3次元の密度積分（区分求積法）

密度分布 $𝜌 (𝑥)$ が分かっている曲線・曲面・立体の全質量を求めたい。

全体の質量＝微小要素の質量の和

3次元空間中に曲線（の形をしたひもや針金）がおかれているとする。この曲線の全質量を求める方法を考えてみる。もしも曲線の線密度が一定であればこれは簡単で、全質量 $𝑚$ は、線密度 $𝜌$ に「曲線の長さ $𝑙$ 」を掛けたものになる： $𝑚 = 𝜌 𝑙 (1)$ $𝑚$ は $𝑙$ に比例することは直感的に明らかだろう。 $𝜌$ はその係数として定義されるものであり、予め分かっているとする。

線密度 $𝜌$ が場所によって異なる場合であっても、右図のように、曲線を多数の微小な線要素に仮想的に分割すればよい。全質量 $𝑚$ は、それぞれの線要素の質量 $𝛿 𝑚 𝑖$ を足し合わせたものである（＝区分求積法）： $𝑚 = \sum 𝑖 𝛿 𝑚 𝑖$ 線要素を十分小さくとっておけば、各々の線要素内では密度が一定になっていると見なせるので、 $𝛿 𝑚 𝑖$ は、式( $1$ )と同様に「線要素の密度 $𝜌 𝑖$ 」と「線要素の長さ $𝛿 𝑙 𝑖$ 」の積で近似できる： $𝛿 𝑚 𝑖 ≐ 𝜌 𝑖 𝛿 𝑙 𝑖$ 両式を合わせることにより、 $𝑚$ は $𝑚 ≃ \sum 𝑖 𝜌 𝑖 𝛿 𝑙 𝑖$ と近似できる。

等式にするには、分割を非常に細かくしていった極限（ $𝛿 \to 0$ と書くことにする）を取ればよい： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 𝑖 𝛿 𝑙 𝑖 (2)$ これは、区分求積法の形をしているので、通常の積分 $\int 𝑏 𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥$ の形に帰着させる公式が存在しそうである。

この章では、そのような積分公式を求める。線密度・面密度・体積密度の場合それぞれについて、以下の3つの節に分けて議論を行う：14.1線密度の積分14.2面密度の積分14.3体積密度の積分

なお、見やすくするため、通常の積分表記 $\int 𝑏 𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥$ の代わりに、 $𝑑 𝑥$ を省略した以下の表記を使う（標準的ではない）： $\int 𝑏 𝑥 = 𝑎 𝑓 (𝑥) \equiv \int 𝑏 𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥$

14.1線密度の積分

この節では、曲線の形状を適当なパラメータ $𝜃$ で表すことにより、曲線上での積分を、通常の積分 $\int 𝑏 𝜃 = 𝑎 𝑓 (𝜃)$ に帰着させる公式( $9$ )を導く。

14.1.1全質量を微小線要素の和で表す：式( $3$ )

質量を求めたい曲線を $𝐶$ とおく。冒頭で述べたように、 $𝐶$ を微小な線要素に分割する。右図のように、 $𝑖$ 番目の線要素の始点を $𝒙 𝑖$ とし、線要素の始点と終点を結ぶベクトルを $𝛿 𝒙 𝑖$ とおく。1つの線要素の質量は $𝛿 𝑚 𝑖 ≐ 𝜌 (𝒙 𝑖) | 𝛿 𝒙 𝑖 |$ なので、全質量 $𝑚$ は、式( $2$ )と同様に定式化できる： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝛿 𝑚 𝑖 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 𝑖) | 𝛿 𝒙 𝑖 | \equiv \int 𝐶 𝜌 (𝒙) | 𝑑 𝒙 | (3) (4)$ 式( $3$ )の $l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖$ を形式的に $\int 𝐶$ に置き換えた形になっているのは、通常の区分求積法と同様である。 $\int 𝐶$ は曲線 $𝐶$ 上で積分を行うことを表す。通常の積分と違って絶対値 $| 𝑑 𝒙 |$ をかけており、積分の方向が意味を持たないので、この表記で十分である。

ただし、以降では、さらに積分表記を簡略化して、 $| 𝑑 𝒙 |$ を省略したものを使う（一般的ではない）： $𝑚 = \int 𝒙 \in 𝐶 𝜌 (𝒙) (5)$ $𝒙 \in 𝐶$ は、 $𝒙$ が $𝐶$ 上の点をとることを表す。式( $5$ )を見たら、頭の中で式( $3$ )（＝ $𝐶$ を細かい線要素に分割して「線要素の長さと $𝜌$ をかけたもの」の総和をとる）をイメージする。

14.1.2積分( $5$ )を数直線上の積分に引き戻す：式( $9$ )

式( $5$ )の値は、曲線の形状 $𝐶$ と密度 $𝜌$ を与えることで決まる。問題は、これをどう計算するかである。冒頭でも述べたように、曲線 $𝐶$ は1次元なので、3次元空間内の積分( $5$ )を、1次元の数直線 $𝜃$ 上の積分 $\int 𝑏 𝜃 = 𝑎 𝑓 (𝜃)$ の形に変換したい。この変換のことを、積分を（3次元空間から数直線上に）「引き戻す（pullback）」という。引き戻しを行うには、式( $3$ )の各項を $𝜃$ で表せばよい。

まず、右図のように針金の曲線 $𝐶$ に適当なパラメータ $𝜃$ を入れ、 $𝜃$ が取り得る範囲を $𝐶 𝜃$ とおく。 $𝜃$ を与えれば、対応する $𝒙 (𝜃)$ が決まる。これにより、密度分布 $𝜌 (𝒙)$ も、 $𝐶 𝜃$ 上に引き戻される（＝ $𝜃$ の関数として表される）： $𝜌 (𝒙 (𝜃))$ 。

ここで、 $𝐶 𝜃$ の分割を決めれば、曲線 $𝐶$ の分割も決まることに着目する。実際、右図のように、 $𝐶 𝜃$ を微小な線要素 $𝛿 𝜃 𝑖$ に分割してやれば、 $𝛿 𝒙 𝑖$ は、微分の連鎖律から決まる： $𝛿 𝒙 𝑖 ≐ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖 (6)$ このことを、 $𝐶 𝜃$ の分割を $𝐶$ に「押し出す（pushforward）」という。これにより、式( $3$ )の $| 𝛿 𝒙 𝑖 |$ を、 $𝛿 𝜃 𝑖$ で表すことができる： $| 𝛿 𝒙 𝑖 | = \sqrt 𝛿 𝒙 T 𝑖 𝛿 𝒙 𝑖 ≐ \sqrt (𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖) T (𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖) = (𝑑 𝒙 𝑑 𝜃) T ⏟ \equiv 𝑔 \sqrt (𝑑 𝒙 𝑑 𝜃) T (𝑑 𝒙 𝑑 𝜃) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝑔 (𝛿 𝜃 𝑖) 2 = \sqrt 𝑔 𝛿 𝜃 𝑖 (7)$ $𝛿 𝜃 𝑖$ 部分は本来、絶対値を付けて $| 𝛿 𝜃 𝑖 |$ とすべきだが、 $0 < 𝛿 𝜃 𝑖$ となるように分割することにして絶対値を外した。 $𝑔$ は計量と呼ばれる。計量という名前は、式( $7$ )のように、 $𝛿 𝜃$ から、 $𝛿 𝒙$ の大きさ $| 𝛿 𝒙 |$ を「計量」するために必要な量であることに由来する。

後は、式( $7$ )を式( $3$ )に代入すれば、 $𝐶 𝜃$ での積分になる。即ち、 $𝐶 𝜃$ の範囲を $[𝜃 0, 𝜃 1]$ として以下のようになる： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 (𝜃 𝑖)) \sqrt 𝑔 𝛿 𝜃 𝑖 = \int 𝜃 1 𝜃 = 𝜃 0 𝜌 \sqrt 𝑔 (8)$ 得られた結果をまとめると、以下の【14.1-注1】のようになる。

【14.1-注1】線積分の引き戻し公式：式( $9$ )

曲線 $𝐶$ 上で与えられた線密度 $𝜌 (𝒙)$ を、 $𝐶$ 上で積分したもの $𝑚$ は $𝑚 = \int 𝒙 \in 𝐶 𝜌$ で与えられる。この積分を数直線上の区間 $𝐶 𝜃 = [𝜃 0, 𝜃 1]$ に引き戻す公式は、以下のようになる：（ $𝜌 = 𝜌 (𝒙 (𝜃))$ ） $𝑚 = \int 𝜃 1 𝜃 = 𝜃 0 𝜌 \sqrt 𝑔 𝑔 (𝜃) \equiv ∣ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 ∣ 2 (9) (10)$ あえてルート記号を残しているのは、後述の面積分( $19$ )や体積積分( $29$ )と合わせるためである。

14.1.3【例題】円の場合：式( $11$ )

例題として、半径 $𝑅$ の円形の針金の質量 $𝑚$ を考える。線密度 $𝜌$ は定数とする。答えはもちろん $𝑚 = 2 𝜋 𝑅 \cdot 𝜌$ （＝円周の長さ $2 𝜋 𝑅$ に線密度 $𝜌$ をかけたもの）であるが、式( $9$ )を用いて計算する。

2次元の極座標 $𝒙 (𝜃) = [𝑅 c o s 𝜃 𝑅 s i n 𝜃]$ を使って引き戻すのが自然である。式( $10$ )より、 $\sqrt 𝑔$ は $\sqrt 𝑔 = ∣ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 ∣ = 𝑅 ∵ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜃 = [- 𝑅 s i n 𝜃 𝑅 c o s 𝜃]$ よって質量 $𝑚$ は、式( $9$ )により、積分範囲が $[𝜃 0, 𝜃 1] = [0, 2 𝜋]$ であることに注意して $𝑚 = \int 2 𝜋 𝜃 = 0 ⏟ 2 𝜋 𝜌 𝑅 = 2 𝜋 𝜌 𝑅 ◼ (11)$

14.2面密度の積分

この節では、曲面の形状をパラメータ表示することで、曲面上での積分を通常の多重積分に帰着させる公式( $19$ )を導く。

14.2.1全質量を微小面要素の和で表す：式( $12$ )

曲面（ $𝑆$ とおく）の質量を計算したい。そのために、前節と同様に、 $𝑆$ を微小な面要素に分割する。右図のように、 $𝑖$ 番目の微小要素上の1点を $𝒙 𝑖$ とし、要素の面積を $𝛿 𝑠 𝑖$ とおく。 $𝑆$ の全質量 $𝑚$ は、面要素の質量 $𝛿 𝑚 𝑖 ≐ 𝜌 (𝒙 𝑖) 𝛿 𝑠 𝑖$ の和をとれば良いので、式( $4$ )と同様に、以下のように書ける： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝛿 𝑚 𝑖 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 𝑖) 𝛿 𝑠 𝑖 \equiv \int 𝑆 𝜌 (𝒙) ∣ 𝑑 2 𝒙 ∣ (12) (13)$ $\int 𝑆$ は曲面 $𝑆$ 上の積分であることを表す。

前節の線積分の場合と揃えるために、微小な面積を $∣ 𝑑 2 𝒙 ∣$ という記号で表している。これは、2次元平面上の2つのベクトル $𝛿 𝒙, 𝛿 𝒚$ が作る平行四辺形の面積 $𝛿 𝑠$ が、 $𝛿 𝑠 = \pm | 𝛿 𝒙 𝛿 𝒚 |$ （ $| \dots |$ は行列式であり、符号は全体が正になるように選ぶ）と書けることを考えると自然だろう。なお、3次元空間でも成り立つ面積の公式は、以下の【14.2-注1】のようになる。

前節と同様に、以降では、式( $13$ )を以下のように略記する（一般的な記法ではない）： $\int 𝒙 \in 𝑆 𝜌 (𝒙) (14)$

【14.2-注1】3次元空間での面積の公式

2つの3次元ベクトル $𝒂, 𝒃$ が作る平行四辺形の面積 $𝑠$ は、以下のようになる： $𝑠 = \sqrt d e t ([𝒂 𝒃] T [𝒂 𝒃]) (15)$ $d e t (\dots)$ は行列式である（ $| \dots |$ と書くと見づらいため）。

導出

導出は、内積の公式 $𝒂 T 𝒃 = | 𝒂 | | 𝒃 | c o s 𝜃$ を使うだけである。 $𝜃$ は $𝒂, 𝒃$ のなす角（右図）。実際、式( $15$ )の右辺の2乗を計算していけば、左辺の2乗に一致する： $(右辺) 2 = d e t ([𝒂 T 𝒃 T] [𝒂 𝒃]) = d e t [𝒂 T 𝒂 𝒂 T 𝒃 𝒃 T 𝒂 𝒃 T 𝒃] = | 𝒂 | 2 | 𝒃 | 2 - (𝒂 T 𝒃) 2 = | 𝒂 | 2 | 𝒃 | 2 s i n 2 𝜃 = 𝑠 2 ◼$

14.2.2式( $12$ )を2次元平面上の積分に引き戻す：式( $19$ )

曲面自体は2次元なので、積分( $14$ )を2次元平面上の積分に引き戻すことを考える（右図）。まずは、曲面 $𝑆$ 上に、適当なパラメータ $𝜽 = (𝜃, 𝜙)$ を入れてやればよい： $𝒙 = 𝒙 (𝜽)$ 。 $𝜽$ の取る平面領域を $𝑆 𝜽$ とおく。密度関数も、 $𝜽$ の関数に引き戻される： $𝜌 (𝒙 (𝜽))$ 。

次に、前節の1次元の場合と同様に、 $𝑆 𝜽$ を微小面要素に分割する。 $𝑆 𝜽$ での分割を $𝑆$ に押し出すことにより、 $𝑆$ の分割も決まる。実際、微小面要素を「 $𝜃, 𝜙$ 軸に沿った長方形」とすれば（右図緑色部分）、 $𝛿 𝜃 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖$ を元の曲面 $𝑆$ に押し出したベクトル、それぞれ $𝛿 𝒙 𝑖, 𝛿 𝒚 𝑖$ は $𝛿 𝒙 𝑖 ≐ 𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝒚 𝑖 ≐ 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙 𝛿 𝜙 𝑖 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (16)$ となる（式( $6$ )と同様）。

後は、式( $12$ )の面積 $𝛿 𝑠 𝑖$ を、 $𝛿 𝜃 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖$ を用いて表せばよい。式( $16$ )を面積公式( $15$ )に代入するだけである： $𝛿 𝑠 𝑖 = \sqrt d e t ([右と同じ] T [𝛿 𝒙 𝑖 𝛿 𝒚 𝑖]) ≐ \sqrt d e t ([\dots] T [𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙 𝛿 𝜙 𝑖]) ∣ ∣ ∣ ∣ 定義： 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 \equiv [𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙] = \sqrt d e t ([\dots] T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 [𝛿 𝜃 𝑖 0 0 𝛿 𝜙 𝑖]) ∣ 行列式の公式： | 𝐴 𝐵 \dots | = | 𝐴 | | 𝐵 | \dots = ∣ (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T ∣ ⏟ \equiv 𝑔 \sqrt ∣ ∣ (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T ∣ (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝑔 ∣ ∣ 𝛿 𝜃 𝑖 0 0 𝛿 𝜙 𝑖 ∣ 2 = \sqrt | 𝑔 | 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 (17)$ なお、 $𝛿 𝜃 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖$ には、本来、絶対値が必要だが、前節と同様に $0 < 𝛿 𝜃 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖$ と取ることにして絶対値を外した。この $𝑔$ も計量と呼ばれる。 $𝑆 𝜽$ 上での微小ベクトル $𝛿 𝜽$ を $𝑆$ に押し出したベクトル $𝛿 𝒙$ の大きさは、 $𝑔$ により、 $| 𝛿 𝒙 | ≐ \sqrt 𝛿 𝒙 T 𝛿 𝒙 ≐ \sqrt 𝛿 𝜽 T 𝑔 𝛿 𝜽$ と書ける。

式( $17$ )を区分求積の式( $12$ )に代入すると、全質量 $𝑚$ が、2次元平面 $𝑆 𝜽$ 上の積分で表される： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 𝑖) 𝛿 𝑠 𝑖 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 (𝜽 𝑖)) \sqrt | 𝑔 | 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 \equiv \int 𝑆 𝜽 𝜌 \sqrt | 𝑔 | 𝑑 𝜃 𝑑 𝜙 (18)$ $𝑆 𝜽$ 上での積分( $18$ )を計算するには、 $𝜃$ 積分と $𝜙$ 積分を順に行えばよい（累次積分）： $𝑚 = \int 𝜃 1 𝜃 = 𝜃 0 \int 𝜙 1 (𝜃) 𝜙 = 𝜙 0 (𝜃) 𝜌 \sqrt | 𝑔 |$ 詳細は以下の【14.2-注2】を参照のこと。

【14.2-注2】面積分の引き戻し公式：式( $19$ )

曲面 $𝑆$ 上で与えられた線密度 $𝜌 (𝒙)$ を、 $𝑆$ 上で積分したもの $𝑚$ ： $𝑚 = \int 𝒙 \in 𝑆 𝜌$ を計算したい。この積分を、 $𝜽 = (𝜃, 𝜙)$ を軸とする2次元平面上の領域 $𝑆 𝜽$ 上の積分に引き戻す公式は、以下のようになる：（ $𝜌 = 𝜌 (𝒙 (𝜽))$ ） $𝑚 = \int 𝜃 1 𝜃 = 𝜃 0 \int 𝜙 1 (𝜃) 𝜙 = 𝜙 0 (𝜃) 𝜌 \sqrt | 𝑔 | 𝑔 (𝜃) \equiv (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 (19) (20)$ まず $𝜙$ 積分を行って、次に $𝜃$ 積分を行えばよい。

ただし、 $𝜃$ 積分の範囲 $𝜃 0, 𝜃 1$ は、 $𝑆 𝜽$ における $𝜃$ の最小値・最大値である（右図）。 $𝜙$ 積分の範囲 $𝜙 0 (𝜃), 𝜙 1 (𝜃)$ は、 $𝜃$ を固定したときの $𝜙$ の最小値・最大値である（同図）。式( $19$ )の積分順序を変えて $𝜃$ 積分を先に行ってもよい： $𝑚 = \int 𝜙 1 𝜙 = 𝜙 0 \int 𝜃 1 (𝜙) 𝜃 = 𝜃 0 (𝜙) 𝜌 \sqrt | 𝑔 |$ その場合、 $𝑆 𝜽$ を横に刻む形になる：

14.2.3【例題】球面の場合：式( $21$ )

半径 $𝑅$ の球面の質量 $𝑚$ を考える。面密度 $𝜌$ は定数とする。答えはもちろん、 $𝑚 = 4 𝜋 𝑅 2 \cdot 𝜌$ である。

極座標 $𝜽 = (𝜃, 𝜙)$ ： $𝒙 (𝜽) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑅 s i n 𝜃 c o s 𝜙 𝑅 s i n 𝜃 s i n 𝜙 𝑅 c o s 𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$ を用いて引き戻すことを考える。まず、 $\sqrt | 𝑔 |$ は、計量 $𝑔$ の定義( $20$ )により、以下のようになる： $𝑔 = (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 = [𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙] = 𝑅 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ c o s 𝜃 c o s 𝜙 - s i n 𝜃 s i n 𝜙 c o s 𝜃 s i n 𝜙 s i n 𝜃 c o s 𝜙 - s i n 𝜃 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = [𝑅 2 0 0 𝑅 2 s i n 2 𝜃] ∴ \sqrt | 𝑔 | = 𝑅 2 s i n 𝜃$ $𝑔$ が上手く対角化されているのは、 $𝜃$ 軸と $𝜙$ 軸が直交するためである。よって、式( $19$ )から質量 $𝑚$ が求まる。実際、 $𝑆 𝜽$ が、 $0 < 𝜃 < 𝜋$ と $0 < 𝜙 < 2 𝜋$ で定義される直方体であることに注意して $𝑚 = \int 𝜋 𝜃 = 0 \int 2 𝜋 𝜙 = 0 𝜌 \cdot 𝑅 2 s i n 𝜃 = \int 𝜋 𝜃 = 0 s i n 𝜃 ⏟ 2 \cdot \int 2 𝜋 𝜙 = 0 1 ⏟ 2 𝜋 \cdot 𝜌 𝑅 2 = 4 𝜋 𝑅 2 𝜌 ◼ (21)$

14.3体積密度の積分

立体の場合、すでに通常の多重積分の形になっているので、引き戻しは、単なる変数変換となる。この節では、その変数変換の公式( $29$ )を導く。

14.3.1全質量を微小体積要素の和で表す：式( $22$ )

立体 $𝑉$ の質量を求めたい。これまでと同様に、 $𝑉$ を微小な体積要素に分割する。 $𝑖$ 番目の要素上の1点を $𝒙 𝑖$ 、体積を $𝛿 𝑣 𝑖$ とおくと、 $𝑉$ の全質量 $𝑚$ は $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 𝑖) 𝛿 𝑣 𝑖 = \int 𝑉 𝜌 (𝒙) ∣ 𝑑 3 𝒙 ∣ (22) (23)$ となる。前節同様、式( $22$ )は、以下のようにも表記する： $\int 𝒙 \in 𝑉 𝜌 (𝒙) (24)$

3つのベクトル $𝛿 𝒙, 𝛿 𝒚, 𝛿 𝒛$ が作る平行六面体の体積 $𝛿 𝑣$ は、平行四辺形の面積に場合( $15$ )と同様に $𝛿 𝑣 = \sqrt d e t ([𝛿 𝒙 𝛿 𝒚 𝛿 𝒛] T [𝛿 𝒙 𝛿 𝒚 𝛿 𝒛]) (25)$ となる。あるいは、公式 $| 𝐴 𝐵 | = | 𝐴 | | 𝐵 |$ が使えるので、以下のようにも書ける：（符号は全体が正になるようにとる） $𝛿 𝑣 = \pm | 𝛿 𝒙 𝛿 𝒚 𝛿 𝒛 |$

14.3.2そのまま計算する場合は式( $26$ )、変数変換を行う場合は式( $28$ )

3次元の場合は、引き戻し（変数変換）を行わなくても計算できる。実際、体積要素が「 $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 軸に沿った直方体」になるように分割を行えば、その体積 $𝛿 𝑣 𝑖$ は、直方体の各辺の長さを $𝛿 𝑥 𝑖, 𝛿 𝑦 𝑖, 𝛿 𝑧 𝑖$ として、 $𝛿 𝑣 𝑖 = 𝛿 𝑥 𝑖 𝛿 𝑦 𝑖 𝛿 𝑧 𝑖$ となるので、式( $23$ )は以下のようになる： $𝑚 = \int 𝑉 𝜌 (𝒙) 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 𝑑 𝑧 = \int 𝑥 1 𝑥 = 𝑥 0 \int 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 = 𝑦 0 (𝑥) \int 𝑧 1 (𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝑧 0 (𝑥, 𝑦) 𝜌 (𝒙) (26)$ 前節の式( $19$ )と同様に、各変数について順に積分すれば計算できる。

とはいえ、変数変換を考えたほうがよい場合もある。例えば、球対称な物体の場合は、極座標を用いた方が計算しやすいだろう。変数変換を行うために、立体 $𝑉$ 上に適当なパラメータ $𝜽 = (𝑟, 𝜃, 𝜙)$ を入れる： $𝒙 = 𝒙 (𝜽)$ 。 $𝜽$ の取り得る領域を $𝑉 𝜽$ とする。 $𝑉 𝜽$ 上の微小体要素として、 $𝑟, 𝜃, 𝜙$ 軸に沿った直方体 $𝛿 𝑟 𝛿 𝜃 𝛿 𝜙$ を考え、「この直方体を $𝑉$ に押し出したもの」の体積 $𝛿 𝑣 𝑖$ は、式( $25$ )を用いて以下のようになる： $𝛿 𝑣 𝑖 = \sqrt d e t ([右と同じ] T [𝛿 𝒙 𝛿 𝒚 𝛿 𝒛]) ≐ \sqrt d e t ([\dots] T [𝜕 𝒙 𝜕 𝑟 𝛿 𝑟 𝑖 𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝛿 𝜃 𝑖 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙 𝛿 𝜙 𝑖]) ∣ ∣ ∣ ∣ 定義： 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 \equiv [𝜕 𝒙 𝜕 𝑟 𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙] = \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt ⎷ d e t ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ [\dots] T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝛿 𝑟 𝑖 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ∣ ∣ ∣ ∣ (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T ⏟ \equiv 𝑔 ∣ ∣ ∣ ∣ \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt ⎷ ∣ (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 ⏟__⏟__⏟ \equiv 𝑔 ∣ ∣ 𝛿 𝑟 𝑖 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 ∣ 2 = \sqrt | 𝑔 | 𝛿 𝑟 𝑖 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 (27)$ $𝛿 𝑟 𝑖 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖$ には、本来、絶対値が必要だが、これまでと同様に $0 < 𝛿 𝑟 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖, 𝛿 𝜙 𝑖$ と取ることにして、絶対値を外した。

上式( $27$ )を、式( $22$ )に代入すると、変数変換を行った場合の公式が得られる： $𝑚 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 𝑖) 𝛿 𝑣 𝑖 = l i m 𝛿 \to 0 \sum 𝑖 𝜌 (𝒙 (𝜽 𝑖)) \sqrt | 𝑔 | 𝛿 𝑟 𝑖 𝛿 𝜃 𝑖 𝛿 𝜙 𝑖 = \int 𝑉 𝜽 𝜌 \sqrt | 𝑔 | 𝑑 𝑟 𝑑 𝜃 𝑑 𝜙 (28)$ 以上をまとめると、【14.3-注1】のようになる。

【14.3-注1】体積積分の引き戻し公式：式( $29$ )

体積 $𝑉$ 上で与えられた密度 $𝜌 (𝒙)$ を、 $𝑉$ 上で積分したもの $𝑚$ は $𝑚 = \int 𝒙 \in 𝑉 𝜌$ で与えられる。この積分を、 $𝜽 = (𝑟, 𝜃, 𝜙)$ を変数とする領域 $𝑉 𝜽$ 上の積分に引き戻す（＝変数変換する）には、被積分関数に $\sqrt | 𝑔 |$ をかければよい：（ $𝜌 = 𝜌 (𝒙 (𝜽))$ ） $𝑚 = \int 𝜽 \in 𝑉 𝜽 𝜌 \sqrt | 𝑔 | = \int 𝑟 1 𝑟 = 𝑟 0 \int 𝜃 1 (𝑟) 𝜃 = 𝜃 0 (𝑟) \int 𝜙 1 (𝑟, 𝜃) 𝜙 = 𝜙 0 (𝑟, 𝜃) 𝜌 \sqrt | 𝑔 | 𝑔 (𝜃) \equiv (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 (29) (30)$ なお、 $\sqrt | 𝑔 |$ は以下のようにもかける：（符号は全体が正になるようにとる） $\sqrt | 𝑔 | = \pm ∣ 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 ∣$

14.3.3【例題1】球の場合：式( $31$ )

半径 $𝑅$ の球の質量 $𝑚$ を考える。密度 $𝜌$ は定数とする。答えはもちろん、 $𝑚 = 4 𝜋 3 𝑅 3 \cdot 𝜌$ である。

極座標 $𝜽 = (𝑟, 𝜃, 𝜙)$ ： $𝒙 (𝜽) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑟 s i n 𝜃 c o s 𝜙 𝑟 s i n 𝜃 s i n 𝜙 𝑟 c o s 𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ を用いて変数変換することを考える。 $\sqrt | 𝑔 |$ は、計量 $𝑔$ の定義( $30$ )により $𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 = [𝜕 𝒙 𝜕 𝑟 𝜕 𝒙 𝜕 𝜃 𝜕 𝒙 𝜕 𝜙] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ s i n 𝜃 c o s 𝜙 𝑟 c o s 𝜃 c o s 𝜙 - 𝑟 s i n 𝜃 s i n 𝜙 s i n 𝜃 s i n 𝜙 𝑟 c o s 𝜃 s i n 𝜙 𝑟 s i n 𝜃 c o s 𝜙 c o s 𝜃 - 𝑟 s i n 𝜃 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ∴ 𝑔 = (𝑑 𝒙 𝑑 𝜽) T 𝑑 𝒙 𝑑 𝜽 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 100 0 𝑟 2 0 00 𝑟 2 s i n 2 𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∴ \sqrt | 𝑔 | = 𝑟 2 s i n 𝜃$ となる。今回も計量 $𝑔$ が対角行列になっているが、これも $𝑟, 𝜃, 𝜙$ 軸が互いに直交するからである。よって、式( $29$ )から $𝑚$ が計算できる： $𝑚 = \int 𝑅 𝑟 = 0 \int 𝜋 𝜃 = 0 \int 2 𝜋 𝜙 = 0 𝜌 \cdot 𝑟 2 s i n 𝜃 = \int 2 𝜋 𝜙 = 0 \int 𝑅 𝑟 = 0 𝑟 2 ⏟ 13 𝑅 3 \cdot \int 2 𝜋 𝜙 = 0 \int 𝜋 𝜃 = 0 s i n 𝜃 ⏟ 2 \cdot \int 2 𝜋 𝜙 = 0 1 ⏟ 2 𝜋 \cdot 𝜌 = 4 𝜋 3 𝑅 3 𝜌 ◼ (31)$

14.3.4【例題2】楕円体の慣性モーメント：式( $32$ )

第13章では、密度 $𝜌$ が一定値の楕円体 $𝐺 (𝒙) \equiv 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 \leq 1$ の慣性モーメント $𝐼$ の値が以下の式( $32$ )となることを、結果だけ示した。ここではその導出を行う。

まず、楕円体の積分を球の積分にするために、以下の変数変換を考える： $𝒙 (𝒙') = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑎 𝑥' 𝑏 𝑦' 𝑐 𝑧' ⎤ ⎥ ⎥ ⎦$ すると、積分領域は単位球になり、計量は $\sqrt | 𝑔 | = 𝑎 𝑏 𝑐$ となる。これらを用いて、慣性モーメント $𝐼$ は以下のように計算できる： $𝐼 \equiv \int 𝐺 \leq 1 𝜌 \cdot (| 𝒙 | 2 - 𝒙 𝒙 T) ∣ ∣ ∣ ∣ 非対角部分は、被積分関数が 𝑥, 𝑦, 𝑧 軸のいずれかに関して奇関数なので、積分すると 0 になる = 𝜌 \int 𝐺 \leq 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧 2 + 𝑥 2 𝑥 2 + 𝑦 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∣ 𝑥, 𝑦, 𝑧 を 𝑥', 𝑦', 𝑧' に変数変換 = 𝜌 \int | 𝒙' | \leq 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏 2 𝑦' 2 + 𝑐 2 𝑧' 2 𝑐 2 𝑧' 2 + 𝑎 2 𝑥' 2 𝑎 2 𝑥' 2 + 𝑏 2 𝑦' 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑎 𝑏 𝑐 ∣ ∣ ∣ ∣ 積分領域が球対称になっているので 𝑦' 2, 𝑧' 2 を 𝑥' 2 で置き換えても値は変わらない = 𝜌 (\int | 𝒙' | \leq 1 𝑥' 2) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑎 𝑏 𝑐 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (\dots) = 4 𝜋 15 (以下の【 14.3 - 注 2 】) 𝑚 = 4 𝜋 3 𝑎 𝑏 𝑐 \cdot 𝜌 (楕円体の質量) = 𝑚 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ◼ (32)$

【14.3-注2】積分の公式

以下の積分公式が成り立つ： $\int | 𝒙 | \leq 1 𝑥 2 = 4 𝜋 15$

導出

導出は、極座標に変数変換すればよい： $\int | 𝒙 | \leq 1 𝑥 2 = \int | 𝒙 | \leq 1 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 = \int 1 𝑟 = 0 \int 𝜋 𝜃 = 0 \int 2 𝜋 𝜙 = 0 𝑟 2 3 \cdot 𝑟 2 s i n 𝜃 = \int 1 𝑟 = 0 𝑟 4 3 \cdot 4 𝜋 = 115 \cdot 4 𝜋 ◼$

全体の質量＝微小要素の質量の和

14.1線密度の積分

14.1.1全質量を微小線要素の和で表す：式(3)

14.1.2積分(5)を数直線上の積分に引き戻す：式(9)

【14.1-注1】線積分の引き戻し公式：式(9)

14.1.3【例題】円の場合：式(11)

14.2面密度の積分

14.2.1全質量を微小面要素の和で表す：式(12)

【14.2-注1】3次元空間での面積の公式

導出

14.2.2式(12)を2次元平面上の積分に引き戻す：式(19)

【14.2-注2】面積分の引き戻し公式：式(19)

14.2.3【例題】球面の場合：式(21)