剛体の運動方程式の導出（重心と慣性モーメント）

剛体の運動方程式を求めて、解きたい。

自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式( $2$ )が欲しい

いよいよ、剛体の運動を求める方法を考える。

運動方程式＝「剛体上の1点 $𝒙 0$ と回転行列 $𝑅$ 」の2階微分を与える方程式

前章で見たように、剛体の配置を決めるために必要は情報は、剛体上の1点 $𝒙 0$ と回転行列 $𝑅$ である。従って、「剛体の運動を求める」とは、これら $𝒙 0, 𝑅$ の時間発展を求めることに他ならない。そのためには、これまでと同様に、初期値として $𝒙 0 (0), 𝑅 (0)$ およびその微分 $˙ 𝒙 0 (0), ˙ 𝑅 (0)$ を与えたうえで、2階微分 $¨ 𝒙 0, ¨ 𝑅$ を与える方程式（＝運動方程式）を解く、という流れになる。もちろん、回転行列 $𝑅$ の代わりに自由な座標 $𝜽$ の時間発展を求めても良いが、10.3節で述べたように $𝜽$ には理論的に自然なものがないので、ここでは考えないことにする。

質点要素の運動方程式を変形すればよい → 回転部分に拘束条件が残っている

剛体は質点要素 $𝒙 𝑖$ の集合と見なせるので、前章の冒頭で示したように、剛体の運動方程式自体は、 $𝒙 𝑖$ に対する方程式として表せる： $⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟___⏟___⏟ 𝑀 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ¨ 𝒙 1 ¨ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ ¨ 𝑿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 c 1 𝒇 c 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 c (1)$ ここから未知数である拘束力 $𝑭 c$ を削除すれば、 $¨ 𝒙 0, ¨ 𝑅$ に対する方程式が得られる、というのが元々の方針であった。自由な座標が与えられたときに、拘束力 $𝑭 c$ を消去して運動方程式を求める公式は既に書き下している（第9章の【9.1-注1】）。それを利用したいわけだが、残念ながら回転行列 $𝑅$ には拘束が残っており自由な座標ではないので、そのままでは使えない。

→ 自由な速度が分かればよい

しかし、拘束力 $𝑭 c$ を消去するのに必要なのは、拘束面（＝運動可能な方向）の情報である。よって、実際には、自由な「速度」が分かれば十分である。第8章の8.2.3節で述べたように、 $𝑭 c$ は、拘束面と垂直である（ダランベールの原理）。即ち、拘束面が分かれば $𝑭 c$ が消せる。拘束面は、速度ベクトルと平行になるのだから、自由な速度から導ける（拘束条件が時間に依存しない場合）。よって、「自由な速度 → 拘束面 → ダランベールの原理により $𝑭 c$ を消去」というロジックが使える。

$¨ 𝑅$ の代わりに角速度 $𝝎$ の微分 $˙ 𝝎$ を求めても良い

回転行列 $𝑅$ そのものは自由な座標ではなく、その微分 $˙ 𝑅$ も自由な「速度」ではないが、 $˙ 𝑅$ をもとに自由な「速度」を作ることはできる。前章の10.2節で見たように、それは、角速度ベクトル $𝝎$ である。 $˙ 𝑅$ と $𝝎$ の関係式 $˙ 𝑅 = 𝝎 \times 𝑅$ 従って、 $˙ 𝒙 0$ と $𝝎$ をまとめた剛体の自由な速度 $𝛀$ ： $𝛀 = [˙ 𝒙 0 𝝎]$ を考えれば、拘束力 $𝑭 c$ が消去出来て、 $𝛀$ に対する運動方程式： $˙ 𝛀 \equiv [¨ 𝒙 0 ˙ 𝝎] = [\dots] (2)$ が得られるはずである。

この章の方針

この章では、上記の議論に従って、剛体の運動方程式( $2$ )を導出する。また、式( $2$ )が得られたとしても、そこから実際の計算を行う方法は自明ではないので、具体的な方法についてもまとめておく必要があるだろう。そこでこの章では、以下の2つの節に分けて議論を行う：11.1剛体の運動方程式の導出11.2剛体の運動の計算

11.1剛体の運動方程式の導出

この節では、剛体の運動方程式( $11$ )を導く。剛体自体には拘束がかかっていないとする。拘束がかかっている場合（例えば剛体の一点を固定した振り子のような運動）については次章で扱う。

11.1.1自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式（展開前）：式( $7$ )

議論の出発地点は、質点要素 $𝒙 𝑖$ に対する運動方程式( $1$ )である：（再掲） $⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟___⏟___⏟ 𝑀 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ¨ 𝒙 1 ¨ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ ¨ 𝑿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 c 1 𝒇 c 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 c (3)$ これを変形して、式( $2$ )の形にすればよい。計算の流れは以下のようになる（具体的な計算は次節で行う）：

1ダランベールの原理を使って拘束力

𝑭 c

を消したい

式( $3$ )で未知なのは、拘束力 $𝑭 c$ である。ダランベールの原理により、 $𝑭 c$ は、拘束条件を満たす全ての速度 $˙ 𝑿$ と「直交」する（第8章の8.2節）： $˙ 𝑿 T 𝑭 c = 0 (4)$ 第9章と同様に、この式( $4$ )を使って $𝑭 c$ を消去したい。

2式(

4

)から

˙ 𝑿

を消す

速度 $˙ 𝑿$ は、自由な速度 $𝛀$ の1次式として以下のように表せる：（以下の【11.1-注1】） $˙ 𝑿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝐴 𝛀 (5)$ これを式( $4$ )に代入すると $˙ 𝑿$ が消去できる。 $𝛀$ が任意の値をとれることにより、結局、式( $4$ )は以下のように書き換えられる： $𝐴 T 𝑭 c = 0 (6)$

3自由な速度

˙ 𝛀

に対する運動方程式

式( $6$ )より、運動方程式( $3$ )から $𝑭 c$ を消去するには、 $𝐴 T$ を辺々左乗すればよい： $𝐴 T 𝑀 ¨ 𝑿 = 𝐴 T 𝑭$ この式の $¨ 𝑿$ に速度( $5$ )を代入すれば、 $˙ 𝛀$ に対する方程式になる： $𝐴 T 𝑀 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐴 𝛀) = 𝐴 T 𝑭 (7)$ 後は、式( $7$ )の $𝐴$ を実際に展開して、 $˙ 𝛀$ に対する方程式にしてやれば、求めたい剛体の運動方程式( $2$ )となる。

【11.1-注1】 $˙ 𝑿$ と $𝛀$ の関係

質点要素の速度 $˙ 𝑿$ と自由な速度 $𝛀$ は、以下の関係で結ばれる： $˙ 𝑿 \equiv ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ [˙ 𝒙 0 𝝎] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝛀 (8)$ $𝒙 𝑖 0 = 𝒙 𝑖 - 𝒙 0$ である。 $𝒙 \times$ は、第10章の【10.2-注2】で述べたベクトルのクロスである。

導出

前章の10.2節で示したように、質点要素の速度 $˙ 𝒙 𝑖$ を、自由な速度 $𝛀$ を使って書き下すと $˙ 𝒙 𝑖 = ˙ 𝒙 0 + 𝝎 \times 𝒙 𝑖 0 = [1 - 𝒙 𝑖 0 \times] [˙ 𝒙 0 𝝎] ⏟ 𝛀$ となる。これを式( $8$ )の中辺に代入すれば、最右辺になる。 $◼$

11.1.2基準点を重心( $9$ )に取った時の運動方程式:式( $10$ )

それでは、運動方程式( $7$ )に式( $5$ )の $𝐴$ を代入して、各項を実際に計算しよう。

基準点 $𝒙 0$ を重心 $𝒙 g$ にとる：式( $9$ )

実際の計算を行うにあたり、任意にとれる剛体上の基準点 $𝒙 0$ として、重心 $𝒙 g$ を採用することにしよう： $𝒙 0 = 𝒙 g \equiv 1 𝑚 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 (9)$ $𝑚 \equiv \sum 𝑚 𝑖$ は剛体の全質量。その理由は、剛体内の拘束力は作用・反作用の法則を満たすので、重心の速度 $˙ 𝒙 g$ が拘束力の影響を受けないからである（第6章の【6.2-注1】の補足）。これにより、基準点の速度 $˙ 𝒙 0$ は、内部の拘束力の影響を受けず、外力だけに依存することになる。

運動方程式：式( $10$ )

式( $9$ )のもとで、運動方程式( $7$ )の $𝐴$ を展開すると、この章の目的である以下の運動方程式が得られる：（ $𝒙 𝑖 g = 𝒙 𝑖 - 𝒙 g$ ） $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 𝜇 \equiv [\sum 𝑖 𝑚 𝑖 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)] 𝚽 \equiv [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖] (10)$ 導出計算は単なる作業なので以下の【11.1-注2】にまとめておく。章の冒頭の段階では、 $˙ 𝛀 = [\dots]$ の形にすることを予定していたが、上式のように、外力 $𝒇 𝑖$ だけを右辺に集める形にしたほうがきれいになる。式( $10$ )を見ると、外力がない場合には、右辺がゼロになり、左辺の $𝜇 𝛀$ が保存することが分かる。このようにきれいな式になるのは、基準点を重心( $9$ )にとったおかげである。別の基準点を取った場合は、余計な項が出るし、 $𝜇$ がブロック対角行列にならない。

【11.1-注2】運動方程式( $7$ )の各項の計算

運動方程式( $7$ )：（左辺の微分を括り出した） $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀) - ˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = 𝐴 T 𝑭$ の各項を計算すると、以下のようになる： $𝜇 \equiv 𝐴 T 𝑀 𝐴 = [\sum 𝑖 𝑚 𝑖 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)] ˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = 𝟎 𝚽 \equiv 𝐴 T 𝑭 = [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖]$ $𝒙 𝑖 g = 𝒙 𝑖 - 𝒙 g$ である。基準点 $𝒙 0$ は重心 $𝒙 g$ にとっている。

導出

3つの式を1つずつ見ていく。 $𝐴$ は式( $5$ )で与えられている。

第1式：

𝜇

$𝜇 \equiv 𝐴 T 𝑀 𝐴 = [11 \dots 𝒙 1 g \times 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 1 g \times 1 - 𝒙 2 g \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = [\sum 𝑖 𝑚 𝑖 - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g \times \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g \times - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 g \times) 2] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 - 𝒙 g) = 𝑚 𝒙 g - 𝑚 𝒙 g ∵ 式 (9) = 𝟎 (𝒙 𝑖 g \times) 2 = - | 𝒙 | 2 + 𝒙 𝒙 T ∵ 第 10 章の【 10.2 - 注 2 】 = [\sum 𝑖 𝑚 𝑖 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)] ◼$ 赤字部分がうまく消えるのは、重心( $9$ )を基準にとったからである。

第2式：

˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀

$˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = ˙ 𝐴 T 𝑀 ˙ 𝑿 = [00 \dots ˙ 𝒙 1 g \times ˙ 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 ˙ 𝒙 𝑖 g \times ˙ 𝒙 𝑖 ∣ ∣ ∣ ∣ 自明な関係式 ˙ 𝒙 𝑖 = ˙ 𝒙 𝑖 g + ˙ 𝒙 g を代入して、 ˙ 𝒙 𝑖 g \times ˙ 𝒙 𝑖 g = 𝟎 を使う = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g ⏟ 𝟎 \times ˙ 𝒙 g = 𝟎 ◼$ 赤字部分は、第1式のものと同じなのでゼロ。

第3式：

𝚽

$𝚽 \equiv 𝐴 T 𝑭 = [11 \dots 𝒙 1 g \times 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖] ◼$

11.1.3剛体の運動方程式( $10$ )の分離：式( $11$ )

剛体の運動の計算に必要な方程式が得られたので、結果をまとめておこう。

剛体の運動方程式：式( $11$ )

運動方程式( $10$ )を、重心速度 $˙ 𝒙 g$ に対するものと、角速度 $𝝎$ に対するものに分けて書くと、以下のようになる： $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) = 𝝉 g ⎫ { {⎬ { {⎭ (11)$ ただし、緑赤部分の定義は以下である： $全質量： 𝑚 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 外力の和： 𝒇 = \sum 𝑖 𝒇 𝑖 慣性モーメント： 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g) トルク： 𝝉 g = \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖 (12) (13)$ 慣性モーメント $𝐼 g$ とトルク $𝝉 g$ に添え字 $g$ がついているのは、基準点を重心 $𝒙 g$ に取っていることを表している。 $𝒙 g$ 以外の基準点を取った場合、式( $10$ )の第2式は、このような単純な式にはならない。

重心の運動方程式

式( $11$ )の第1式： $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇 (14)$ を見ると、見慣れた質点の運動方程式と同じ形になっている。即ち、重心 $𝒙 g$ の時間変化を知るだけであれば、剛体に働く外力の和 $𝒇$ さえ分かればよく、「物体の形状」や「どこに力がかかっているか」を考慮する必要はない。これまでも、キャッチボールや振り子を考える際、物体の形状を考慮してこなかったが、実際それでよかったわけである。

回転の運動方程式

同第2式： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) = 𝝉 g (15)$ は、回転に関する運動方程式である。トルク $𝝉 g$ は「回転を引き起こそうとする力」であり、大きくなるほど、角速度 $𝝎$ が変化しやすくなる。一方、慣性モーメント $𝐼 g$ は、式( $14$ )と見比べれば分かるように、質量 $𝑚$ に対応する量である。実際、 $𝑚$ が大きくなると速度 $˙ 𝒙 g$ が変化しづらくなるように、 $𝐼 g$ が大きくなるほど $𝝎$ が変化しづらくなる。ただし、 $𝐼 g$ は行列であり、時間にも依存するため、式( $15$ )は、式( $14$ )よりも複雑である。式( $15$ )の性質について、次節にまとめておく。角運動量 $𝑳$ 回転の運動方程式( $15$ )において、左辺のトルク $𝝉 g$ がゼロであれば、右辺の $𝑳 \equiv 𝐼 g 𝝎$ が保存する。この $𝑳$ を角運動量という。

11.1.4参考回転の運動方程式( $15$ )の性質

回転に関する運動方程式( $15$ )の性質について、いくつか補足しておく。

重心の運動方程式と似ている最も簡単な例として、球対称な剛体のように、慣性モーメント $𝐼 g$ がスカラー行列（＝単位行列を実数倍したもの）になる場合を考える。この時、 $𝐼 g$ の時間微分 $˙ 𝐼 g$ はゼロとなるので（以下の【11.1-注3】）、運動方程式( $15$ )は $𝐼 g ˙ 𝝎 = 𝝉 g$ となる。これは、重心の運動方程式( $14$ ) $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇$ と同じ形である。よって、（質量 $𝑚$ が大きくなるほど重心速度が変化しづらくなるのと同様に） $𝐼 g$ は、「大きくなるほど回転運動が変化しづらくなる」ような量（＝回転の慣性を表す量）と見なせる。それに対応して、右辺のトルク $𝝉 g$ は、物体の回転速度を変化させようとする「力」のようなものと見なせる。これが、 $𝐼 g, 𝝉 g$ に対する最も単純なイメージである。なお、球体の慣性モーメントの計算は、第14章の14.3.4節で行っている（より一般的に楕円体で計算している）。
トルクの大きさトルク $𝝉 g$ が最大になるのは、式( $13$ )により、重心方向と外力が直交する時である。例えば、ボウリングのボールに力を加えて回転させる時、最も効率よく回転させることができるのは、球面に沿った方向に力を加える場合であることが直感的にわかる。実際この時、ちょうどトルクの大きさも最大になっている。逆に、ボールの重心同方向に力がかかっている場合、トルクが $𝟎$ になり、ボールの回転は影響を受けない。
$𝐼 g$ がスカラー行列でない場合慣性モーメント $𝐼 g$ がスカラー行列でない場合、運動方程式( $15$ )を $˙ 𝝎 = [\dots]$ の形に変形すると、以下のようになる：（以下の【11.1-注3】を使った） $˙ 𝝎 = 𝐼 - 1 g (𝝉 g - 𝝎 \times 𝐼 g 𝝎) (16)$ これからも分かるように、たとえ $𝝉 g = 𝟎$ であっても、右辺第2項が残るので、一般には $˙ 𝝎 \neq 𝟎$ である。即ち、外力が働いていない場合であっても、回転の速さや向きは変化し得る。
運動方程式が定義できないことがある慣性モーメント $𝐼 g$ の逆行列が存在しなくなる場合がある。全ての質点要素がある同一直線 $𝐿$ 上に乗っている場合である。実際、定義( $12$ )より、 $𝐿$ に平行な任意のベクトル $𝒍$ に対して $𝐼 g 𝒍 = 𝟎$ となるので、 $𝐼 g$ は逆行列を持たない。この時、運動方程式( $16$ )は定義できないので、運動を解くことができない。これは自然な結果である。というのも、全ての質点要素が $𝐿$ 上に乗っている場合、 $𝐿$ の周りの回転角度が意味をなさなくなるためである。逆に、質点要素が、平面的あるいは立体的に分布している場合には、 $𝐼 g$ は常に逆行列を持つ。

【11.1-注3】慣性モーメント $𝐼 g$ の時間微分

慣性モーメント $𝐼 g$ の時間微分は、以下のようになる： $˙ 𝐼 g = 𝝎 \times 𝐼 g - 𝐼 g 𝝎 \times (17)$

導出

$𝐼 g$ の定義式( $12$ )の微分を素直に計算すると以下のようになる：（見やすさのため $𝒙 𝑖 g$ を $𝒙 𝑖$ と略記している） $˙ 𝐼 g = 𝑑 𝑑 𝑡 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑑 𝑑 𝑡 | 𝒙 𝑖 | 2 = 2 𝒙 T 𝑖 ˙ 𝒙 𝑖 = 2 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times 𝒙 𝑖 = 0 𝑑 𝑑 𝑡 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 = ˙ 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 ˙ 𝒙 T 𝑖 = 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (- 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times)$ 一方、式( $17$ )の右辺も、 $𝐼 g$ の定義式( $12$ )を代入すれば同じ結果になる： $𝝎 \times 𝐼 g - 𝐼 g 𝝎 \times = 𝝎 \times \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) = 𝝎 \times - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) 𝝎 \times = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (- 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times) ◼$

11.2剛体の運動の計算

運動方程式( $11$ )は、重心速度 $˙ 𝒙 g$ と角速度 $𝝎$ の時間発展を与える方程式である。よって、与えられた初期値の下で、これを解くことにより、「剛体の運動」、即ち、「重心位置と回転の時間発展」が計算できることになる。

しかし、実際に計算を行うためには、はっきりさせるべき点がある。この節では、「初期値をどのように設定するか」、「どのように運動方程式を解けばよいか」について議論を行う。運動方程式を、見通しの良い1階の正規形に変形すると、式( $21$ )のようになる。

11.2.1剛体のモデリング

まず当然であるが、剛体の形状を定義する必要がある。

モデル配置での剛体の形状を定義する

剛体の形状を定義するためには、剛体の配置（位置と向き）を決めてやる必要があるわけだが、剛体の変形しないので、都合の良い任意の配置を考えてよい。このような、剛体の形状の定義のための配置のことを、モデル配置と呼ぶことにする。以下、モデル配置での変数には、チルダ $˜$ をつけて区別することにする。このモデル配置において、各質点要素の質量 $𝑚 𝑖$ と座標 $˜ 𝒙 𝑖$ を与えてやれば、剛体の形状が定義できたことになる。

モデル配置と質点要素の関係：式( $18$ )

剛体の配置を決めるのは、重心位置 $𝒙 g$ と回転行列 $𝑅$ である。これらを用いて、「モデル配置での質点要素の座標 $˜ 𝒙 𝑖$ 」と「任意の配置での座標 $𝒙 𝑖$ 」の関係式を書き下すと以下のようになる：（前章の10.1.3節） $𝒙 𝑖 = 𝒙 g + 𝑅 (˜ 𝒙 𝑖 - ˜ 𝒙 g) (18)$ よって、 $𝒙 g, 𝑅$ の時間変化を計算すれば、全ての質点要素 $𝒙 𝑖$ の運動も、モデル配置から決まる。重心 $˜ 𝒙 g$ モデル配置での重心 $˜ 𝒙 g$ は、以下で与えられる：（式( $9$ )） $˜ 𝒙 g = 1 𝑚 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 ˜ 𝒙 𝑖$

慣性モーメントの公式：式( $19$ )

慣性モーメント $𝐼 g$ は、運動方程式( $11$ )に現れる量なので、剛体の運動を計算するには必要な量である。しかし、全ての質点要素に対して和をとるという定義式( $12$ )を、配置が変化するたびに計算し直すのは大変である。実は、単純な公式が存在し、モデル配置での値： $˜ 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| ˜ 𝒙 𝑖 g | 2 - ˜ 𝒙 𝑖 g ˜ 𝒙 T 𝑖 g)$ さえ求めておけば、 $𝐼 g$ は、以下の【11.2-注1】の公式で容易に計算できる。

【11.2-注1】慣性モーメントの回転の公式

モデル位置での慣性モーメントが $˜ 𝐼 g$ である剛体が、回転行列 $𝑅$ だけ回転したとする。回転後の慣性モーメント $𝐼 g$ は以下のようになる： $𝐼 g = 𝑅 ˜ 𝐼 g 𝑅 T (19)$ このように、回転 $𝑅$ のみに依存し、重心 $𝒙 g$ には依存しない。なお、うまくモデル配置を設定すると、 $˜ 𝐼 g$ を対角行列（以下の【11.2-注2】）にすることができ、式( $19$ )の計算がより簡単になる。

証明

慣性モーメント $˜ 𝐼 g, 𝐼$ の定義は $˜ 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| ˜ 𝒙 𝑖 g | 2 - ˜ 𝒙 𝑖 g ˜ 𝒙 T 𝑖 g) 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)$ である。これの第2式に式( $18$ )： $𝒙 𝑖 g = 𝑅 ˜ 𝒙 𝑖 g$ を代入して、同第1式をくくりだせば、式( $19$ )が得られる（ $𝑅 𝑅 T = 1$ を使う）。 $◼$

【11.2-注2】慣性モーメントは対角化可能

任意の剛体の慣性モーメント $𝐼 g$ は、剛体を適当に回転させることによって、対角化することができる。即ち、以下の形にできる： $𝐼 g = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼 1 00 0 𝐼 2 0 00 𝐼 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (20)$ 対角成分 $𝐼 1, 𝐼 2, 𝐼 3$ を主慣性モーメントという。よって、モデル配置をうまくとれば、 $˜ 𝐼$ を対角行列にすることができる。結局、剛体の個性を表現するには、主慣性モーメントの3成分と、全質量、あわせて4成分だけで十分であり、これらが一致する剛体の運動は、本質的には等しい。

証明の概要

剛体を回転させた時の慣性モーメントの変化は、式( $19$ )で与えられる。一方、線形代数の定理により、「任意の実対称行列 $𝐴$ は、ある回転行列 $𝑅$ によって対角化できる（＝ $𝑅 𝐴 𝑅 T$ が対角行列になる）」ことが知られている。慣性モーメントは対称行列なので、なぜなら、定義式( $12$ )の全ての項が対称行列だから。この定理が使えて、回転によって対角化できることが言える。 $◼$

11.2.2運動方程式( $21$ )を解けば運動が求まる

ではいよいよ、運動方程式の解法を考える。

運動方程式を正規形にする：式( $21$ )

上述の通り、剛体の運動を計算することは、重心位置 $𝒙 g (𝑡)$ および回転行列 $𝑅 (𝑡)$ の時間変化を計算することに他ならない。そのためには、運動方程式( $11$ )を解けば良いわけだが、例によって、1階の微分方程式の形に変形しておくと数値計算しやすい（第3章の【3.1-注1】）： $𝑑 𝑑 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒙 g ˙ 𝒙 g 𝑅 𝐼 g 𝝎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 g 𝑚 - 1 𝒇 𝝎 \times 𝑅 𝝉 g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (21)$ 上2成分が「重心 $𝒙 g$ とその微分」に対する微分方程式、下2成分が「回転行列 $𝑅$ とその微分」に対する微分方程式である。第3成分を導出するには、前章の10.2.2節で述べた角速度 $𝝎$ の定義式： $𝝎 \times = ˙ 𝑅 𝑅 T$ に $𝑅$ を右乗すればよい。第4成分は、 $˙ 𝝎 = [\dots]$ の形（式( $16$ )）にしてもよい。

運動方程式( $21$ )を解く

運動方程式( $21$ )は、赤字部分 $[⋮]$ に対する微分方程式である。この式は、以下の手順で解くことができる。

1初期値を与える

初期時刻 $𝑡 = 0$ における $[⋮]$ 部分の値を与える。なお、回転行列 $𝑅$ は、モデル配置からの回転を表すので、 $𝑡 = 0$ であっても単位行列とは限らない。慣性モーメント $𝐼 g$ は、「予め計算したモデル配置での値 $˜ 𝐼 g$ 」と「 $𝑅$ 」から、公式( $19$ )を使って求める。

2漸化式を解く

後は、微分方程式を解けばよい。1次近似から得られる漸化式： $[⋮] 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ [⋮] 𝑡 + 𝑑 𝑑 𝑡 [⋮] 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡$ の右辺第2項に式( $21$ )を代入したもの： $[⋮] 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ [⋮] 𝑡 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 g 𝑚 - 1 𝒇 𝝎 \times 𝑅 𝝉 g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (22)$ は、 $𝑡 = 0$ から順に解く。これを続けて、微小な時間幅 $𝛿 𝑡$ ずつ、任意の時刻 $𝑡$ まで進めることで、 $[⋮] 𝑡$ 、即ち、 $𝒙 g (𝑡), 𝑅 (𝑡)$ が求まる。式( $22$ )の右辺を計算するためには、 $[⋮] 𝑡$ が分かれば十分であることに注意。もちろん、外力の和 $𝒇$ とトルク $𝝉 g$ を求めるためには、どのような外力が働いているかを決めておく必要がある。式( $22$ )による解法は、第3章の【3.1-注1】で述べたオイラー法である。そこでも指摘した通り、式( $22$ )は精度が低いので、実用上は誤差の少ない4次のルンゲ・クッタ法などを使う。

参考「回転の自由な座標」での運動方程式

式( $21$ )では、回転行列 $𝑅$ の時間発展を計算対象としたが、 $𝑅$ の代わりに、第10章の10.3節で述べた、オイラー角などの自由な座標 $𝜽$ を用いることもできる。その場合、同章の【10.3-注2】や【10.3-注3】に示した $𝝎$ と $˙ 𝜽$ の関係式を $˙ 𝜽 = 𝐴 𝝎$ と書くことにして、以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒙 g ˙ 𝒙 g 𝜽 𝐼 g 𝝎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 g 𝑚 - 1 𝒇 𝐴 𝝎 𝝉 g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$ $𝜽$ の初期値は任意の値をとることができる。

11.2.3例題重力は、剛体の回転に影響しない

例として、外力が、一様な重力のみである場合を考える。この時、外力の総和 $𝒇$ およびトルク $𝝉 g$ は、例外的に簡単になる：

$𝒇 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒈 = 𝑚 𝒈 𝝉 g = \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝑚 𝑖 𝒈 = 𝟎 ∵ \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g = 𝑚 (𝒙 g - 𝒙 g) = 𝟎$

重心の運動方程式

まず、重心 $𝒙 g$ の運動方程式は、運動方程式( $11$ )の第1式より $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝑚 𝒈$ となる。これは、第1章の質点のキャッチボールの場合とまったく同じである。

回転の運動方程式

また、回転部分の運動方程式については、トルク $𝝉 g$ がゼロなのだから、同第2式より $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) = 𝟎 (23)$ となる。

回転の数値シミュレーション

以上を踏まえ、回転部分のみに着目して、トルクがゼロの場合の運動方程式( $23$ )について、数値計算を行う。実際に計算を行うと、右図のようになる。

自由な速度 𝛀 に対する運動方程式(2)が欲しい

運動方程式 ＝ 「剛体上の1点 𝒙0 と回転行列 𝑅 」の2階微分を与える方程式

質点要素の運動方程式を変形すればよい → 回転部分に拘束条件が残っている

→ 自由な速度が分かればよい

¨𝑅 の代わりに角速度 𝝎 の微分 ˙𝝎 を求めても良い

この章の方針

11.1剛体の運動方程式の導出

11.1.1自由な速度 𝛀 に対する運動方程式（展開前）：式(7)

【11.1-注1】 ˙𝑿 と 𝛀 の関係

導出

11.1.2基準点を重心(9)に取った時の運動方程式:式(10)

基準点 𝒙0 を重心 𝒙g にとる：式(9)

運動方程式：式(10)

【11.1-注2】運動方程式(7)の各項の計算

導出

11.1.3剛体の運動方程式(10)の分離：式(11)

剛体の運動方程式：式(11)

重心の運動方程式

回転の運動方程式

11.1.4参考回転の運動方程式(15)の性質

【11.1-注3】慣性モーメント 𝐼g の時間微分

導出

11.2剛体の運動の計算

11.2.1剛体のモデリング

モデル配置での剛体の形状を定義する

モデル配置と質点要素の関係：式(18)

慣性モーメントの公式：式(19)

【11.2-注1】慣性モーメントの回転の公式

証明

【11.2-注2】慣性モーメントは対角化可能

証明の概要

11.2.2運動方程式(21)を解けば運動が求まる

運動方程式を正規形にする：式(21)

運動方程式(21)を解く

参考「回転の自由な座標」での運動方程式

11.2.3例題重力は、剛体の回転に影響しない

回転の数値シミュレーション

自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式( $2$ )が欲しい

運動方程式＝「剛体上の1点 $𝒙 0$ と回転行列 $𝑅$ 」の2階微分を与える方程式

$¨ 𝑅$ の代わりに角速度 $𝝎$ の微分 $˙ 𝝎$ を求めても良い

11.1.1自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式（展開前）：式( $7$ )

【11.1-注1】 $˙ 𝑿$ と $𝛀$ の関係

11.1.2基準点を重心( $9$ )に取った時の運動方程式:式( $10$ )

基準点 $𝒙 0$ を重心 $𝒙 g$ にとる：式( $9$ )

運動方程式：式( $10$ )

【11.1-注2】運動方程式( $7$ )の各項の計算

11.1.3剛体の運動方程式( $10$ )の分離：式( $11$ )

剛体の運動方程式：式( $11$ )

11.1.4参考回転の運動方程式( $15$ )の性質

【11.1-注3】慣性モーメント $𝐼 g$ の時間微分

モデル配置と質点要素の関係：式( $18$ )

慣性モーメントの公式：式( $19$ )

11.2.2運動方程式( $21$ )を解けば運動が求まる

運動方程式を正規形にする：式( $21$ )

運動方程式( $21$ )を解く