剛体の運動方程式の導出（重心と慣性モーメント）

剛体の運動方程式を求めたい。

自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式( $1$ )が欲しい

いよいよ、剛体の運動を求める方法を考える。前章で見たように、剛体の状態を一意的に決めるには、剛体上の1点 $𝒙 0$ と回転行列 $𝑅$ を指定すればよい。従って、「剛体の運動を求める」とは、これら $𝒙 0, 𝑅$ の時間発展を求めることである。 $𝑅$ の代わりに前章の10.3節で例示した自由な座標 $𝜽$ でもよい。

そのためには、これまでと同様に、初期値として $𝒙 0 (0), 𝑅 (0)$ およびその微分 $˙ 𝒙 0 (0), ˙ 𝑅 (0)$ を与えたうえで、2階微分 $¨ 𝒙 0, ¨ 𝑅$ を与える方程式（＝運動方程式）を解くという流れになる。

第9章で議論したように、自由な座標が与えられれば、拘束力を消去することにより運動方程式が得られる。その議論を援用したいわけだが、残念ながら $𝑅$ は自由な座標ではない。しかし、拘束力を消去するのに必要なのは、運動可能な方向の情報なので、自由な「速度」が分かれば十分である。前章で見たように、 $𝑅$ の自由な「速度」として、角速度ベクトル $𝝎$ が存在する。 $˙ 𝑅$ と $𝝎$ の関係式は以下： $˙ 𝑅 = 𝝎 \times 𝑅$

従って、 $˙ 𝒙 0$ と $𝝎$ をまとめたもの $𝛀$ ： $𝛀 = [˙ 𝒙 0 𝝎]$ を考えて、拘束力を消去すれば、 $𝛀$ に対する運動方程式： $˙ 𝛀 \equiv [¨ 𝒙 0 ˙ 𝝎] = [\dots] (1)$ が得られるはずである。

この章では、上記の議論に従って、剛体の運動方程式( $1$ )を導出する。また、式( $1$ )が得られたとしても、これを用いて実際の計算を行う方法は自明ではない。具体的な手続きについて、多少議論が必要だろう。そこでこの章では、以下の2つの節に分けて議論を行う：11.1剛体の運動方程式の導出11.2剛体の運動の計算

11.1剛体の運動方程式の導出

この節では、剛体の運動方程式( $10$ )を導く。剛体自体には拘束条件がかかっていないとする。剛体にさらに拘束がかかっている場合については次章で扱う。

11.1.1自由な速度 $𝛀$ に対する運動方程式（展開前）：式( $6$ )

議論の出発地点は、剛体を構成する全ての質点要素 $𝒙 𝑖$ に対する運動方程式： $⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟___⏟___⏟ 𝑀 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ¨ 𝒙 1 ¨ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ ¨ 𝑿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 c 1 𝒇 c 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝑭 c (2)$ である。これを変形して、式( $1$ )の形に持っていけばよい：

拘束力

𝑭 c

を消したい

式( $2$ )で未知なのは、拘束力 $𝑭 c$ である。第9章と同様に、 $𝑭 c$ を消去することを考える。

𝑭 c

と

˙ 𝑿

の関係式

拘束力 $𝑭 c$ は、ダランベールの原理により、拘束条件を満たす全ての速度 $˙ 𝑿$ と「直交」する（第8章の8.2節）： $˙ 𝑿 T 𝑭 c = 0 (3)$ $˙ 𝑿$ は、自由な速度 $𝛀$ の1次式として以下のように表せる：（以下の【11.1-注1】） $˙ 𝑿 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝐴 𝛀 (4)$

𝑭 c

を消去

式( $4$ )を式( $3$ )に代入して $˙ 𝑿$ を消去すると、 $𝛀$ が任意の値をとれることに注意して $𝐴 T 𝑭 c = 0$ が成立する。従って、運動方程式( $2$ )から $𝑭 c$ を消去するには、 $𝐴 T$ を辺々左乗すればよい： $𝐴 T 𝑀 ¨ 𝑿 = 𝐴 T 𝑭 (5)$

自由な速度

˙ 𝛀

に対する方程式

この運動方程式( $5$ )の $¨ 𝑿$ に速度( $4$ )を代入すれば、欲しかった $˙ 𝛀$ に対する方程式が得られる： $𝐴 T 𝑀 (𝑑 𝑑 𝑡 𝐴 𝛀) = 𝐴 T 𝑭 (6)$ 後は、 $𝐴$ の中身を実際に展開して、 $˙ 𝛀 = [\dots]$ の形にするだけである（後述のように、実際にはこの形より式( $9$ )の形のほうがきれいになる）。

【11.1-注1】 $˙ 𝑿$ と $𝛀$ の関係

質点要素の速度 $˙ 𝑿$ と自由な速度 $𝛀$ は、以下の関係で結ばれる： $˙ 𝑿 \equiv ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟__⏟__⏟ 𝐴 [˙ 𝒙 0 𝝎] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 10 \times 1 - 𝒙 20 \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ 𝛀 (7)$ $𝒙 𝑖 0 = 𝒙 𝑖 - 𝒙 0$ 。ベクトルのクロス $𝒙 \times$ の定義は、第10章の【10.2-注2】。

導出

前章の10.2節で示したように、質点要素の速度 $˙ 𝒙 𝑖$ は $˙ 𝒙 𝑖 = ˙ 𝒙 0 + 𝝎 \times 𝒙 𝑖 0 = [1 - 𝒙 𝑖 0 \times] [˙ 𝒙 0 𝝎] ⏟ 𝛀$ である。これを式( $7$ )の中辺に代入すれば、最右辺になる。 $◼$

11.1.2基準点を重心( $8$ )に取った時の運動方程式:式( $9$ )

運動方程式( $6$ )に式( $7$ )の $𝐴$ を代入して、各項を計算していく。実際の計算を行うに当たって、任意にとれる剛体上の基準点 $𝒙 0$ として、重心 $𝒙 g$ を採用することにしよう：（ $𝑚 \equiv \sum 𝑚 𝑖$ は剛体の全質量） $𝒙 0 = 𝒙 g \equiv 1 𝑚 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 (8)$ その理由は、剛体内の拘束力は作用・反作用の法則を満たすので、重心の速度 $˙ 𝒙 g$ が拘束力の影響を受けない（第6章の【6.2-注1】）からである。これにより、 $˙ 𝒙 g$ は、拘束力の影響を受けず、外力だけに依存することになる。

式( $8$ )のもとで、運動方程式( $6$ )の $𝐴$ を展開すると、以下の運動方程式が得られる：（ $𝒙 𝑖 g = 𝒙 𝑖 - 𝒙 g$ ） $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 𝜇 \equiv [𝑚 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)] 𝚽 \equiv [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖] (9)$ 導出は以下の【11.1-注2】の通りである。上式は、外力 $𝒇 𝑖$ だけを右辺に集めることを優先し、当初予定していた $˙ 𝛀 = [\dots]$ の形にはしていない。このおかげで、外力がない場合には、右辺がゼロになり、左辺の $𝜇 𝛀$ が保存することが分かる。なお、 $𝜇$ がブロック対角行列になっているのは、基準点を $𝒙 0 = 𝒙 g$ としたおかげである。

【11.1-注2】運動方程式( $6$ )の各項の計算

運動方程式( $6$ )の左辺の微分を括り出したもの： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀) - ˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = 𝐴 T 𝑭$ の各項を、式( $7$ )の $𝐴$ 、および、 $𝒙 0 = 𝒙 g$ のもとで計算すると、以下のようになる：（ $𝒙 𝑖 g = 𝒙 𝑖 - 𝒙 g$ ） $𝜇 \equiv 𝐴 T 𝑀 𝐴 = [𝑚 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)] ˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = 𝟎 𝐴 T 𝑭 = [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖]$

導出

3つの式を1つずつ見ていく。

第1式

$𝜇 \equiv 𝐴 T 𝑀 𝐴 = [11 \dots 𝒙 1 g \times 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝒙 1 g \times 1 - 𝒙 2 g \times ⋮ ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = [\sum 𝑖 𝑚 𝑖 - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g \times \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g \times - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 g \times) 2] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 g) = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (𝒙 𝑖 - 𝒙 g) = 𝑚 𝒙 g - 𝑚 𝒙 g = 𝟎 (𝒙 \times) 2 = - | 𝒙 | 2 + 𝒙 𝒙 T （第 10 章の【 10.2 - 注 2 】） = [𝑚 0 0 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)]$ （赤字部分がうまく消えるのは、重心を基準にとったからである。） $◼$

第2式

$˙ 𝐴 T 𝑀 𝐴 𝛀 = ˙ 𝐴 T 𝑀 ˙ 𝑿 = [00 \dots ˙ 𝒙 1 g \times ˙ 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑚 1 𝑚 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 1 ˙ 𝒙 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 ˙ 𝒙 𝑖 g \times ˙ 𝒙 𝑖 ∣ ∣ ∣ ∣ ˙ 𝒙 𝑖 = ˙ 𝒙 𝑖 g + ˙ 𝒙 g を代入して、 ˙ 𝒙 𝑖 g \times ˙ 𝒙 𝑖 g = 𝟎 を使う。 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 ˙ 𝒙 𝑖 g ⏟ 𝟎 \times ˙ 𝒙 𝑔 = 𝟎$ （結果がゼロになるのは、重心を基準にとったからである。） $◼$

第3式

$𝐴 T 𝑭 = [11 \dots 𝒙 1 g \times 𝒙 2 g \times \dots] ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒇 1 𝒇 2 ⋮ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = [\sum 𝑖 𝒇 𝑖 \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖] ◼$

11.1.3剛体の運動方程式( $9$ )の分離：式( $10$ )

得られた結果をまとめておこう。式( $9$ )を、重心速度 $˙ 𝒙 g$ に対するものと、角速度 $𝝎$ に対するものに分けて書くと、以下のようになる： $𝑚 ¨ 𝒙 g \equiv 𝒇 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) \equiv 𝝉 g ⎫ { {⎬ { {⎭ (10)$ ただし、赤字部分の定義は以下である： $全質量： 𝑚 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 外力の和： 𝒇 = \sum 𝑖 𝒇 𝑖 慣性モーメント： 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g) トルク： 𝝉 g = \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝒇 𝑖 (11) (12)$ 慣性モーメント $𝐼 g$ とトルク $𝝉 g$ に添え字 $g$ がついているのは、重心を基準にしていることを表している。式( $10$ )の第2式より、外力（またはトルク $𝝉 g$ ）がゼロの場合には $𝐼 g 𝝎$ （角運動量という）が保存する。

式( $10$ )の第1式を見ると、質点の運動方程式と同じ形になっている。即ち、重心 $𝒙 g$ の時間変化を知るだけであれば、剛体に働く外力の和 $𝒇$ さえ分かればよく、物体の形状を考慮する必要はない。これまでも、キャッチボールや振り子を考える際、物体の形状を考慮してこなかったが、実際それでよかったわけである。

式( $10$ )の第2式は、回転に関する運動方程式である。その性質について次の段落にまとめる。

11.1.4回転に関する運動方程式( $10$ )の性質

簡単のため、慣性モーメント $𝐼 g$ がスカラー行列（＝単位行列を実数倍したもの）になる場合（例えば球対称な剛体）を考える。この時、 $𝐼 g$ の時間微分は、 $˙ 𝐼 g = 0$ となる（以下の【11.1-注3】）。従って、式( $10$ )の第2式は $𝐼 g ˙ 𝝎 = 𝝉 g$ となり、第1式 $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇$ と同じ形である。質量 $𝑚$ が大きくなるほど速度を変化させづらくなるのと同様に、 $𝐼 g$ は、大きくなるほど回転運動を変化させづらくなるような量（＝回転の慣性を表す量）と見なせる。一方、トルク $𝝉 g$ は、物体を回転させようとする「力」のようなものということになる。
式( $12$ )を見ると、トルク $𝝉 g$ が最大になるのは、重心方向と外力が直交する時であることが分かる。例えば、ボウリングのボールに力を加えて回転させる時、最も効率よく回転させることができるのは、球面に沿った方向に力を加える場合であることが直感的にわかる。実際この時、ちょうどトルクの大きさも最大になっている。逆に、ボールの重心に向かうような力がかかっている場合、トルクが $𝟎$ になり、ボールの回転には影響しない。
慣性モーメント $𝐼 g$ がスカラー行列でない場合、式( $10$ )の第2式を $˙ 𝝎 = [\dots]$ の形に変形すると、以下のようになる：（以下の【11.1-注3】を使った） $˙ 𝝎 = 𝐼 - 1 g (𝝉 g - 𝝎 \times 𝐼 g 𝝎) (13)$ これからも分かるように、たとえ $𝝉 g = 𝟎$ であっても、右辺第2項が残るので、一般には $˙ 𝝎 \neq 𝟎$ である。即ち、外力が働いていない場合であっても、回転軸（＝ $𝝎$ の向き）は変化し得る。
全ての質点要素がある同一直線 $𝐿$ 上に乗っている場合、 $𝐼$ の逆行列が存在しなくなる（ $𝐿$ に平行なベクトル $𝒍$ に対して $𝐼 g 𝒍 = 𝟎$ となる）。よって、運動方程式( $13$ )は成立しなくなる。これは自然な結果である。というのも、全ての質点要素が $𝐿$ 上に乗っている場合、 $𝐿$ の周りの回転角度が意味をなさなくなるためである。逆に、質点要素が、平面的あるいは立体的に分布している場合には、 $𝐼$ は常に逆行列を持つ。

【11.1-注3】慣性モーメント $𝐼 g$ の時間微分

慣性モーメント $𝐼 g$ の時間微分は、以下のようになる： $˙ 𝐼 g = 𝝎 \times 𝐼 g - 𝐼 g 𝝎 \times (14)$

導出

定義式( $11$ )の微分を素直に計算すると以下のようになる：（見やすくするため $𝒙 𝑖 g$ を $𝒙 𝑖$ と略記している） $˙ 𝐼 g = 𝑑 𝑑 𝑡 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑑 𝑑 𝑡 | 𝒙 𝑖 | 2 = 2 𝒙 T 𝑖 ˙ 𝒙 𝑖 = 2 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times 𝒙 𝑖 = 0 𝑑 𝑑 𝑡 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 = ˙ 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 ˙ 𝒙 T 𝑖 = 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (- 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times)$ 一方、式( $14$ )の右辺も変形すれば同じ結果になる： $𝝎 \times 𝐼 g - 𝐼 g 𝝎 \times = 𝝎 \times \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) = 𝝎 \times - \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 | 2 - 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖) 𝝎 \times = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (- 𝝎 \times 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 + 𝒙 𝑖 𝒙 T 𝑖 𝝎 \times) ◼$

11.2剛体の運動の計算

運動方程式( $10$ )を用いれば、重心速度 $˙ 𝒙 g$ と角速度 $𝝎$ の時間変化が計算できることになる。しかし、初期値をどのように設定するかなど、はっきりさせるべき点がある。この節では、それら、実際の計算に必要な議論を行う。特に、見通しの良い1階の正規形に変形すると式( $19$ )のようになる。

11.2.1剛体のモデリング

まず当然であるが、剛体の形状を定義する必要がある。剛体の形状は変化しないので、適当な位置・向きに配置し、その時の各質点要素 $𝑚 𝑖, ̃ 𝒙 𝑖$ を与えてやれば十分である。これを剛体のモデル位置と呼ぶことにする。その後、このモデル位置での慣性モーメント $̃ 𝐼 g$ と重心 $̃ 𝒙 g$ を、計算しておく（式( $11$ )と式( $8$ )に）： $̃ 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (∣ ̃ 𝒙 𝑖 g ∣ 2 - ̃ 𝒙 𝑖 g ̃ 𝒙 T 𝑖 g) ̃ 𝒙 g = 1 𝑚 \sum 𝑖 𝑚 𝑖 ̃ 𝒙 𝑖 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (15)$ モデル位置は、 $𝑡 = 0$ における位置でなくとも、計算しやすいようにとればよい。例えば、 $̃ 𝐼 g$ が対角行列になるようにとれる（以下の【11.2-注1】の式( $17$ )のように、対角行列にすることは常に可能である）。モデル位置での剛体の向きが、 $𝑡 = 0$ での向きと異なる場合、回転行列 $𝑅$ の初期値は単位行列ではなくなる： $𝑅 (0) \neq 1$ 。

任意の時刻における質点要素の座標 $𝒙 𝑖$ を求めるには、重心 $𝒙 g$ と回転行列 $𝑅$ が分かればよい：（前章の10.1節） $𝒙 𝑖 = 𝒙 g + 𝑅 (̃ 𝒙 𝑖 - ̃ 𝒙 g) (16)$ よって、後は $𝒙 g, 𝑅$ の時間変化を計算すれば、全ての質点要素 $𝒙 𝑖$ の運動を計算できる、即ち、剛体の運動が計算できる。

【11.2-注1】慣性モーメントは対角化可能

どのような $̃ 𝐼$ であっても、適当に回転させることによって、 $𝐼$ を以下のように対角化することができる： $𝐼 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐼 1 00 0 𝐼 2 0 00 𝐼 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (17)$ 対角成分 $𝐼 1, 𝐼 2, 𝐼 3$ を主慣性モーメントという。逆に言えば、モデル位置をうまくとれば、 $̃ 𝐼$ を対角化することができる。

証明の概要

剛体を回転させた時の慣性モーメントの変化は、以下の【11.2-注2】で与えられる。一方、線形代数の定理により、「任意の実対称行列 $𝐴$ は、回転行列 $𝑅$ によって対角化できる（＝ $𝑅 𝐴 𝑅 T$ が対角行列になる）」ことが知られている。慣性モーメントは対称行列なのでこの定理が使えて、回転によって対角化できることが言える。 $◼$

【11.2-注2】慣性モーメントの性質

モデル位置での慣性モーメントが $̃ 𝐼 g$ である剛体が、回転行列 $𝑅$ だけ回転したとする。回転後の慣性モーメント $𝐼 g$ は以下のようになる： $𝐼 g = 𝑅 ̃ 𝐼 g 𝑅 T (18)$

導出

慣性モーメント $̃ 𝐼 g, 𝐼$ の定義は $̃ 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (∣ ̃ 𝒙 𝑖 g ∣ 2 - ̃ 𝒙 𝑖 g ̃ 𝒙 T 𝑖 g) 𝐼 g = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 (| 𝒙 𝑖 g | 2 - 𝒙 𝑖 g 𝒙 T 𝑖 g)$ である。これの第2式に式( $16$ )： $𝒙 𝑖 g = 𝑅 ̃ 𝒙 𝑖 g$ を代入して、同第1式をくくりだせば、式( $18$ )が得られる（ $𝑅 𝑅 T = 1$ を使う）。

11.2.2運動方程式( $19$ )を解けば運動が求まる

上述の通り、剛体の運動を計算することは、重心位置 $𝒙 g (𝑡)$ および回転行列 $𝑅 (𝑡)$ の時間変化を計算することに他ならない。そのためには、運動方程式( $10$ )を解けば良いわけだが、1階の微分方程式（第3章の【3.1-注1】）の形に変形しておくと見通しがよい： $𝑑 𝑑 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒙 g ˙ 𝒙 g 𝑅 𝐼 g 𝝎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 g 𝑚 - 1 𝒇 𝝎 \times 𝑅 𝝉 g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (19)$ 上2つが重心 $𝒙 g$ に関するもの、下2つが回転 $𝑅$ に関するものである。第4成分は、角運動量 $𝐼 g 𝝎$ の微分での代わりに、角速度 $𝝎$ の微分( $13$ )を用いてもよい。

後は、時刻 $𝑡 = 0$ における $[\dots]$ 部分の値を与えたうえで、1次近似から得られる漸化式： $[\dots] 𝑡 + 𝛿 𝑡 ≐ [\dots] 𝑡 + 𝑑 𝑑 𝑡 [\dots] 𝑡 \cdot 𝛿 𝑡 (20)$ を用いて、微小な時間幅 $𝛿 𝑡$ ずつ時刻を進めていけば、任意の時刻 $𝑡$ の $[\dots] 𝑡$ が計算できる、即ち、 $𝒙 g (𝑡), 𝑅 (𝑡)$ が求まる。これは第3章の【3.1-注1】で述べたオイラー法である。そこでも指摘した通り、式( $20$ )は精度が低いので、実用上は誤差の少ない4次のルンゲ・クッタ法などを使う。

なお、式( $20$ )の第4成分から、時刻 $𝑡 + 𝛿 𝑡$ における角運動量 $𝐼 g 𝝎$ が決まるが、実際に必要なのは、同時刻の $𝝎$ である。実際、漸化式( $20$ )の次のステップで、第3成分の計算をする際に $𝝎$ を使う。 $𝝎$ を求めるには慣性モーメント $𝐼 g$ が分かれば良いわけだが、【11.2-注2】により、 $𝑅$ とモデル座標での慣性モーメント $̃ 𝐼 g$ から計算できる。

式( $19$ )では、 $𝑅$ の時間発展を計算対象としたが、 $𝑅$ の代わりに、第10章の10.3節で述べたオイラー角などの自由な座標 $𝜽$ を用いることもできる。その場合、同章の【10.3-注2】や【10.3-注3】に示した $𝝎$ と $˙ 𝜽$ の関係式を $˙ 𝜽 = 𝐴 𝝎$ と書くことにして、以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝒙 g ˙ 𝒙 g 𝜽 𝐼 g 𝝎 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ 𝒙 g 𝑚 - 1 𝒇 𝐴 𝝎 𝝉 g ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$ $𝜽$ の初期値は任意の値をとることができる。

11.2.3【例題】重力は剛体の回転に影響しない

例として、外力として一様な重力のみが作用している場合を考える。この場合、外力の総和 $𝒇$ およびトルク $𝝉 g$ は、例外的に簡単になる：

$𝒇 = \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒈 = 𝑚 𝒈 𝝉 g = \sum 𝑖 𝒙 𝑖 g \times 𝑚 𝑖 𝒈 = 𝟎 ∵ \sum 𝑖 𝑚 𝑖 𝒙 𝑖 g = 𝑚 (𝒙 g - 𝒙 g) = 𝟎$ よって、運動方程式( $10$ )の第1式より、重心 $𝒙 g$ の運動方程式は $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝑚 𝒈$ となり、第1章の質点のキャッチボールの場合と同じになる。また、回転部分については、同第2式よりトルクが発生しないので、重力は回転には影響しないことも分かる。

そこで、回転部分のみの着目して、外力が働いていない場合の運動について数値計算を行う。実際に計算を行うと、右図のようになる。

自由な速度 𝛀 に対する運動方程式(1)が欲しい

11.1剛体の運動方程式の導出

11.1.1自由な速度 𝛀 に対する運動方程式（展開前）：式(6)

【11.1-注1】 ˙𝑿 と 𝛀 の関係

導出

11.1.2基準点を重心(8)に取った時の運動方程式:式(9)

【11.1-注2】運動方程式(6)の各項の計算

導出

11.1.3剛体の運動方程式(9)の分離：式(10)

11.1.4回転に関する運動方程式(10)の性質

【11.1-注3】慣性モーメント 𝐼g の時間微分

導出