拘束された剛体の運動方程式（滑り、転がり）

曲がった床の上を、滑ったり転がったりしている剛体の運動方程式を求めたい。

運動方程式( $1$ )の拘束力 $𝒇 c$ と拘束トルク $𝝉 c g$ を求めたい

床の上で運動する剛体の運動を計算したい。剛体に課せられる拘束条件としては、「滑り拘束（＝摩擦なく滑る）」と「転がり拘束（＝摩擦が働き、全く滑らずに転がる）」を考える。

運動方程式を求めれ場良いわけだが、そのための戦略として2種類が考えられる。1つ目は、前章のように自由な速度を求め、その速度に対する運動方程式を立てる方法。2つ目は、拘束の無い剛体の運動方程式（第11章の11.1節）に、拘束力の総和 $𝒇 c$ と拘束トルク $𝝉 c g$ を加えたもの：（添え字 $g$ は重心を基準にしていることを表す） $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇 + 𝒇 c 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) = 𝝉 g + 𝝉 c g ⎫ { {⎬ { {⎭ (1)$ を用いる方法である。 $𝒇 c, 𝝉 c g$ を求めれば、運動方程式が確定することになる。

今考えている状況では、拘束を受ける点（＝床と接触している点）が時々刻々変わるので、1つ目の方法は難しそうである。よって、式( $1$ )を用いる2つ目の方法を採用しよう。

即ち、 $𝒇 c, 𝝉 c g$ を求めることが目的となる。そのためには第8章と同様に、拘束条件を式で表してやればよい。そうすれば、ダランベールの原理から拘束力が決まり、 $𝒇 c, 𝝉 c g$ も決まることになる。

従って、議論すべきは、拘束条件から $𝒇 c, 𝝉 c g$ を求める公式の導出と、床の上を運動する剛体に課せられた拘束条件の定式化である。この章では、この方針に従って、以下のように4つの節に分けて議論する。13.1拘束条件が追加された剛体の運動方程式13.2剛体と床が接しているための条件13.3滑り拘束13.4転がり拘束

13.1拘束条件が追加された剛体の運動方程式

計算を見やすくするため、運動方程式( $1$ )を以下のようにまとめておく： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 + 𝚽 c (2)$ ただし、各々の記号は以下のように定義している： $𝜇 \equiv [𝑚 0 0 𝐼 g], 𝛀 \equiv [˙ 𝒙 g 𝝎], 𝚽 \equiv [𝒇 𝝉 g], 𝚽 c \equiv [𝒇 c 𝝉 c g]$ 運動方程式を決めるためには、 $𝚽 c$ （これも拘束力と呼ぶことにする）を求めればよい。重心を基準にしているので $𝜇$ などは $𝜇 g$ のように書いたほうがよいが、見づらいので省略している。

この節では、剛体に拘束条件を課した時の拘束力 $𝚽 c$ を一般的に求め、その場合の運動方程式( $11$ )を導く。これにより、後の節で滑り・転がりの場合の拘束条件を求めれば、運動方程式が確定する。

13.1.1剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件の一般形：式( $6$ )

まず、剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件が、どのような形で与えられるかを考える。一般に、座標 $𝑿$ に対する拘束条件の場合は $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎 (3)$ の形で与えられる。速度 $˙ 𝑿$ に対する条件は、これを $𝑡$ で微分したもの： $𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ˙ 𝑿 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑡 = 𝟎 (4)$ である。

剛体の場合、 $˙ 𝑿$ は質点要素の速度である。 $˙ 𝑿$ と剛体の速度 $𝛀$ の関係式は、ある行列 $𝐴$ を用いて $˙ 𝑿 = 𝐴 𝛀 (5)$ の形で書ける（第11章の【11.1-注1】）。そこで、この関係式を式( $4$ )に代入して得られる $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 (6)$ の形の式が、 $𝛀$ に対する拘束条件の一般系だと仮定しよう。拘束条件が時間に依存しない場合には、式( $4$ )の場合と同様に、 $𝒃 = 𝟎$ となるだろう。速度の式( $6$ )は、座標の式( $3$ )が存在することを前提として導いた。しかし、この2つは等価ではない。詳しくはこの節の最後の【13.1-注2】で述べるが、例えば、転がり拘束の場合、拘束条件は速度の式( $6$ )の形で書けるにもかかわらず、座標の式( $3$ )の形にすることはできない（存在しない）。即ち、速度に対する拘束条件( $6$ )は、座標の式( $3$ )よりも広いものとなっている。

13.1.2ダランベールの原理( $9$ )により、運動方程式は式( $11$ )

拘束条件( $6$ )から拘束力 $𝚽 c$ を導くには、ダランベールの原理（第8章の8.2節）を適用すればよい。ダランベールの原理とは「拘束面と拘束力が垂直になる」というものであった。拘束面は、「時間依存性を無視した時の拘束条件」を満たす速度 $˙ 𝑿$ で張られる空間である。

今の場合、拘束面は、式( $6$ )で時間依存性を除いた $𝐵 𝛀 = 𝟎$ を満たす $˙ 𝑿$ が張る空間である。この式を $˙ 𝑿$ の関係式にするには、式( $5$ )の両辺に $𝐵 (𝐴 T 𝐴) - 1 𝐴 T$ を左乗するだけである： $𝐵 (𝐴 T 𝐴) - 1 𝐴 T ˙ 𝑿 = 𝐵 𝛀 = 𝟎 (7)$ よってダランベールの原理により、拘束条件( $6$ )による拘束力 $𝑭 c 𝐵$ は、この式( $7$ )を満たす全ての $˙ 𝑿$ と垂直になる。即ち、ある未定乗数 $𝝀$ を用いて、以下のように書ける： $𝑭 c 𝐵 = 𝐴 (𝐴 T 𝐴) - T 𝐵 T 𝝀 (8)$ 垂直という条件 $(𝑭 c 𝐵) T ˙ 𝑿 = 0$ を満たすことは実際に上式を代入すれば分かる。 $𝐴 - T$ という記号は、 $(𝐴 - 1) T$ および $(𝐴 T) - 1$ の略記である（両方とも同じ値になる）。

次に、式( $8$ )を、式( $2$ )の拘束力 $𝚽 c$ の形にする必要がある。これは、第11章の11.1節で $𝚽$ を求めたときと同様に、 $𝐴 T$ を左乗すればよい： $𝚽 c = 𝐴 T 𝑭 c 𝐵 = 𝐵 T 𝝀 (9)$ これが、剛体に拘束条件を追加した時のダランベールの原理である。

後は、 $𝝀$ を求めれば、拘束力 $𝚽 c$ が確定する。その方法は第8章の場合と同様で、運動方程式( $2$ )と拘束条件( $6$ )を連立するだけである。実際に計算すると、求める運動方程式は、以下の【13.1-注1】のようになる。

【13.1-注1】拘束された剛体の運動方程式：式( $11$ )

剛体に、速度 $𝛀$ に対する拘束条件 $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 (10)$ が課せられているとする。この時、剛体の運動方程式は以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 + 𝐵 T 𝝀 𝝀 \equiv - (𝐵 𝜇 - 1 𝐵 T) - 1 [˙ 𝐵 𝛀 + ˙ 𝒃 + 𝐵 𝜇 - 1 (𝚽 - ˙ 𝜇 𝛀)] (11) (12)$ なお、 $˙ 𝜇 𝛀$ は以下のように書ける：（第11章の【11.1-注3】） $˙ 𝜇 𝛀 = [0 𝝎 \times 𝐼 g 𝝎]$

導出

ダランベールの原理( $9$ )を運動方程式( $2$ )に代入すれば、式( $11$ )の形になる。後は、未定乗数 $𝝀$ が式( $12$ )になることを示せばよい。 $𝝀$ は、拘束条件( $10$ )から決まる。即ち、運動方程式( $11$ )の左辺の時間微分を実行したもの： $˙ 𝜇 𝛀 + 𝜇 ˙ 𝛀 = 𝚽 + 𝐵 T 𝝀 ∴ ˙ 𝛀 = 𝜇 - 1 (𝚽 + 𝐵 T 𝝀 - ˙ 𝜇 𝛀)$ を、拘束条件( $10$ )の時間微分： $˙ 𝐵 𝛀 + 𝐵 ˙ 𝛀 + ˙ 𝒃 = 𝟎$ に代入して $˙ 𝛀$ を消去すればよい。その式を $𝝀 = [\dots]$ の形に変形すれば、式( $12$ )になる。 $◼$

13.1.3初期値に対する拘束条件には要注意

運動方程式( $11$ )が得られたので、初期値を与えれば運動を計算することができる。初期値は、拘束条件を満たすように取っておく必要があるが、これがなかなかに厄介である。初期値さえ拘束条件を満たしていれば、運動方程式( $11$ )の解は、自動的に拘束条件を満たし続ける。

まず、 $𝑡 = 0$ における初期速度 $𝛀$ は、もちろん拘束条件( $10$ )を満たさなければならない。しかし、これだけではない。一般に、拘束条件は $𝛀$ だけでなく、剛体の位置 $𝒙 g$ と向き $𝜽$ に対しても課されている（例えば床に接しているという条件）。従って、 $𝑡 = 0$ における $𝒙 g, 𝜽$ についても、何らかの拘束条件が課されることになる。

もし、拘束条件が、速度 $𝛀$ を含まない関係式 $𝑮 (𝑡, 𝒙 g, 𝜽) = 𝟎$ の形に書けたならば、初期値が満たすべき拘束条件は、第8章のように、 $𝑮 = ˙ 𝑮 = 𝟎$ である。その場合、拘束条件( $10$ )は $˙ 𝑮 = 𝟎$ と等価である。問題は、式( $10$ )に対応する $𝑮$ が常に存在するとは限らないということである。 $𝑮$ が存在する場合、拘束条件は可積分であるといい、存在しない場合、非可積分であるという（以下の【13.1-注2】）。非可積分な拘束条件の場合、速度 $𝛀$ を含んだ形でしか書けず、 $𝒙 g, 𝜽$ に対する条件は出ない（式( $10$ )のみとなる）。

従って、式( $10$ )の形で拘束条件が与えられている場合、正しい初期値を与えるためには、その式が可積分かどうかを判定し、可積分であれば、対応する $𝑮 = 𝟎$ という拘束条件を初期条件に追加する必要がある。拘束条件の一部が非可積分という場合もある。13.4節で述べるが、転がり拘束の場合がそうであり、床に接するという条件は可積分だが、転がるという条件は非可積分になる。

【13.1-注2】非可積分な拘束条件

一般に、拘束条件 $𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃 = 𝟎 (13)$ が、何らかの拘束条件 $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎$ の時間微分 $˙ 𝑮 = 𝟎 (14)$ と等しい時、式( $13$ )は可積分（あるいはホロノミック）であると言う。逆に、 $𝑮$ が存在しない場合、非可積分（あるいは非ホロノミック）であるという。

可積分性の判定には、第15章の15.3節で述べるフロベニウスの定理を使えばよい。

補足

可積分な拘束条件として例えば、 $̂ 𝒙 T ˙ 𝒙 = 𝟎$ という拘束条件は、 $𝑑 𝑑 𝑡 (| 𝒙 | - 𝑙) = 𝟎$ と書けるので、可積分である。これは、原点からの距離 $𝑙$ が一定という拘束条件である。運動を計算する際には、 $𝑙$ は問題設定の中で与えられているだろう。
可積分の場合には、式( $14$ )を満たす $𝑮$ を特定したいわけだが、単純に、式( $13$ )と式( $14$ )の左辺同士を見比べて $˙ 𝑮 = 𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃$ となる $𝑮$ を探せばよいというわけではない。というのも、拘束条件( $13$ )には、逆行列を持つ任意の行列値関数 $𝑓 (𝑡, 𝑿)$ を両辺に掛ける自由度があるからである。従って、解くべきは $˙ 𝑮 = 𝑓 (𝑡, 𝑿) \cdot (𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃) (15)$ である。 $𝑮$ を特定するには、この $𝑓 (𝑡, 𝑿)$ を見つけなければならないので難易度が高い。式( $15$ )と似た式は前にも出てきている。それは、第10章の【10.3-注1】で、角速度 $𝝎$ に対して、 $˙ 𝜽 = 𝝎$ となるような回転の自由な座標 $𝜽$ が存在しないことを示した時である。その時は偏微分の可換性を使うだけで $𝜽$ の存在を判定できたが、今回の式( $15$ )には未知関数 $𝑓$ が含まれるため、可積分性の判定はより複雑である。
転がり拘束は、非可積分である。簡単のため水平な床を考えよう。転がり拘束下でのボールの運動の自由度は、「鉛直軸周りのスピン」と「前後・左右に転がす操作」の3自由度である。よって、もし転がり拘束が可積分であれば、3つの拘束条件（剛体の自由度 $6$ －自由度 $3$ ） $𝐺 1 = 𝐺 2 = 𝐺 3 = 0 (16)$ が存在する。ということは、剛体の位置 $𝒙 g$ と向き $𝜽$ の $6$ 自由度のうち $3$ 成分を決めれば、残りは式( $16$ )から決まることになる。つまり、剛体の位置を決めれば向きは自動的に決まることになる。しかし、これは現実と矛盾する。実際、床の上でボールを転がしてから元の場所に戻すと、向きが変化することが知られている。よって、可積分ではありえない。

13.2剛体と床が接しているための条件

この節では、剛体と床が接触し続けるために成り立つべき、剛体の速度 $˙ 𝒙 g, 𝝎$ に対する拘束条件( $20$ )を導く。滑り拘束と転がり拘束は両方とも、この条件を満たさなければならない。簡単のため、床と剛体は1点でのみ接しているとする。

13.2.1モデリング：時刻 $𝑡$ での剛体の形状は式( $17$ )

床の形状を $𝐺 (𝑡, 𝒙) \leq 0$ で表すことにする（右図）。即ち、これを満たす $𝒙$ の集合が床を構成する。 $𝑡$ に依存しているように書いているのは、時間とともに床が変形してもよいことを表している。

また、モデル位置における剛体の形状を $̃ 𝐻 (𝒙) \leq 0$ で表すことにする。モデル位置は任意であり、床と接触するようにとる必要はない。時刻 $𝑡$ において、剛体の位置および向きが $𝒙 g, 𝑅$ であるとする（ $𝒙 g$ は重心位置、 $𝑅$ は回転行列）。この時の剛体の形状 $𝐻 (𝑡, 𝒙) \leq 0$ （右図）は、モデル位置での形状 $̃ 𝐻$ を用いて、以下のように書ける：（ $̃ 𝒙 g$ はモデル位置での剛体の重心） $𝐻 (𝑡, 𝒙) \equiv ̃ 𝐻 (𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ̃ 𝒙 g) \leq 0 (17)$ これを示すには、モデル位置での質点要素 $̃ 𝒙 𝑖$ が満たす式 $̃ 𝐻 (̃ 𝒙 𝑖) \leq 0$ に、時刻 $𝑡$ での質点要素の位置 $𝒙 𝑖 = 𝒙 g + 𝑅 (̃ 𝒙 𝑖 - ̃ 𝒙 g)$ を代入して、 $̃ 𝒙 𝑖$ を消去すればよい（回転行列の性質 $𝑅 - 1 = 𝑅 T$ を使う）。 $𝐻$ が時間に依存しているように書かれているのは、剛体の運動によって、位置・向きが変わることによるものであり、剛体自体が変形するわけではない。

13.2.2剛体の位置・向き $𝒙 g, 𝑅$ に対する拘束条件：式( $18$ )

この節の目的である、剛体と床が接触しているための条件を考える。剛体と床の接触点を $𝒙 c$ とおく（右図）。接触は1点のみと仮定する。 $𝒙 c$ が満たす条件は、「 $𝒙 c$ が剛体と床の両方の表面にあり、かつその点での接平面が一致する」ことなので、以下のように書ける： $𝐺 = 0 𝐻 = 0 ̂ \nabla 𝐺 + ̂ \nabla 𝐻 = 𝟎 ⎫ { {⎬ { {⎭ (18)$ $𝐺, 𝐻$ は、ともに $(𝑡, 𝒙 c)$ での値である。 $̂ \nabla 𝐺$ は $\nabla 𝐺$ の大きさを正規化したものである。 $\nabla 𝐺, \nabla 𝐻$ はそれぞれ $𝐺, 𝐻$ が大きくなる方向を向くので、右図のように互いに逆を向くことに注意。

式( $18$ )の第3式は、 $3$ 成分であるが、 $\nabla 𝐺, \nabla 𝐻$ の一方が与えられた時に、他方の向きを決めるだけなので、実際には $2$ つの条件しか与えない。よって、式( $18$ )は全体として $4$ つの条件を与える。 $𝒙 c$ を決定するには $3$ つの条件が必要なので、剛体に対する拘束条件の数は残りの $4 - 3 = 1$ つとなる。この $1$ つが $𝐻$ （＝剛体の位置・向き）に対する条件を課し、式( $17$ )を通して剛体の位置・向き $𝒙 g, 𝑅$ に対する拘束条件になっている。例えば、水平な床の上の球を考えると、拘束条件は球の高さを固定する $1$ つだけであり、水平方向や回転は自由に動ける。

13.2.3剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件( $21$ )

運動方程式を導くには、式( $10$ )の形の拘束条件が必要である。よって、式( $18$ )を、剛体の速度 $𝛀$ に対する条件にしたい。そのためには、式( $18$ )を時間微分すればよい：（接触点 $𝒙 c$ も時間依存することに注意） $𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 c = 0 𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 + (\nabla 𝐻) T ˙ 𝒙 c = 0 (𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡) + (𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙) ˙ 𝒙 c = 𝟎 ⎫ { { { { {⎬ { { { { {⎭ (19)$ $𝐻$ の時間微分には $𝛀$ が含まれているので、この式は、接触点の速度 $˙ 𝒙 c$ に対する条件であると同時に、 $𝛀$ に対する拘束条件にもなっている。上述の通り、 $𝐻$ の時間依存性は、剛体の位置・向きの変化、即ち、 $𝒙 g, 𝑅$ の時間依存性によるものである。

【13.2-注1】床との接触条件

床と剛体が接触し続けている時、剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件は、以下のようになる： $𝐵 𝛀 + 𝑏 = 0 𝐵 \equiv (\nabla 𝐺) T [1 - (𝒙 c - 𝒙 g) \times] 𝑏 \equiv 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (21)$ 床の形状は $𝐺 \leq 0$ で与えられ、 $𝒙 c$ は剛体と床の接触点である。特に、床が静止している場合（ $𝑏 = 0$ ）、この式は、接触点における「剛体の質点要素の速度 $[\dots] 𝛀$ 」が、 $\nabla 𝐺$ と垂直、即ち、拘束面と平行になっていることを意味しており、直感的にも自然である（そうでなかったら、めり込んだり離れたりしてしまう）。

導出

本文中で求めた $𝛀$ に対する拘束条件( $20$ )：（再掲） $1 | \nabla 𝐺 | 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + 1 | \nabla 𝐻 | 𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = 0 (22)$ を変形するだけである。この式の $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡$ の中に含まれている $𝛀$ を表に出す必要がある。そのためには、 $𝐻$ と $̃ 𝐻$ の関係式( $17$ )：（再掲） $𝐻 (𝑡, 𝒙) \equiv ̃ 𝐻 (𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ̃ 𝒙 g ⏟___⏟___⏟ \equiv ̃ 𝒙)$ を使えばよい。この式の両辺の $𝑡$ 微分および $𝒙$ 微分を取ると、それぞれ以下のようになる：（ $𝜕 𝜕 𝑡$ が $𝑅, 𝒙 g$ だけに作用することに注意） $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = 𝜕 ̃ 𝐻 𝜕 ̃ 𝒙 𝜕 ̃ 𝒙 𝜕 𝑡 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝜕 ̃ 𝒙 𝜕 𝑡 = 𝜕 𝜕 𝑡 [𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ̃ 𝒙 g] = ˙ 𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + 𝑅 T (𝟎 - ˙ 𝒙 g) + 𝟎 = - 𝑅 T [𝝎 \times (𝒙 - 𝒙 g) + ˙ 𝒙 g] ∵ ˙ 𝑅 = 𝝎 \times 𝑅 = - 𝑅 T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 = - 𝜕 ̃ 𝐻 𝜕 ̃ 𝒙 𝑅 T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 𝜕 𝐻 𝜕 𝒙 = 𝜕 ̃ 𝐻 𝜕 ̃ 𝒙 𝜕 ̃ 𝒙 𝜕 𝒙 ⏟ 𝑅 T$ 後は、第1式に、第2式を代入して $̃ 𝐻$ 部分を消去すると $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = - (\nabla 𝐻) T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 (23)$ となる。拘束条件( $22$ )は $𝒙 = 𝒙 c$ の時に成立する式なので、式( $23$ )において $𝒙 = 𝒙 c$ としたものを式( $22$ )を代入すれば、与式を得る。（式( $18$ )の第3式 $̂ \nabla 𝐺 + ̂ \nabla 𝐻 = 𝟎$ を使って $\nabla 𝐻$ を $\nabla 𝐺$ で置き換える。） $◼$

13.2.4接触点 $𝒙 c$ の速度( $24$ )

拘束条件( $19$ )は、接触点 $˙ 𝒙 c$ を決める式でもある。実際に $˙ 𝒙 c$ を求めよう。

同式の第3式は3成分の式なので、逆行列をかけて $˙ 𝒙 c = [\dots]$ の形に変形できればよいが、それはできない。実際、同式に現れる単位ベクトルの微分には、「その単位ベクトルと直交する面」への射影行列が含まれるため（第8章の【8.3-注1】）、ある $˙ 𝒙 c$ が解であるとき、 $˙ 𝒙 c$ に「 $\nabla 𝐺$ に平行なベクトル」を加えたものも再び解になってしまい一意的には決まらない。

よって、 $˙ 𝒙 c$ を求めるには、拘束条件( $19$ )の第3式と、式( $19$ )の別の1つの式を連立する必要がある。例えば、第1式に $\nabla 𝐺$ をかけた $\nabla 𝐺 [𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 c] = 0$ を同第3式に辺々加えると $(𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙 + \nabla 𝐺 (\nabla 𝐺) T) ˙ 𝒙 c = - (𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 \nabla 𝐺)$ となる。 $˙ 𝒙 c$ にかかる行列は、 $\nabla 𝐺$ にかけてもゼロにならなくなるので、可逆になり、 $˙ 𝒙 c$ が求まる： $˙ 𝒙 c = - 𝐾 - 1 (𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 \nabla 𝐺) 𝐾 \equiv 𝜕 ̂ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ̂ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙 + \nabla 𝐺 (\nabla 𝐺) T (24)$

以上により、速度に関する拘束条件( $19$ )を、「1つの拘束条件( $21$ )」と「 $˙ 𝒙 c$ を与える3成分の式( $24$ )」に過不足なく分離することができた。

13.3滑り拘束

この節では、滑り拘束に対する運動方程式の解き方をまとめる。それを用いて、具体的な数値計算を行う。前述のように、今考えているのは、常に1点で接触している状況である。接触点が複数ある場合、あるいは運動の途中で増える場合（衝突運動になることが多いだろう）は考慮していない。逆に、接触点が減る場合も扱えない。例えば、本来であれば空中に飛び上がってしまうような場合でも、床から離れないようにする拘束力が働いて、床にくっついたままになる。

13.3.1計算方法

剛体が床の上を滑るという拘束条件は、剛体と床が接触しているという前節の条件( $21$ )そのものである。よって、運動方程式( $11$ )はすでに確定している。数値的に計算する方法をまとめると、以下のようになる：

モデル設定

まず、床の形状 $𝐺 (𝑡, 𝒙)$ と、モデル位置での剛体の形状 $̃ 𝐻 (𝒙)$ を定義する。

初期値設定

次に、 $𝑡 = 0$ での初期位置 $𝒙 g, 𝑅$ を、拘束条件( $18$ )を満たす接触点 $𝒙 c$ が存在するようにとる。初期速度 $˙ 𝒙 g, 𝛀$ については、拘束条件( $21$ )を満たすようにをとる。

運動方程式を解く

その後の運動は、運動方程式( $11$ )から計算できる。その解き方は第11章の11.2節と同じである。ただし、 $𝐵, 𝒃$ およびその時間微分は拘束条件( $21$ )で与えられる（ $𝒙 c$ における値である）。その際に現れる $˙ 𝒙 c$ は、式( $24$ )から求められる。

なお、接触点 $𝒙 c$ は、 $𝒙 g, 𝑅$ から直接計算することも原理的には可能であるが、ステップ毎に直接計算するのは、一般に困難である。その場合、式( $24$ )の $˙ 𝒙 c$ を用いて $𝒙 c$ の時間変化を同時に計算していけば良い： $𝒙 c (𝑡 + 𝛿 𝑡) ≐ 𝒙 c + ˙ 𝒙 c 𝛿 𝑡$ 。

13.3.2【例題】

例として、球を $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 方向につぶした（あるいは伸ばした）楕円体の剛体： $̃ 𝐻 (𝒙) \equiv 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 - 1$ を取りあげる（ $𝑎, 𝑏, 𝑐$ は定数）。密度は一様とする。このモデル位置での慣性モーメント $̃ 𝐼 g$ は、剛体を質点要素に分解して数値的に近似計算してもよいが、今の場合には解析的に計算することができ、以下のようになる： $̃ 𝐼 g = 𝑚 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$ $𝑚$ は剛体の質量である。（導出は第14章で行う。）

数値計算を行うと右図のようになる。

13.4転がり拘束

この節では、転がり拘束での拘束条件が、式( $25$ )となることを見る。前節の滑り拘束に、滑らないという拘束条件を加えればよい。具体的な数値計算も行う。

13.4.1拘束条件は式( $25$ )

滑らないということは、接触点 $𝒙 c$ において剛体と床が相対速度を持っていないということである。即ち、「 $𝒙 c$ に位置している剛体上の質点要素 $𝒙 c, 𝐻$ 」の速度： $˙ 𝒙 c, 𝐻 = ˙ 𝒙 g + 𝝎 \times (𝒙 c - 𝒙 g)$ と「 $𝒙 c$ に位置している拘束面上の点 $𝒙 c, 𝐺$ 」の速度 $˙ 𝒙 c, 𝐺$ が等しいということである： $˙ 𝒙 c, 𝐻 \equiv ˙ 𝒙 g + 𝝎 \times (𝒙 c - 𝒙 g) = ˙ 𝒙 c, 𝐺$ よって、式( $10$ )の形に変形すると $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 𝐵 \equiv [1 - (𝒙 c - 𝒙 g) \times] 𝒃 \equiv - ˙ 𝒙 c, 𝐺 ⎫ { {⎬ { {⎭ (25)$ となる。床が静止している場合には、 $˙ 𝒙 c, 𝐺 = 𝟎$ である。そうでない場合、 $˙ 𝒙 c, 𝐺$ を求めるためには、床の上の各点の速度を与える必要がある。しかし、動く壁との衝突（第5章の5.2節）の際にも述べたが、床を定義する $𝐺 \leq 0$ という式の中に、床の水平方向の速度の情報を含めることはできない。そのため、床が動いている場合には、追加でその情報を与えてやる必要がある。

式( $25$ )は、滑り拘束の条件( $21$ )を含んでいる。実際、式( $25$ )の両辺に $\nabla 𝐺 T$ を左乗すると、式( $21$ )に一致する。よって結局、転がり拘束の場合の計算方法は、滑り拘束の場合の拘束条件( $21$ )を、上式( $25$ )で置き換えるだけである。

剛体の初期位置・向きに対する拘束条件は、床と剛体が接していることのみなので、滑り拘束の場合と同じである。一方、初期速度・角速度に対する拘束条件は式( $25$ )の3つを満たす必要がある。位置・向きに対する条件より、速度・角速度に対する条件のほうが多いので、上述の通り、転がり拘束は非可積分（【13.1-注2】）であることが分かる。

13.4.2【例題】

床が静止している場合、数値計算を行うと右図のようになる。

運動方程式(1)の拘束力 𝒇c と拘束トルク 𝝉cg を求めたい