力学編 第14章

3次元の密度積分

この章では、密度の積分公式()、密度の積分公式()、体積密度の積分公式()を導く。

全体の質量=微小要素の質量の和

3次元空間中に置かれた曲線(の形をしたひもや針金)の全質量 を求めたい。ただし、線密度 が与えられているとする。 が一様であればこれは簡単で、 は、 に「曲線の長さ 」を掛けたものになる: が場所によって異なる場合であっても、右図のように、曲線を多数の微小な線要素に仮想的に分割し、各々の線要素の質量 を足し合わせればよい(=区分求積法) 線要素を十分小さくとっておけば、 を使って表すことができる。実際、各々の線要素は「密度が一定」で「直線形状」となっていると近似できるので、 は、「線要素の密度 」と「線要素の長さ 」の積で近似できる: 数値的に計算する場合にはこれで を求めることができる。

数学的に厳密に を定式化するには、分割を非常に細かくしていった極限 と書くことにする)を取ればよい: これは、区分求積法の形をしているので、通常の積分 の形に帰着させる公式が存在しそうである。

この章では、そのような公式を求める。面密度や、体積密度についても同様に、多重積分に帰着させる。これらについて、以下の3つの節にそれぞれ分けて議論を行う: また、第13章で結果だけ示した楕円体の慣性モーメントを、14.3節の最後で導出する。

14.1線密度の積分

この節では、曲線の形状を適当なパラメータ で表すことにより、曲線上での積分を通常の積分 に帰着させる公式()を導く。

なお、見やすくするため、通常の積分表記 の代わりに、 を省略した を使う(標準的な記法ではない): 特に、以下のような多重積分の場合、式()よりも式()のほうが見やすいだろう:

全質量を微小要素の和で表す:式()

質量を求めたい曲線を とおく。冒頭で述べたように、 を微小な線要素に分割する。右図のように、 番目の線要素の始点を とし、線要素の始点と終点を結ぶ差ベクトルを とおく。全質量 は、線要素の質量 を全て足し合わせ、分割を無限に細かくする極限をとればよい: 式()の を形式的に に置き換えた形になっているのは、通常の区分求積法と同様である。 は曲線 上で積分を行うことを表す。通常の積分と違い、積分の方向が意味を持たないので、この記法で十分である。

式()は、被積分関数が複雑になった時に見づらいので、以降では、 を省略した以下の記法を使う: 一般的な記法ではない。 は、 上の点をとることを表す。

積分()を数直線上の積分に引き戻す:式()

式()の値は、曲線の形状 と密度 を与えることで決まる。問題は、これをどう計算するかである。曲線 は1次元なので、3次元空間内の積分()を、1次元の数直線上の積分 の形に変換することを考えるのが自然だろう。この変換を行うことを、積分を(3次元空間から数直線上に)「引き戻す(pullback)」という。

引き戻しを行うために、右図のように針金の曲線 に適当なパラメータ を入れてやる: を与えれば、対応する が決まるわけである。 が取り得る範囲を とおく。これにより、密度分布 も、 上に引き戻される(= の関数として表される)

ここで、 の分割を決めれば、曲線 の分割も決まることに着目する。具体的には、右図のように を微小な線要素 に分割してやれば、 は、微分の連鎖律: により自動的に決まる。このことを、 の分割を に「押し出す(pushforward)」という。

この式()を使うことにより、 で表すことができる: 部分は本来、絶対値を付けて とすべきだが、 となるように分割することにして絶対値を外した。 は計量(または計量テンソル)と呼ばれる。(計量という名前は、式()のように、 から、 の大きさ を「計量」するために必要な量であることに由来する。)

後は、式()を式()に代入すれば、全質量 が、1次元の数直線上での積分で表される。実際、 の範囲を として以下のようになる: 得られた結果をまとめると、以下の【14.1-注1】のようになる。

【14.1-注1】線積分の引き戻し公式:式()

曲線 上で与えられた線密度 を、 上で積分したもの で与えられる。この積分を数直線上の区間 に引き戻す公式は、以下のようになる: (あえてルート記号を残しているのは、後述の面積分()や体積積分と合わせるためである。)

【例題】円の場合:式()

例題として、線密度が一定値 で、半径 の円形の針金の質量 を考える。答えは、もちろん (円周の長さ に線密度 をかけたもの)であるが、式()を用いて計算する。

2次元の極座標 による引き戻しを考えると、 は、式()より よって、積分範囲が であることに注意して、質量 は、式()から求められる:

14.2面密度の積分

この節では、曲面の形状をパラメータ表示することで、曲面上での積分を通常の多重積分に帰着させる公式()を導く。

全質量を微小要素の和で表す:式()

前節と同様に、曲面 とおく)を微小な面要素に分割する。右図のように、 番目の微小要素上の1点を とし、要素の面積を とおく。すると、 の全質量 は、面要素の質量 の和により、以下のように書ける: は曲面 上の積分であることを表す。

前節の線積分の場合と揃えるために、微小な面積 という記号を使っている。これは、2次元平面上の2つのベクトル が作る平行四辺形の面積 が、 は行列式であり、符号は全体が正になるように選ぶ)と書けることを考えると自然だろう。なお、3次元空間でも成り立つ面積の公式は、以下の【14.2-注1】のようになる。

前節と同様に、以降では、式()を以下のように略記する(一般的な記法ではない)

【14.2-注1】3次元空間での面積の公式

2つの3次元ベクトル が作る平行四辺形の面積 は、以下のようになる: は行列式である( と書くと見づらいため)。

導出

導出は、内積の公式 を使うだけである。 のなす角(右図)。実際、式()の右辺の2乗を計算していくと、以下のように左辺の2乗に一致する:

式()を2次元平面上の積分に引き戻す:式()

曲面自体は2次元なので、積分()を2次元平面上の積分に引き戻すことを考える(右図)。曲面 上に、適当なパラメータ を入れてやればよい: 。密度関数も、 の関数に引き戻される: の取る平面領域を とおく。

前節の1次元の場合と同様に、 を微小面要素に分割する。ただし、微小面要素は「軸に沿った長方形」となるようにとるものとする(右図緑色部分) での分割を に押し出すことにより、 の分割も決まる。実際、 を元の曲面 に押し出したベクトル、それぞれ となる。

式()の面積 を、 を用いて表す必要がある。そのためには、式()を面積公式()に代入すればよい: なお、 には、絶対値が付くが、前節と同様に とすることにして絶対値を外した。

式()を区分求積の式()に代入すると、全質量 が、2次元平面 上の積分で表される: 上での積分()を計算するには、 積分と 積分を順に行えばよい(累次積分)。例えば 積分を先に行う場合 となる。一般に、 積分の範囲 に依存する。得られた結果をまとめると、以下の【14.2-注2】のようになる。

【14.2-注2】面積分の引き戻し公式:式()

曲面 上で与えられた線密度 を、 上で積分したもの で与えられる。この積分を、 を変数とする平面上の領域 に引き戻す公式は、以下のようになる:

ただし、 は、 における の最小値・最大値である(右図) は、 を固定したときの の最小値・最大値である(同図)式()の積分順序を変えて 積分を先に行ってもよい: その場合、 を横に刻む形になる:

【例題】球面の場合:式()

面密度が一定値 で半径 の球面の質量 を考える。(答えはもちろん、 である。)

極座標 を用いて引き戻すことを考える。まず、 は、計量 の定義()により、以下のようになる: が上手く対角化されているのは、 軸と 軸が直交するためである。)よって、式()から質量 が求まる。実際、 が、 で定義される直方体であることに注意して

14.3体積密度の積分

立体の場合、すでに通常の多重積分の形になっているので、引き戻しは、単なる変数変換となる。この節では、その変数変換の公式()を導く。

全質量を微小要素の和で表す:式()

立体 を微小な体積要素に分割する。 番目の要素上の1点を 、体積を とおくと、全質量 となる。前節同様、式()は、以下のようにも表記する:

3つのベクトル が作る平行六面体の体積 は、平行四辺形の面積に場合()と同様に となる。あるいは、公式 が使えるので、以下のようにも書ける:(符号は全体が正になるようにとる)

そのまま計算する場合は式()、変数変換を行う場合は式()

3次元の場合は、引き戻し(変数変換)を行わなくても計算できる。実際、体積要素が「 軸に沿った直方体」になるように分割を行えば、その体積 は、直方体の各辺の長さを として、 となるので、式()は以下のようになる: 前節の式()と同様に、各変数について順に積分すれば計算できる。

とはいえ、変数変換を考えたほうがよい場合もある。例えば、球対称な物体の場合は、極座標を用いた方が計算しやすいだろう。変数変換を行うために、立体 上に適当なパラメータ を入れる: の取り得る領域を とする。前節の曲面の場合と同様に、 軸に沿った直方体の微小体積要素 に分割する。「この体積要素を に押し出したもの」の体積 は、式()を用いて以下のようになる: には、本来絶対値がつくが、ここでも と約束することにして、絶対値を外した。

上式()を、式()に代入すると、変数変換を行った場合の公式が得られる: 以上をまとめると、【14.3-注1】のようになる。

【14.3-注1】体積積分の引き戻し公式:式()

体積 上で与えられた密度 を、 上で積分したもの で与えられる。この積分を、 を変数とする領域 に引き戻す(=変数変換する)には、被積分関数に をかければよい: なお、 は以下のようにもかける:(符号は全体が正になるようにとる)

【例題1】球の場合:式()

密度が一定値 で半径 の球の質量 を考える。(答えはもちろん、 である。)

極座標 を用いて変数変換することを考える。 は、計量 の定義()により となる(今回も計量 が対角行列になっているが、これも 軸が互いに直交するからである)。よって、式()から が計算できる:

【例題2】楕円体の慣性モーメント:式()

第13章では、密度 が一定値の楕円体 の慣性モーメント の値が以下の式()となることを、結果だけ示した。ここではその導出を行う。

まず、楕円体の積分を球の積分にするために、以下の変数変換を考える: すると、積分領域は単位球になり、計量は となる。これらを用いて、慣性モーメント は以下のように計算できる:

【14.3-注2】積分の公式

以下の積分公式が成り立つ:

導出

導出は、極座標に変数変換すればよい: