ∣ 2 + 𝑚 - 1 2 ∣ ˆ 𝒙 2 𝑏 - ˆ 𝒙 12 ∣ 2 𝛼 \equiv ˙ 𝒙 T 1 1 - ˆ 𝒙 1 𝑎 ˆ 𝒙 T 1 𝑎 | 𝒙 1 𝑎 | ˙ 𝒙 1 + ˙ 𝒙 T 12 1 - ˆ 𝒙 12 ˆ 𝒙 T 12 | 𝒙 12 | ˙ 𝒙 12 + ˙ 𝒙 T 2 1 - ˆ 𝒙 2 𝑏 ˆ 𝒙 T 2 𝑏 | 𝒙 2 𝑏 | ˙ 𝒙 2 (31)$

シミュレーション

数値計算を行うと、右図のようになる。

【8.3-注1】単位ベクトルの微分公式

単位ベクトル $ˆ 𝒙$ の微分は $𝑑 𝑑 𝒙 ˆ 𝒙 = 1 - ˆ 𝒙 ˆ 𝒙 T | 𝒙 | (32)$ となる。時間微分時間微分については、以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 ˆ 𝒙 = 1 - ˆ 𝒙 ˆ 𝒙 T | 𝒙 | ˙ 𝒙 (33)$ 式( $32$ )は幾何学的にも自然である。実際、微小変位 $𝛿 𝒙$ における $ˆ 𝒙$ の変化 $𝛿 ˆ 𝒙$ は、1次近似により $𝛿 ˆ 𝒙 ≐ 𝑑 ˆ 𝒙 𝑑 𝒙 𝛿 𝒙 = (1 - ˆ 𝒙 ˆ 𝒙 T) 𝛿 𝒙 | 𝒙 |$ となるので、 $𝛿 𝒙$ を「 $| 𝒙 |$ で割った」うえで「 $𝒙$ と垂直な方向へ直交射影」したものになることを示している。

導出

式( $32$ )は、 $𝛿 ˆ 𝒙$ の1次近似における $𝛿 𝒙$ の係数である： $𝛿 ˆ 𝒙 = 𝛿 (1 | 𝒙 | 𝒙) ∣ 積の微分公式： 𝛿 (𝐴 𝐵) ≐ (𝛿 𝐴) 𝐵 + 𝐴 (𝛿 𝐵) ≐ (𝛿 1 | 𝒙 |) 𝒙 + 1 | 𝒙 | 𝛿 𝒙 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 連鎖律： 𝛿 𝑓 - 1 ≐ 𝑑 𝑓 - 1 𝑑 𝑓 𝛿 𝑓 = - 1 𝑓 2 𝛿 𝑓 において 𝑓 = | 𝒙 | とおく ≐ (- 1 | 𝒙 | 2 𝛿 | 𝒙 |) 𝒙 + 𝛿 𝒙 | 𝒙 | ∣ 𝛿 | 𝒙 | ≐ ˆ 𝒙 T 𝛿 𝒙 （【 4.3 - 注 1 】） ≐ (- 1 | 𝒙 | 2 ˆ 𝒙 T 𝛿 𝒙) 𝒙 + 𝛿 𝒙 | 𝒙 | ∣ 𝛿 𝒙 を括り出す = 1 - ˆ 𝒙 ˆ 𝒙 T | 𝒙 | 𝛿 𝒙 (34)$ 式( $33$ )は、合成関数の微分の連鎖律 $𝑑 𝑑 𝑡 ˆ 𝒙 = 𝑑 ˆ 𝒙 𝑑 𝒙 𝑑 𝒙 𝑑 𝑡$ に、式( $32$ )代入するだけである。 $◼$

8.3.3例題2二重振り子：初期条件( $35$ )、運動方程式( $36$ )

次に、「2つの拘束条件」を持つような例として、冒頭でも述べた、二重振り子の運動を考える（右図）。ひもの長さ $𝑙 1, 𝑙 2$ がそれぞれ一定である。

拘束条件とその微分

拘束条件 $𝑮$ およびその微分は、以下のようになる： $𝑮 (𝑿) \equiv [𝐺 1 𝐺 2] = [| 𝒙 1 | - 𝑙 1 | 𝒙 12 | - 𝑙 2] ∵ 𝒙 12 = 𝒙 1 - 𝒙 2 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T = [\nabla 𝐺 1 \nabla 𝐺 2] = [ˆ 𝒙 1 - ˆ 𝒙 12 𝟎 - ˆ 𝒙 12] ∵ \nabla | 𝒙 | = ˆ 𝒙 （【 4.3 - 注 1 】） 𝑑 𝑑 𝑡 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T = [𝑙 - 1 1 ˙ 𝒙 1 𝑙 - 1 2 ˙ 𝒙 12 𝟎 - 𝑙 - 1 2 ˙ 𝒙 12] ∵ 𝑑 𝑑 𝑡 ˆ 𝒙 1 = 𝑑 𝑑 𝑡 𝒙 1 𝑙 1 = ˙ 𝒙 1 𝑙 1$

初期条件( $35$ )、運動方程式( $36$ )

これを用いると、初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ が満たすべき拘束条件( $28$ )は $| 𝒙 1 | = 𝑙 1 | 𝒙 12 | = 𝑙 2 𝒙 T 1 ˙ 𝒙 1 = 0 𝒙 T 12 ˙ 𝒙 12 = 0 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (35)$ となる。運動方程式( $29$ )についても、 $𝑭$ に重力を代入し、拘束力 $𝑭 c$ に式( $27$ )を代入して計算していくと、以下のようになる： $[𝑚 1 ¨ 𝒙 1 𝑚 2 ¨ 𝒙 2] = [𝑚 1 𝒈 𝑚 2 𝒈] + [ˆ 𝒙 1 ˆ 𝒙 12 𝟎 - ˆ 𝒙 12] 𝝀 𝝀 \equiv - 𝑚 1 𝛼 - 𝛽 2 [𝛼 𝛽 𝛽 1] [𝑙 - 1 1 | ˙ 𝒙 1 | 2 + ˆ 𝒙 T 1 𝒈 𝑙 - 1 2 | ˙ 𝒙 12 | 2] 𝛼 \equiv 1 + 𝑚 1 𝑚 2, 𝛽 \equiv - ˆ 𝒙 T 1 ˆ 𝒙 12 (36)$ この運動方程式は、2次元, 3次元ともに成り立つ。なお、第9章の9.2節で、この方程式を極座標で書き直す。

シミュレーション

数値計算を行うと、右図のようになる。

8.3.4例題3シーソー：初期条件( $37$ )、運動方程式( $38$ )

最後に、「4つの拘束条件」を持つような例として、右図のようなシーソーを考える。棒の長さ $𝑙 1, 𝑙 2$ がそれぞれ一定であり、支点を原点 $𝑂$ とする。外力として、重力が働いている。また、（普通の2次元的なシーソーと違って）支点の周りを3次元的に任意の方向に回転できるとする。

拘束条件とその微分

拘束条件 $𝑮$ およびその微分は、以下のようになる：（ $𝑮$ の成分数は4） $𝑮 (𝑿) \equiv [𝐺 1 𝑮 2] = [| 𝒙 1 | - 𝑙 1 𝑙 2 𝒙 1 + 𝑙 1 𝒙 2] 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T = [ˆ 𝒙 1 𝑙 2 𝐼 𝟎 𝑙 1 𝐼] 𝑑 𝑑 𝑡 𝑑 𝑮 𝑑 𝑿 T = [𝑙 - 1 1 ˙ 𝒙 1 0 𝐼 𝟎 0 𝐼]$ $𝐺 1 = 0$ は「 $𝒙 1$ 側の棒の長さが $𝑙 1$ であること」を、 $𝑮 2 = 𝟎$ は「 $𝒙 2$ の位置が $𝒙 2 = - 𝑙 2 𝑙 1 𝒙 1$ であること」を要請している。また、 $𝐼$ は $3 \times 3$ の単位行列である。

初期条件( $37$ )、運動方程式( $38$ )

これを用いると、初期値 $𝑿 0, ˙ 𝑿 0$ が満たすべき拘束条件( $28$ )は $| 𝒙 1 | = 𝑙 1 𝑙 2 𝒙 1 + 𝑙 1 𝒙 2 = 𝟎 ˆ 𝒙 T 1 ˙ 𝒙 1 = 0 𝑙 2 ˙ 𝒙 1 + 𝑙 1 ˙ 𝒙 2 = 𝟎 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (37)$ となる。運動方程式( $29$ )についても、 $𝑭$ に重力を代入し、拘束力 $𝑭 c$ に式( $27$ )を代入することにより以下のようになる： $[𝑚 1 ¨ 𝒙 1 𝑚 2 ¨ 𝒙 2] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (1 - ˆ 𝒙 1 ˆ 𝒙 T 1) 𝑚 1 𝒈 1 - 𝑚 1 | ˙ 𝒙 1 | 2 𝑙 1 ˆ 𝒙 1 (1 - ˆ 𝒙 2 ˆ 𝒙 T 2) 𝑚 2 𝒈 2 - 𝑚 2 | ˙ 𝒙 2 | 2 𝑙 2 ˆ 𝒙 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝒈 1 \equiv 𝑙 1 𝑚 1 𝑙 1 - 𝑚 2 𝑙 2 𝑚 1 𝑙 21 + 𝑚 2 𝑙 22 𝒈 𝒈 2 \equiv - 𝑙 2 𝑚 1 𝑙 1 - 𝑚 2 𝑙 2 𝑚 1 𝑙 21 + 𝑚 2 𝑙 22 𝒈 (38)$ それぞれのおもりに着目すると、振り子の運動方程式（第7章の7.3.2節）と同じ形になっている。ただし、重力加速度に対応する $𝒈 1, 𝒈 2$ が、 $𝒈$ よりも小さくなる。てこの原理特に、シーソーが釣り合うのは、（ $𝒈 1 = 𝒈 2 = 𝟎$ となる） $𝑚 1 𝑙 1 = 𝑚 2 𝑙 2$ の時である。よって、 $𝑚 1$ が非常に大きくても、 $𝑙 1 ≪ 𝑙 2$ としてやれば、小さな $𝑚 2$ で釣り合いを実現できる（右図）。即ち、小さな力を加えるだけで、 $𝑚 1$ を持ち上げることができる。これを、てこの原理という。

シミュレーション

数値計算を行うと、右図のようになる。

二重振り子の拘束力 𝑭c を求めたい

運動方程式：式(1)

二重振り子の拘束条件：式(2)

拘束力 𝑭c が知りたい

この章の方針

8.1拘束力 𝑭c の向きが決まらない

8.1.1拘束力 𝑭c に対する拘束条件：式(4)

初期値に対する拘束条件：式(3)

拘束力 𝑭c に対する拘束条件：式(4)

8.1.2各々の物体に対するダランベールの原理より式(5) → 未知係数が多すぎる

ダランベールの原理を適用してみる

1つのベクトルにまとめておく：式(6)

やはり未知数が多すぎて、拘束力 𝑭c が決まらない

8.1.3ダランベールの原理は式(7)のように拡張できるのではないか

式(6)は、式(7)のように書ける？

式(7)を示したい

8.2多体系のダランベールの原理 → 拘束力 𝑭c

8.2.1拘束力 𝑭c は、運動エネルギー(10)を変化させない

拘束された運動でも「運動の勢い」を表す量が存在して、保存するはず

ダランベールの原理(7)を仮定して、「運動の勢い」の候補を探したい

式(8)から拘束条件 𝑮 を削除 → 運動エネルギー(10)が保存する

運動エネルギー(10)が「運動の勢い」であることを認めよう

重力がある場合、ポテンシャルエネルギーを加えたものが保存する

【8.2-注1】ボール同士の弾性衝突は、運動エネルギー 𝐸 を保存する

導出の概要

【8.2-注2】力学的エネルギー

導出

補足

ポテンシャルエネルギーの存在条件：式(13)

8.2.2拘束力 𝑭c は拘束条件のミクロな破れによって生じる

拘束力 𝑭c が満たすべき最後の条件：式(15)

8.2.3多体系のダランベールの原理：式(14)

任意の速度ベクトルは、拘束力と垂直：式(17)

多体系でのダランベールの原理：式(18)

振り返り

【8.2-注3】拘束力の向き

証明

8.2.4拘束条件が時間変化する場合も、ダランベールの原理(14)は成り立つ

時間に依存する場合も、同じ考え方が使える

同じ形のダランベールの原理が成り立つ

8.2.5拘束力 𝑭c ：式(27)

【8.2-注4】多体・多拘束での拘束力 𝑭c ：式(27)

導出

8.3物体の運動 𝑿𝑡 の計算

8.3.1物体の運動 𝑿𝑡 の計算方法

8.3.2例題1ディアボロ：初期条件(30)、運動方程式(31)

拘束条件とその微分

初期条件(30)、運動方程式(31)

シミュレーション

【8.3-注1】単位ベクトルの微分公式

導出

8.3.3例題2二重振り子：初期条件(35)、運動方程式(36)

拘束条件とその微分

初期条件(35)、運動方程式(36)

シミュレーション

8.3.4例題3シーソー：初期条件(37)、運動方程式(38)

拘束条件とその微分

初期条件(37)、運動方程式(38)

シミュレーション

二重振り子の拘束力 $𝑭 c$ を求めたい

運動方程式：式( $1$ )

二重振り子の拘束条件：式( $2$ )

拘束力 $𝑭 c$ が知りたい

8.1拘束力 $𝑭 c$ の向きが決まらない

8.1.1拘束力 $𝑭 c$ に対する拘束条件：式( $4$ )

初期値に対する拘束条件：式( $3$ )

拘束力 $𝑭 c$ に対する拘束条件：式( $4$ )

8.1.2各々の物体に対するダランベールの原理より式( $5$ ) → 未知係数が多すぎる

1つのベクトルにまとめておく：式( $6$ )

やはり未知数が多すぎて、拘束力 $𝑭 c$ が決まらない

8.1.3ダランベールの原理は式( $7$ )のように拡張できるのではないか

式( $6$ )は、式( $7$ )のように書ける？

式( $7$ )を示したい

8.2多体系のダランベールの原理 → 拘束力 $𝑭 c$

8.2.1拘束力 $𝑭 c$ は、運動エネルギー( $10$ )を変化させない

ダランベールの原理( $7$ )を仮定して、「運動の勢い」の候補を探したい

式( $8$ )から拘束条件 $𝑮$ を削除 → 運動エネルギー( $10$ )が保存する

運動エネルギー( $10$ )が「運動の勢い」であることを認めよう

【8.2-注1】ボール同士の弾性衝突は、運動エネルギー $𝐸$ を保存する

ポテンシャルエネルギーの存在条件：式( $13$ )

8.2.2拘束力 $𝑭 c$ は拘束条件のミクロな破れによって生じる

拘束力 $𝑭 c$ が満たすべき最後の条件：式( $15$ )

8.2.3多体系のダランベールの原理：式( $14$ )

任意の速度ベクトルは、拘束力と垂直：式( $17$ )

多体系でのダランベールの原理：式( $18$ )

8.2.4拘束条件が時間変化する場合も、ダランベールの原理( $14$ )は成り立つ

8.2.5拘束力 $𝑭 c$ ：式( $27$ )

【8.2-注4】多体・多拘束での拘束力 $𝑭 c$ ：式( $27$ )

8.3物体の運動 $𝑿 𝑡$ の計算

8.3.1物体の運動 $𝑿 𝑡$ の計算方法

8.3.2例題1ディアボロ：初期条件( $30$ )、運動方程式( $31$ )

初期条件( $30$ )、運動方程式( $31$ )

8.3.3例題2二重振り子：初期条件( $35$ )、運動方程式( $36$ )

初期条件( $35$ )、運動方程式( $36$ )

8.3.4例題3シーソー：初期条件( $37$ )、運動方程式( $38$ )

初期条件( $37$ )、運動方程式( $38$ )