3次元の密度積分

密度分布 が分かっている曲線・曲面・立体の全質量を求めたい。

全体の質量＝微小要素の質量の和

3次元空間中に曲線（の形をしたひもや針金）がおかれているとする。この曲線の全質量を求める方法を考えてみる。もしも曲線の線密度が一定であればこれは簡単で、全質量 は、線密度 に「曲線の長さ 」を掛けたものになる： は に比例することは直感的に明らかだろう。 はその係数として定義されるものであり、予め分かっているとする。

線密度 が場所によって異なる場合であっても、右図のように、曲線を多数の微小な線要素に仮想的に分割すればよい。全質量 は、それぞれの線要素の質量 を足し合わせたものである（＝区分求積法）： 線要素を十分小さくとっておけば、各々の線要素内では密度が一定になっていると見なせるので、 は、式()と同様に「線要素の密度 」と「線要素の長さ 」の積で近似できる： 両式を合わせることにより、 は と近似できる。

等式にするには、分割を非常に細かくしていった極限（ と書くことにする）を取ればよい： これは、区分求積法の形をしているので、通常の積分 の形に帰着させる公式が存在しそうである。

この章では、そのような積分公式を求める。線密度・面密度・体積密度の場合それぞれについて、以下の3つの節に分けて議論を行う： 線密度の積分面密度の積分体積密度の積分

なお、見やすくするため、通常の積分表記 の代わりに、 を省略した以下の表記を使う（標準的ではない）：

14.1線密度の積分

この節では、曲線の形状を適当なパラメータ で表すことにより、曲線上での積分を、通常の積分 に帰着させる公式()を導く。

全質量を微小線要素の和で表す：式()

質量を求めたい曲線を とおく。冒頭で述べたように、 を微小な線要素に分割する。右図のように、 番目の線要素の始点を とし、線要素の始点と終点を結ぶベクトルを とおく。1つの線要素の質量は なので、全質量 は、式()と同様に定式化できる： 式()の を形式的に に置き換えた形になっているのは、通常の区分求積法と同様である。 は曲線 上で積分を行うことを表す。通常の積分と違って絶対値 をかけており、積分の方向が意味を持たないので、この表記で十分である。

ただし、以降では、さらに積分表記を簡略化して、 を省略したものを使う（一般的ではない）： は、 が 上の点をとることを表す。式()を見たら、頭の中で式()（＝ を細かい線要素に分割して「線要素の長さと をかけたもの」の総和をとる）をイメージする。

積分()を数直線上の積分に引き戻す：式()

式()の値は、曲線の形状 と密度 を与えることで決まる。問題は、これをどう計算するかである。冒頭でも述べたように、曲線 は1次元なので、3次元空間内の積分()を、1次元の数直線 上の積分 の形に変換したい。この変換のことを、積分を（3次元空間から数直線上に）「引き戻す（pullback）」という。引き戻しを行うには、式()の各項を で表せばよい。

まず、右図のように針金の曲線 に適当なパラメータ を入れ、 が取り得る範囲を とおく。 を与えれば、対応する が決まる。これにより、密度分布 も、 上に引き戻される（＝ の関数として表される）： 。

ここで、 の分割を決めれば、曲線 の分割も決まることに着目する。実際、右図のように、 を微小な線要素 に分割してやれば、 は、微分の連鎖律から決まる： このことを、 の分割を に「押し出す（pushforward）」という。これにより、式()の を、 で表すことができる： 部分は本来、絶対値を付けて とすべきだが、 となるように分割することにして絶対値を外した。 は計量と呼ばれる。計量という名前は、式()のように、 から、 の大きさ を「計量」するために必要な量であることに由来する。

後は、式()を式()に代入すれば、 での積分になる。即ち、 の範囲を として以下のようになる： 得られた結果をまとめると、以下の【14.1-注1】のようになる。

【例題】円の場合：式()

例題として、半径 の円形の針金の質量 を考える。線密度 は定数とする。答えはもちろん （＝円周の長さ に線密度 をかけたもの）であるが、式()を用いて計算する。

2次元の極座標 を使って引き戻すのが自然である。式()より、 は よって質量 は、式()により、積分範囲が であることに注意して

14.2面密度の積分

この節では、曲面の形状をパラメータ表示することで、曲面上での積分を通常の多重積分に帰着させる公式()を導く。

全質量を微小面要素の和で表す：式()

曲面（ とおく）の質量を計算したい。そのために、前節と同様に、 を微小な面要素に分割する。右図のように、 番目の微小要素上の1点を とし、要素の面積を とおく。 の全質量 は、面要素の質量 の和をとれば良いので、式()と同様に、以下のように書ける： は曲面 上の積分であることを表す。

前節の線積分の場合と揃えるために、微小な面積を という記号で表している。これは、2次元平面上の2つのベクトル が作る平行四辺形の面積 が、 （ は行列式であり、符号は全体が正になるように選ぶ）と書けることを考えると自然だろう。なお、3次元空間でも成り立つ面積の公式は、以下の【14.2-注1】のようになる。

前節と同様に、以降では、式()を以下のように略記する（一般的な記法ではない）：

式()を2次元平面上の積分に引き戻す：式()

曲面自体は2次元なので、積分()を2次元平面上の積分に引き戻すことを考える（右図）。まずは、曲面 上に、適当なパラメータ を入れてやればよい： 。 の取る平面領域を とおく。密度関数も、 の関数に引き戻される： 。

次に、前節の1次元の場合と同様に、 を微小面要素に分割する。 での分割を に押し出すことにより、 の分割も決まる。実際、微小面要素を「 軸に沿った長方形」とすれば（右図緑色部分）、 を元の曲面 に押し出したベクトル、それぞれ は となる（式()と同様）。

後は、式()の面積 を、 を用いて表せばよい。式()を面積公式()に代入するだけである： 右と同じ定義：行列式の公式： なお、 には、本来、絶対値が必要だが、前節と同様に と取ることにして絶対値を外した。この も計量と呼ばれる。 上での微小ベクトル を に押し出したベクトル の大きさは、 により、 と書ける。

式()を区分求積の式()に代入すると、全質量 が、2次元平面 上の積分で表される： 上での積分()を計算するには、 積分と 積分を順に行えばよい（累次積分）： 詳細は以下の【14.2-注2】を参照のこと。

【例題】球面の場合：式()

半径 の球面の質量 を考える。面密度 は定数とする。答えはもちろん、 である。

極座標 ： を用いて引き戻すことを考える。まず、 は、計量 の定義()により、以下のようになる： が上手く対角化されているのは、 軸と 軸が直交するためである。よって、式()から質量 が求まる。実際、 が、 と で定義される直方体であることに注意して

14.3体積密度の積分

立体の場合、すでに通常の多重積分の形になっているので、引き戻しは、単なる変数変換となる。この節では、その変数変換の公式()を導く。

全質量を微小体積要素の和で表す：式()

立体 の質量を求めたい。これまでと同様に、 を微小な体積要素に分割する。 番目の要素上の1点を 、体積を とおくと、 の全質量 は となる。前節同様、式()は、以下のようにも表記する：

3つのベクトル が作る平行六面体の体積 は、平行四辺形の面積に場合()と同様に となる。あるいは、公式 が使えるので、以下のようにも書ける：（符号は全体が正になるようにとる）

そのまま計算する場合は式()、変数変換を行う場合は式()

3次元の場合は、引き戻し（変数変換）を行わなくても計算できる。実際、体積要素が「 軸に沿った直方体」になるように分割を行えば、その体積 は、直方体の各辺の長さを として、 となるので、式()は以下のようになる： 前節の式()と同様に、各変数について順に積分すれば計算できる。

とはいえ、変数変換を考えたほうがよい場合もある。例えば、球対称な物体の場合は、極座標を用いた方が計算しやすいだろう。変数変換を行うために、立体 上に適当なパラメータ を入れる： 。 の取り得る領域を とする。 上の微小体要素として、 軸に沿った直方体 を考え、「この直方体を に押し出したもの」の体積 は、式()を用いて以下のようになる： 右と同じ定義： には、本来、絶対値が必要だが、これまでと同様に と取ることにして、絶対値を外した。