力学編 第11章

自由な剛体

剛体の運動を求めるための運動方程式は、式()、あるいは、それを数値計算に適した形に変形した式()である。これを使って、剛体の重心位置 および回転行列 の時間発展が求められる。ただし、予め、剛体の重心位置と慣性モーメントを計算しておく必要がある(式())

剛体の運動方程式を求めたい。

自由な速度 に対する運動方程式()が欲しい

いよいよ、剛体の運動を求める方法を考える。前章で見たように、剛体の状態を一意的に決めるには、剛体上の1点 と回転行列 を指定すればよい。従って、「剛体の運動を求める」とは、これら の時間発展を求めることである。 の代わりに前章の10.3節で例示した自由な座標 でもよい。)

そのためには、これまでと同様に、初期値として およびその微分 を与えたうえで、2階微分 を与える方程式(=運動方程式)を解くという流れになる。

第9章で議論したように、自由な座標が与えられれば、拘束力を消去することにより運動方程式が得られる。その議論を援用したいわけだが、残念ながら は自由な座標ではない。しかし、拘束力を消去するのに必要なのは、運動可能な方向の情報なので、自由な「速度」が分かれば十分である。前章で見たように、 の自由な「速度」として、角速度ベクトル が存在する。 の関係式は である。

従って、 をまとめたもの を考えて、拘束力を消去すれば、 に対する運動方程式: が得られるはずである。

この章では、上記の議論に従って、剛体の運動方程式()を導出する。また、式()が得られたとしても、これを用いて実際の計算を行う方法は自明ではない。具体的な手続きについて、多少議論が必要だろう。そこでこの章では、以下の2つの節に分けて議論を行う:

11.1剛体の運動方程式の導出

この節では、剛体の運動方程式()を導く。(剛体自体には拘束条件がかかっていないとする。剛体にさらに拘束がかかっている場合については次章で扱う。)

自由な速度 に対する運動方程式(展開前):式()

議論の出発地点は、剛体を構成する全ての質点要素 に対する運動方程式: である。これを変形して、式()の形に持っていけばよい。

式()で未知なのは、拘束力 である。第9章と同様に、 を消去することを考える。 は、ダランベールの原理により、拘束条件を満たす全ての速度 と「直交」する(第8章の8.2節) は、自由な速度 の1次式なので、ある行列 (以下の【11.1-注1】を参照)を用いて以下のように表せる: この式を式()に代入して を消去すると、 が任意の値をとれることに注意して が得られる。従って、運動方程式()から を消去するには、 を辺々左乗すればよい:

この運動方程式()の に速度()を代入すれば、欲しかった に対する方程式が得られる: 後は、 の中身を実際に展開して、 の形にするだけである(後述のように、実際にはこの形より式()の形のほうがきれいになる)

【11.1-注1】 の関係

質点要素の速度 と自由な速度 は、以下の関係で結ばれる: 。ベクトルのクロス の定義は、第10章の【10.2-注2】。

導出

前章の10.2節で示したように、質点要素の速度 である。これを式()の中辺に代入すれば、最右辺になる。

基準点を重心()に取った時の運動方程式:式()

運動方程式()に式()の を代入して、各項を計算していく。実際の計算を行うに当たって、任意にとれる剛体上の基準点 として、重心 を採用することにしよう: は剛体の全質量) その理由は、剛体内の拘束力は作用・反作用の法則を満たすので、重心の速度 が拘束力の影響を受けない(第6章の【6.2-注1】)からである。これにより、 は、拘束力の影響を受けず、外力にだけ依存することになる。

式()のもとで、運動方程式()の を展開すると、以下の運動方程式が得られる: 導出は以下の【11.1-注2】の通りである。上式は、外力 だけを右辺に集めることを優先し、当初予定していた の形にはしていない。(このおかげで、外力がない場合には、右辺がゼロになり、左辺の が保存することが分かる。)なお、 がブロック対角行列になっているのは、基準点を としたおかげである。

【11.1-注2】運動方程式()の各項の計算

運動方程式()の左辺の微分を括り出したもの: の各項を、式()の 、および、 のもとで計算すると、以下のようになる:

導出

第1式: 赤字部分がうまく消えるのは、重心を基準にとったからである。

第2式: 使 結果がゼロになるのは、重心を基準にとったからである。

第3式:

剛体の運動方程式()の分離:式()

得られた結果をまとめておこう。式()を、重心速度 に対するものと、角速度 に対するものに分けて書くと、以下のようになる: ただし、赤字部分の定義は以下である: 慣性モーメント とトルク に添え字 がついているのは、重心を基準にしていることを表している。式()の第2式より、外力(またはトルク )がゼロの場合には (角運動量という)が保存する。

式()の第1式を見ると、質点の運動方程式と同じ形になっている。即ち、重心 の時間変化を知るだけであれば、剛体に働く外力の和 さえ分かればよく、物体の形状を考慮する必要はない。これまでも、キャッチボールや振り子を考える際、物体の形状を考慮してこなかったが、実際それでよかったわけである。

式()の第2式は、回転に関する運動方程式である。その性質について次の段落にまとめる。

回転に関する運動方程式()の性質

[1] 簡単のため、慣性モーメント がスカラー行列(=単位行列を実数倍したもの)になる場合(例えば球対称な剛体)を考える。この時、 の時間微分は、 となる(以下の【11.1-注3】)。従って、式()の第2式は となり、第1式 と同じ形である。質量 が大きくなるほど速度を変化させづらくなるのと同様に、 は、大きくなるほど回転運動を変化させづらくなるような量(=回転の慣性を表す量)と見なせる。一方、トルク は、物体を回転させようとする「力」のようなものということになる。

[2] 式()を見ると、トルク が最大になるのは、重心方向と外力が直交する時であることが分かる。例えば、ボウリングのボールに力を加えて回転させる時、最も効率よく回転させることができるのは、球面に沿った方向に力を加える場合であることが直感的にわかる。実際この時、ちょうどトルクの大きさも最大になっている。逆に、ボールの重心に向かうような力がかかっている場合、トルクが になり、ボールの回転には影響しない。

[3] 慣性モーメント がスカラー行列でない場合、式()の第2式を の形に変形すると、以下のようになる:(以下の【11.1-注3】を使った) これからも分かるように、たとえ であっても、右辺第2項が残るので、一般には である。即ち、外力が働いていない場合であっても、回転軸(= の向き)は変化し得る。

[4] 全ての質点要素がある同一直線 上に乗っている場合、 の逆行列が存在しなくなる に平行なベクトル に対して となる)。よって、運動方程式()は成立しなくなる。これは自然な結果である。というのも、全ての質点要素が 上に乗っている場合、 の周りの回転角度が意味をなさなくなるためである。逆に、質点要素が、平面的あるいは立体的に分布している場合には、 は常に逆行列を持つ。

【11.1-注3】慣性モーメント の時間微分

慣性モーメント の時間微分は、以下のようになる:

導出

定義式()の微分を素直に計算すると以下のようになる:(見やすくするため と略記している) 一方、式()の右辺も変形すれば同じ結果になる:

11.2剛体の運動の計算

運動方程式()を用いれば、重心速度 と角速度 の時間変化が計算できることになる。しかし、初期値をどのように設定するかなど、はっきりさせるべき点がある。この節では、それら、実際の計算に必要な議論を行う。特に、見通しの良い1階の正規形に変形すると式()のようになる。

剛体のモデリング

まず当然であるが、剛体の形状を定義する必要がある。剛体の形状は変化しないので、適当な位置・向きに配置し、その時の各質点要素 を与えてやれば十分である。これを剛体のモデル位置と呼ぶことにする。その後、このモデル位置での慣性モーメント と重心 を、計算しておく(式()と式()に) モデル位置は、 における位置でなくとも、計算しやすいようにとればよい。例えば、 が対角行列になるようにとれる(以下の【11.2-注1】の式()のように、対角行列にすることは常に可能である)。モデル位置での剛体の向きが、 での向きと異なる場合、回転行列 の初期値は単位行列ではなくなる:

任意の時刻における質点要素の座標 を求めるには、重心 と回転行列 が分かればよい:(前章の10.1節) よって、後は の時間変化を計算すれば、全ての質点要素 の運動を計算できる、即ち、剛体の運動が計算できる。

【11.2-注1】慣性モーメントは対角化可能

どのような であっても、適当に回転させることによって、 を以下のように対角化することができる: 対角成分 を主慣性モーメントという。逆に言えば、モデル位置をうまくとれば、 を対角化することができる。

証明の概要

剛体を回転させた時の慣性モーメントの変化は、以下の【11.2-注2】で与えられる。一方、線形代数の定理により、「任意の実対称行列 は、回転行列 によって対角化できる(= が対角行列になる)」ことが知られている。慣性モーメントは対称行列なのでこの定理が使えて、回転によって対角化できることが言える。

【11.2-注2】慣性モーメントの性質

モデル位置での慣性モーメントが である剛体が、回転行列 だけ回転したとする。回転後の慣性モーメント は以下のようになる:

導出

慣性モーメント の定義は である。これの第2式に式(): を代入して、同第1式をくくりだせば、式()が得られる を使う)

運動方程式()を解けば運動が求まる

上述の通り、剛体の運動を計算することは、重心位置 および回転行列 の時間変化を計算することに他ならない。そのためには、運動方程式()を解けば良いわけだが、1階の微分方程式(第3章の【3.1-注1】)の形に変形しておくと見通しがよい: 上2つが重心 に関するもの、下2つが回転 に関するものである。第4成分は、角運動量 の微分での代わりに、角速度 の微分()を用いてもよい。

後は、時刻 における 部分の値を与えたうえで、1次近似から得られる漸化式: を用いて、微小な時間幅 ずつ時刻を進めていけば、任意の時刻 が計算できる、即ち、 が求まる。(これは第3章の【3.1-注1】で述べたオイラー法である。そこでも指摘した通り、式()は精度が低いので、実用上は誤差の少ない4次のルンゲ・クッタ法などを使う。)

なお、式()の第4成分から、時刻 における角運動量 が決まるが、実際に必要なのは、同時刻の である。実際、漸化式()の次のステップで、第3成分の計算をする際に を使う。 を求めるには慣性モーメント が分かれば良いわけだが、【11.2-注2】により、 とモデル座標での慣性モーメント から計算できる。

式()では、 の時間発展を計算対象としたが、 の代わりに、第10章の10.3節で述べたオイラー角などの自由な座標 を用いることもできる。その場合、同章の【10.3-注2】や【10.3-注3】に示した の関係式を と書くことにして、以下のようになる: の初期値は任意の値をとることができる。

【例題】重力は剛体の回転に影響しない

例として、外力として一様な重力のみが作用している場合を考える。この場合、外力の総和 およびトルク は、例外的に簡単になる:

よって、運動方程式()の第1式より、重心 の運動方程式は となり、第1章の質点のキャッチボールの場合と同じになる。また、回転部分については、同第2式よりトルクが発生しないので、重力は回転には影響しないことも分かる。

そこで、回転部分のみの着目して、外力が働いていない場合の運動について数値計算を行う。実際に計算を行うと、右図のようになる。