拘束された剛体の運動方程式（滑り、転がり）

曲がった床の上を、滑ったり転がったりしている剛体の運動を計算したい。剛体に課せられる拘束条件としては、「滑り拘束」（＝摩擦なく滑る）と「転がり拘束」（＝摩擦が働き、全く滑らずに転がる）を考える。

運動方程式( $1$ )の拘束力 $𝒇 c$ と拘束トルク $𝝉 c g$ を求めればよい

床の上の剛体の場合、拘束条件は、床との接点 $𝒙 c$ に対して課せられる。 $𝒙 c$ の位置は時々刻々変化するので、前章の固定点の議論は使えない。ではどうすべきだろうか。

運動方程式の導出の方針案

運動方程式を求めることが目的となるわけだが、そのための戦略として、以下の2種類が考えられる：

1つ目は、前章のように、自由な速度 $𝛀$ を求め、 $𝛀$ に対する運動方程式を立てる方法。
2つ目は、素の剛体の運動方程式（第11章の11.1.3節）に、拘束力の総和 $𝒇 c$ と拘束トルク $𝝉 c g$ を加えたもの：（添え字 $g$ は重心を基準にしていることを表す） $𝑚 ¨ 𝒙 g = 𝒇 + 𝒇 c 𝑑 𝑑 𝑡 (𝐼 g 𝝎) = 𝝉 g + 𝝉 c g ⎫ { {⎬ { {⎭ (1)$ を用いる方法である。自由な速度を考えない代わりに、拘束力 $𝒇 c, 𝝉 c g$ を書き下すことで、運動方程式を確定させる。

2つ目を採用する

床の上の運動では、拘束の対象となる接点 $𝒙 c$ が変化するため、（自由な速度を見つける必要がある）1つ目の方法は難しそうである。よって、式( $1$ )の拘束力を書き下すという、2つ目の方法を採用しよう。

「拘束条件から拘束力を求める公式」が欲しい

拘束力を書き下したいわけだが、考え方としては、「拘束条件を式で表せば、ダランベールの原理から拘束力が決まる」という、第8章の【8.2-注4】の導出をなぞることになる。ただし今回は、剛体という「拘束条件の塊」に、さらに拘束条件が課されるという多層構造になっているので、【8.2-注4】がそのまま使えるわけではない。よって、「拘束条件が追加された場合の拘束力の公式」を導出しておくのが良いだろう。加えて、後述するが、「拘束条件が $𝑮 = 𝟎$ の形で描けない」という点も、これまでとは異なる。

この章の方針

最初に議論すべきは、1剛体に拘束条件が追加された場合の拘束力 $𝒇 c, 𝝉 c g$ を求める一般公式の導出と、2実際に、床の上を運動する剛体に課せられた拘束条件の定式化である。これらが揃って初めて、実際の計算手順を議論できる。この章では、この方針に従って、以下のように4つの節に分けて議論する。13.1拘束条件が追加された剛体の運動方程式13.2剛体と床が接しているための条件13.3滑り拘束13.4転がり拘束

13.1拘束条件が追加された剛体の運動方程式

この節では、剛体に拘束条件を課した時の拘束力を一般的に求め、その場合の運動方程式( $12$ )を導く。これにより、後の節で、滑り・転がりの場合の拘束条件を求めれば、運動方程式が確定する。

この節の表記法

形式的な計算を見やすくするため、第11章の11.1.2節のように、運動方程式( $1$ )を以下のようにまとめておく： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 + 𝚽 c (2)$ ただし、各々の記号は以下のように定義している： $𝜇 \equiv [𝑚 0 0 𝐼 g], 𝛀 \equiv [˙ 𝒙 g 𝝎], 𝚽 \equiv [𝒇 𝝉 g], 𝚽 c \equiv [𝒇 c 𝝉 c g]$ 運動方程式を決めるためには、拘束力 $𝚽 c$ を求めればよい。重心を基準にしていることに注意。 $𝜇$ などは $𝜇 g$ のように書いたほうがよいが、見づらいので略記している。

13.1.1剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件の一般形：式( $6$ )

まず、剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件が、どのような形で与えられるかを考える。

「座標に対する拘束条件」を微分してみる：式( $4$ )

一般に、座標 $𝑿$ に対する拘束条件の場合は $𝑮 (𝑡, 𝑿) = 𝟎 (3)$ の形で与えられる。速度 $˙ 𝑿$ に対する条件は、これを $𝑡$ で微分したもの： $𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ˙ 𝑿 + 𝜕 𝑮 𝜕 𝑡 = 𝟎 (4)$ である。

剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件：式( $6$ )

剛体の場合、 $˙ 𝑿$ は質点要素の速度であり、剛体の速度 $𝛀$ との関係式は、ある行列 $𝐴$ を用いて $˙ 𝑿 = 𝐴 𝛀 (5)$ の形で書ける（第11章の【11.1-注1】）。そこで、この関係式を式( $4$ )に代入すると、 $𝛀$ に対する拘束条件は、以下の形になる： $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 (6)$ これが $𝛀$ に対する拘束条件の一般系だと仮定しよう。

参考式( $6$ )でしか表せない拘束条件がある

速度の拘束条件( $6$ )は、座標の拘束条件( $3$ )をもとに導いたが、この2つは等価ではない。即ち、式( $3$ ) → 式( $6$ )は言えるが、その逆は言えない。詳しくはこの節の最後の【13.1-注3】で述べるが、例えば、転がり拘束の場合、拘束条件は速度の式( $6$ )の形で書けるにもかかわらず、座標の式( $3$ )の形にすることはできない（存在しない）。即ち、速度に対する拘束条件( $6$ )は、座標のもの( $3$ )よりも広いものとなっている。

13.1.2ダランベールの原理( $9$ )により、運動方程式は式( $12$ )

拘束条件( $6$ )から拘束力 $𝚽 c$ を導くには、ダランベールの原理を適用すればよい。

復習質点要素に対するダランベールの原理：：式( $7$ )

ダランベールの原理によると、質点要素が受ける拘束力 $𝑭 c$ は、拘束面に接する全ての速度 $˙ 𝑿$ と垂直： $˙ 𝑿 T 𝑭 c = 0 (7)$ となるのだった（第8章の8.2.3節）。「拘束面に接する」と注釈した通り、式( $7$ )の $˙ 𝑿$ は、厳密には、仮想変位、即ち、拘束面の接空間内のベクトルである（第8章の8.2.4節）。拘束条件( $4$ )で言えば、 $˙ 𝑿$ は、時間変化を表す0次の項を無視した $𝜕 𝑮 𝜕 𝑿 ˙ 𝑿 = 𝟎$ を満たすものである。

剛体に対するダランベールの原理：式( $9$ )

式( $7$ )は、「質点要素の拘束力と速度」の関係式なので、「剛体の拘束力 $𝚽 c$ と速度 $𝛀$ 」の関係式にしたい。まず、 $𝑭 c$ と $𝚽 c$ の関係式は $𝚽 c = 𝐴 T 𝑭 c (8)$ である（第11章の【11.1-注2】）。式( $7$ )に式( $5$ )を代入して $˙ 𝑿$ を消した後、式( $8$ )を使って $𝑭 c$ も消せば、求めたい関係式が得られる： $𝛀 T 𝚽 c = 0 (9)$ ただし、この式の $𝛀$ も仮想変位なので、 $𝛀$ が従うのは、拘束条件( $6$ )そのものではなく、時間依存性を除いたものである（ $𝒃 = 𝟎$ としたもの）： $𝐵 𝛀 = 𝟎 (10)$

剛体の運動方程式：式( $12$ )

( $9$ )は、質点に対する式( $7$ )と同じ形である。よって、拘束力を書き下す方法も第8章と同じである。実際に計算して、運動方程式の形で書き下すと、以下の【13.1-注1】のようになる。

【13.1-注1】拘束された剛体の運動方程式：式( $12$ )

剛体に、速度 $𝛀$ に対する拘束条件 $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 (11)$ が課せられているとする。この時、剛体の運動方程式は以下のようになる： $𝑑 𝑑 𝑡 (𝜇 𝛀) = 𝚽 + 𝚽 c 𝚽 c \equiv 𝐵 T 𝝀 𝝀 \equiv - (𝐵 𝜇 - 1 𝐵 T) - 1 [˙ 𝐵 𝛀 + ˙ 𝒃 + 𝐵 𝜇 - 1 (𝚽 - ˙ 𝜇 𝛀)] (12) (13)$ なお、 $˙ 𝜇 𝛀$ は以下のように書ける：（第11章の【11.1-注3】） $˙ 𝜇 𝛀 = [0 𝝎 \times 𝐼 g 𝝎]$

導出

導出の流れは、第8章の【8.2-注4】と同じである。

1拘束力

𝚽 c

の書き換え：式(

14

)

式( $10$ )を満たす全ての速度 $𝛀$ に対して、拘束力 $𝚽 c$ は式( $9$ )を満たすのだから、拘束力 $𝚽 c$ は、未知の係数 $𝝀$ を用いて、以下のように書ける（第8章の【8.2-注3】）： $𝚽 c = 𝐵 𝝀 (14)$

2係数

𝝀

を決める

$𝝀$ を決めるには、運動方程式( $2$ )と拘束条件( $6$ )を連立すればよい。まず、運動方程式( $2$ )に式( $14$ )を代入し、左辺の時間微分を実行しておく： $˙ 𝜇 𝛀 + 𝜇 ˙ 𝛀 = 𝚽 + 𝐵 T 𝝀 ∴ ˙ 𝛀 = 𝜇 - 1 (𝚽 + 𝐵 T 𝝀 - ˙ 𝜇 𝛀)$ $𝝀$ を求めるには、 $˙ 𝛀$ を消せばよいので、拘束条件( $11$ )の時間微分： $˙ 𝐵 𝛀 + 𝐵 ˙ 𝛀 + ˙ 𝒃 = 𝟎$ に代入してやる。後は、その式を $𝝀 = [\dots]$ の形に変形すれば、式( $13$ )になる。 $◼$

13.1.3参考初期値は、配置に対する拘束条件も満たすようにとる

式( $12$ )によって運動方程が確定したら、後は、初期値を与えてやることで運動が計算できる。初期値は、拘束条件を満たす必要があるが、厄介な点がある。初期値さえ拘束条件を満たしていれば、その後の運動方程式( $12$ )の解は、自動的に拘束条件を満たし続ける。（そうなるように式( $13$ )の $𝝀$ を求めた。）

「配置の拘束条件」も考慮する必要がある

まず、 $𝑡 = 0$ における初期速度 $𝛀$ は、もちろん拘束条件( $11$ )を満たさなければならない。これに加えて、一般には、剛体の配置（位置 $𝒙 g$ と向き $𝜽$ ）にも拘束条件が課される（例えば床に接しているという条件）。従って、 $𝑡 = 0$ における初期配置 $𝒙 g, 𝜽$ についても、拘束条件を考慮する必要がある。

「配置の拘束条件」は減ることがある

もし、拘束条件が、速度 $𝛀$ を含まない関係式 $𝑮 (𝑡, 𝒙 g, 𝜽) = 𝟎$ の形に書けたならば、初期値が満たすべき拘束条件は、第8章のように、 $𝑮 = ˙ 𝑮 = 𝟎$ である。その場合、拘束条件( $11$ )は $˙ 𝑮 = 𝟎$ と等価である。問題なのは、式( $11$ )に対応する $𝑮$ が常に存在するとは限らないということである。 $𝑮$ が存在しない場合、拘束条件( $11$ )は非可積分であるという（以下の【13.1-注2】）。非可積分な拘束条件を含む場合、配置 $𝒙 g, 𝜽$ に対する条件は、速度 $𝛀$ に対する条件( $11$ )よりも少なくなる。

まとめ：初期値の取り方

従って、速度の式( $11$ )として拘束条件が与えられている場合、正しい初期値を与えるためには、配置に対する拘束条件 $𝑮 = 𝟎$ も特定する必要がある。ただし、 $𝑮$ の要素数は、式( $11$ )の本数より少ないことがある。そのうえで、初期値は、式( $11$ )と $𝑮 = 𝟎$ を満たすようにとればよい。 $𝑮$ は物理的に決まることが多い。例えば、以下の13.4節で述べるように、転がり拘束は非可積分だが、「床に接する」という条件が $𝑮 = 𝟎$ に対応する。

【13.1-注2】拘束条件の可積分性

微分形の拘束条件： $𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃 = 𝟎 (15)$ が、何らかの拘束条件 $𝑮 = 𝟎$ の時間微分： $˙ 𝑮 = 𝟎 (16)$ で表せる時、式( $15$ )は可積分（あるいはホロノミック）であるという。逆に、 $𝑮$ が存在しない場合、非可積分（あるいは非ホロノミック）であるという。 $𝐵, 𝒃, 𝑮$ は $(𝑡, 𝑿)$ の関数である。

補足

可積分な例

例えば、 $ˆ 𝒙 T ˙ 𝒙 = 𝟎$ という拘束条件は、 $𝑑 𝑑 𝑡 (| 𝒙 | - 𝑙) = 𝟎$ と書けるので、可積分である。これは、原点からの距離 $𝑙$ が一定という拘束条件である。 $𝑙$ は、問題設定の中で与えられているはずである。

非可積分な例

「転がり拘束」は非可積分である。床の上を転がるボールを考えると、運動の自由度は、「 $𝑧$ 軸周りのスピン」と「前後／左右に転がす操作」の3自由度である。よって、もし、転がり拘束が可積分であれば、3つの拘束条件（剛体の自由度 $6$ －自由度 $3$ ） $𝐺 1 = 𝐺 2 = 𝐺 3 = 0$ が存在し、ボールの配置の $6$ 自由度（位置 $𝒙 g$ と角度 $𝜽$ ）のうち、自由に決められるのは $3$ 成分のみとなる。しかし、これは現実と矛盾する。実際、実験してみるとすぐ分かるが、ボールをうまく転がしてやることで、床の上の任意の位置に（＝2自由度）、任意の向きで（＝3自由度）配置することができる。即ち、配置の自由度は5であり、運動（速度）の3自由度より大きくなる。よって、可積分ではありえない。

𝑮

を数学的に求めるのは難しい

可積分の場合には、式( $16$ )を満たす $𝑮$ を特定したくなるが、単純に、式( $15$ )と式( $16$ )の左辺同士を見比べて $˙ 𝑮 = 𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃$ となる $𝑮$ を探せばよいというわけではない。というのも、拘束条件( $15$ )には、逆行列を持つ任意の行列値関数 $𝑓 (𝑡, 𝑿)$ を両辺に掛ける自由度があるからである。従って、解くべきは $˙ 𝑮 = 𝑓 (𝑡, 𝑿) (𝐵 ˙ 𝑿 + 𝒃) (17)$ である。この $𝑓 (𝑡, 𝑿)$ も考慮する必要があるので、 $𝑮$ を数学的に特定するのは難易度が高い。ただし、可積分かどうかの判定自体は、第15章の15.3節で述べるフロベニウスの定理を使えば、比較的容易である。

13.2剛体と床が接しているための条件

拘束条件から運動方程式を決める公式が得られた（前節の式( $12$ )）。この節では、次のステップとして、剛体と床が接触し続けるための、（剛体の速度 $˙ 𝒙 g, 𝝎$ に対する）拘束条件( $24$ )を導く。滑り拘束と転がり拘束は両方とも、この条件を満たさなければならない。なお、簡単のため、床と剛体は1点でのみ接しているとする。

13.2.1モデリング：時刻 $𝑡$ での剛体の形状は式( $21$ )

まず準備として、床の形状を $𝐺 \leq 0$ 、剛体の形状を $𝐻 \leq 0$ で表す。

床の形状の定義：式( $18$ )

床の形状を $𝐺 (𝑡, 𝒙) \leq 0 (18)$ で表すことにする（右図）。即ち、これを満たす $𝒙$ の集合が床を構成する。 $𝑡$ に依存しているように書いているのは、時間とともに床が変形してもよいことを表している。

剛体の形状の定義：式( $19$ )

また、モデル配置における剛体の形状を $˜ 𝐻 (𝒙) \leq 0 (19)$ で表すことにする（右図）。モデル配置は任意であり、床と接触するようにとる必要はない。

任意の配置での剛体の形状：式( $20$ ), ( $21$ )

任意の時刻 $𝑡$ での剛体の形状も $𝐻 (𝑡, 𝒙) \leq 0 (20)$ で表す。 $𝐻 (𝑡, 𝒙)$ は、剛体の配置（重心位置 $𝒙 g$ 、回転行列 $𝑅$ ）と、モデル位置での形状 $˜ 𝐻$ を用いて、以下のように書ける： $𝐻 (𝑡, 𝒙) = ˜ 𝐻 (𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ˜ 𝒙 g) (21)$ $˜ 𝒙 g$ は、モデル位置での剛体の重心である。 $𝐻$ が時刻 $𝑡$ に依存しているのは、剛体の運動によって配置 $𝒙 g, 𝑅$ が変化するためであり、剛体自体が変形するわけではない。式( $21$ )の導出モデル位置での質点要素 $˜ 𝒙 𝑖$ が満たす式 $˜ 𝐻 (˜ 𝒙 𝑖) \leq 0$ に、時刻 $𝑡$ での質点要素の位置 $𝒙 𝑖 = 𝒙 g + 𝑅 (˜ 𝒙 𝑖 - ˜ 𝒙 g)$ を使って、 $˜ 𝒙 𝑖$ を消去すればよい（回転行列の性質 $𝑅 - 1 = 𝑅 T$ を使う）。 $◼$

13.2.2剛体の配置 $𝒙 g, 𝑅$ に対する拘束条件：式( $22$ )

それでは、この節の目的である、剛体と床が接触しているための条件を考えよう。

床と剛体の接触条件：式( $22$ )

剛体と床の接触点を $𝒙 c$ とおく（右図）。 $𝒙 c$ が満たす条件は、「 $𝒙 c$ が剛体と床の両方の表面にあり、かつその点での接平面が一致する」ことなので、以下のように書ける： $𝐺 = 0 𝐻 = 0 ˆ \nabla 𝐺 + ˆ \nabla 𝐻 = 𝟎 ⎫ { {⎬ { {⎭ (22)$ $𝐺, 𝐻$ は、ともに $(𝑡, 𝒙 c)$ での値。 $ˆ \nabla 𝐺$ は $\nabla 𝐺$ の大きさを正規化したものである（ $ˆ \nabla 𝐻$ についても同様）。 $\nabla 𝐺, \nabla 𝐻$ はそれぞれ $𝐺, 𝐻$ が大きくなる方向を向くので、右図のように互いに逆を向くことに注意。また、これ以降、床と剛体の接触点は、1点のみと仮定する。

剛体に対する拘束条件は、1つのみ

式( $22$ )の第3式は、 $3$ 成分であるが、実際には $2$ つの条件しか与えない。 $\nabla 𝐺, \nabla 𝐻$ の一方が与えられた時に、他方の向き（＝2自由度）を決めるための条件だからである。よって、式( $22$ )は全体として $4$ つの条件を与える。これら全てが拘束条件になるわけではなく、 $𝒙 c$ の3成分を決定するために $3$ つの条件を消費する。よって、剛体に対する拘束条件の数は、残りの $4 - 3 = 1$ つとなる。例えば、水平な床の上の球を考えると、拘束条件は球の高さを固定する $1$ つだけであり、水平方向や回転方向は自由に動ける。その $1$ つが、式( $21$ )を通して剛体の位置・向き $𝒙 g, 𝑅$ に対する拘束条件を与える。

13.2.3剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件：式( $25$ )

運動方程式を導くには、剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件( $11$ )が必要である。よって、式( $22$ )を微分して、 $𝛀$ に対する条件にしたい。

拘束条件の時間微分：式( $23$ )

実際に式( $22$ )を時間微分すると以下のようになる：（接触点 $𝒙 c$ も時間依存することに注意） $𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 c = 0 𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 + (\nabla 𝐻) T ˙ 𝒙 c = 0 (𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡) + (𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙) ˙ 𝒙 c = 𝟎 ⎫ { { { { {⎬ { { { { {⎭ (23)$ $𝐻$ の時間微分には剛体の速度 $𝛀$ が含まれているので、 $𝛀$ に対する拘束条件になっている。式( $22$ )の場合と同様に、式( $23$ )は、「 $𝛀$ に対する1つの条件」と「接触点の速度 $˙ 𝒙 c$ に対する3つの条件」が合わさったものである。なお、上述の通り、 $𝐺$ の時間依存性は「床の移動・変形」によるもの、 $𝐻$ の時間依存性は「剛体の配置 $𝒙 g, 𝑅$ の時間変化」によるものである。微分公式式( $23$ )の導出は、以下の微分公式を各項に使うだけである： $𝑑 𝑑 𝑡 𝑽 (𝑡, 𝒙 (𝑡)) = 𝜕 𝑽 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝑽 𝜕 𝒙 ˙ 𝒙$

剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件を分離する：式( $25$ )

【13.2-注1】床との接触条件

床と剛体が接触し続けている時、剛体の速度 $𝛀$ に対する拘束条件は、以下のようになる： $𝐵 𝛀 + 𝑏 = 0 𝐵 \equiv (\nabla 𝐺) T [1 - (𝒙 c - 𝒙 g) \times] 𝑏 \equiv 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 ⎫ { { {⎬ { { {⎭ (25)$ 床の形状は $𝐺 (𝑡, 𝒙) \leq 0$ で与えられ、 $𝒙 c$ は剛体と床の接触点である。特に、床が静止している場合（ $𝑏 = 0$ ）、この式は、接触点 $𝒙 c$ における「剛体の質点要素の速度 $[\dots] 𝛀$ 」が、 $\nabla 𝐺$ と垂直、即ち、拘束面と平行になっていることを意味しており、直感的にも自然である（そうでなかったら、めり込んだり離れたりしてしまう）。

導出

速度 $𝛀$ に対する拘束条件( $24$ )：（再掲） $1 | \nabla 𝐺 | 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + 1 | \nabla 𝐻 | 𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = 0 (26)$ から式( $25$ )を導くには、 $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡$ に含まれている $𝛀$ を括りだせばよい。

$𝜕 𝐻 / 𝜕 𝑡$ の計算：式( $30$ )

そのためには、 $𝐻$ とモデル形状 $˜ 𝐻$ の関係式( $21$ )：（再掲） $𝐻 (𝑡, 𝒙) \equiv ˜ 𝐻 (𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ˜ 𝒙 g ⏟___⏟___⏟ \equiv ˜ 𝒙) (27)$ を使えばよい。 $𝑅, 𝒙 g$ の時間微分が $𝛀$ に対応する。この式( $27$ )の両辺の $𝑡$ 微分および $𝒙$ 微分を取ると、それぞれ以下のようになる：（ $𝜕 𝜕 𝑡$ が $𝑅, 𝒙 g$ だけに作用することに注意） $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = 𝑑 ˜ 𝐻 𝑑 ˜ 𝒙 𝜕 ˜ 𝒙 𝜕 𝑡 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝜕 ˜ 𝒙 𝜕 𝑡 = 𝜕 𝜕 𝑡 [𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + ˜ 𝒙 g] = ˙ 𝑅 T (𝒙 - 𝒙 g) + 𝑅 T (𝟎 - ˙ 𝒙 g) + 𝟎 = - 𝑅 T [𝝎 \times (𝒙 - 𝒙 g) + ˙ 𝒙 g] ∵ ˙ 𝑅 = 𝝎 \times 𝑅 = - 𝑅 T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 ∵ 𝛀 \equiv [˙ 𝒙 g 𝝎] = - 𝑑 ˜ 𝐻 𝑑 ˜ 𝒙 𝑅 T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 𝜕 𝐻 𝜕 𝒙 \equiv (\nabla 𝐻) T = 𝑑 ˜ 𝐻 𝑑 ˜ 𝒙 𝜕 ˜ 𝒙 𝜕 𝒙 ⏟ 𝑅 T (28) (29)$ 後は、第1式に、第2式を代入して $˜ 𝐻$ 部分を消去すると以下を得る： $𝜕 𝐻 𝜕 𝑡 = - (\nabla 𝐻) T [1 - (𝒙 - 𝒙 g) \times] 𝛀 (30)$

式の取りまとめ

後は、式( $30$ )を式( $26$ )に代入すれば、与式が得られる。ただし、式( $30$ )の $𝒙$ は $𝒙 c$ で置き換えておく。また、式( $22$ )の第3式 $ˆ \nabla 𝐺 + ˆ \nabla 𝐻 = 𝟎$ を使って、 $\nabla 𝐻$ を消去して、 $𝐺$ に関する項で統一する。 $◼$

13.2.4参考接触点 $𝒙 c$ の速度 $˙ 𝒙 c$ ：式( $32$ )

条件式( $23$ )は、接触点の速度 $˙ 𝒙 c$ を決める式でもある。これを実際に求めよう。

拘束条件( $23$ )の第3式に着目する → 条件が足りない

同式の第3式：（再掲） $(𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡) + (𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙) ˙ 𝒙 c = 𝟎 (31)$ は3成分の式なので、逆行列をかけて $˙ 𝒙 c = [\dots]$ の形に変形できればよいが、それはできない。なぜなら、 $(\dots)$ 部分は、単位ベクトル $ˆ \nabla 𝐺, ˆ \nabla 𝐻$ の微分の性質（第8章の【8.3-注1】）により、拘束面への射影行列を含むからである。（単位行列以外の）射影行列は逆行列を持たない。実際、行列 $𝑃$ が逆行列を持つと仮定して、射影行列であるための条件 $𝑃 2 = 𝑃$ に、 $𝑃 - 1$ を辺々かければ $𝑃 = 1$ となる。

残りの拘束条件も使って、式( $31$ )が解けるようにしたい

よって、 $˙ 𝒙 c$ を求めるには、式( $31$ )だけではだめで、条件式( $23$ )の残りの式も使う必要がある。方針としては、式( $31$ )に適当な項を加えて、係数行列 $(\dots)$ が逆行列を持つようにすればよい。上述の通り、 $(\dots)$ は「拘束面への射影行列」を含むのだから、逆行列を持たせるには、「拘束面の垂線方向（＝ $\nabla 𝐺$ 方向）への射影行列」に比例する項を加えればよさそうである。

$\nabla 𝐺$ 方向の条件を加えれば解ける：式( $32$ )

式( $23$ )の第1式に着目すると、これは「 $˙ 𝒙 c$ の $\nabla 𝐺$ 方向成分を決める式」になっている。よって、射影行列の形に変形でき、実際、 $\nabla 𝐺$ を辺々かければ以下をのようになる： $𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 \nabla 𝐺 + \nabla 𝐺 (\nabla 𝐺) T ˙ 𝒙 c = 0$ 後は、これを式( $31$ )に辺々加えればよい： $(𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙 + \nabla 𝐺 (\nabla 𝐺) T) ˙ 𝒙 c = - (𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 \nabla 𝐺)$ 新たな係数行列 $(\dots)$ は逆行列を持つので、 $˙ 𝒙 c$ について解ける： $˙ 𝒙 c = - 𝐾 - 1 (𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 \nabla 𝐺) 𝐾 \equiv (\dots) = 𝜕 ˆ \nabla 𝐺 𝜕 𝒙 + 𝜕 ˆ \nabla 𝐻 𝜕 𝒙 + \nabla 𝐺 (\nabla 𝐺) T (32) (33)$ 以上により、条件式( $23$ )を、「速度 $𝛀$ に対する1つの拘束条件( $25$ )」と「 $˙ 𝒙 c$ を与える3成分の式( $32$ )」に過不足なく分離することができた。 $𝐾$ が逆行列を持つこと任意のゼロでないベクトル $𝛿 𝒙 \neq 𝟎$ に対して、 $𝐾 𝛿 𝒙 \neq 𝟎$ となることを言えばよい。まず、 $𝐾 𝛿 𝒙$ において、式( $33$ )の第1, 2項がかかる部分は「拘束面に平行」になり、第３項がかかる部分は「拘束面に垂直」になる。1 $𝛿 𝒙$ が拘束面に垂直な（＝ $\nabla 𝐺$ 方向の）成分を持つとき、この第3項のため、 $𝐾 𝛿 𝒙$ は必ず $\nabla 𝐺$ 方向の成分を持つ。2残るは、 $𝛿 𝒙$ が拘束面に平行な場合だが、剛体と床の曲率は異なるので、（剛体と床の垂線方向の差異を表す）第1, 2項がかかる部分はゼロにならない。 $◼$

13.3滑り拘束

この節では、「滑り拘束」に対する運動方程式の解き方をまとめる。前述のように、今考えているのは、常に1点で接触している状況である。接触点が複数ある場合、あるいは運動の途中で増える場合（衝突運動になることが多いだろう）は考慮していない。逆に、接触点が減る場合も扱えない。例えば、本来であれば空中に飛び上がってしまうような場合でも、床から離れないようにする拘束力が働いて、床にくっついたままになる。

13.3.1滑り運動の計算方法

数値的に計算する方法をまとめると、以下のようになる：

1運動方程式を確定させる

剛体が床の上を滑るという拘束条件は、剛体と床が接触しているという前節の式( $25$ )そのものである。よって、式( $25$ )の $𝐵, 𝑏$ を使って、運動方程式( $12$ )が確定する。

2モデリング

床の形状 $𝐺 (𝑡, 𝒙)$ と、モデル配置での剛体の形状 $˜ 𝐻 (𝒙)$ を定義する。

3初期値を設定する

$𝑡 = 0$ での初期値を与える。初期配置 $𝒙 g, 𝑅$ については、拘束条件( $22$ )を満たす接触点 $𝒙 c$ が存在するようにとる。初期速度 $˙ 𝒙 g, 𝛀$ については、拘束条件( $25$ )を満たすようにをとる。

4運動方程式を解く

その後の運動は、運動方程式( $12$ )から計算できる。その解き方は、第11章の11.2.2節と同じである。ただし、式( $12$ )の拘束力 $𝚽 c$ を確定させるために、接触点 $𝒙 c$ を計算ステップごとに求める必要がある。 $𝒙 c$ は、 $𝒙 g, 𝑅$ から直接計算することも原理的には可能であるが、ステップごとに計算するのは大変である。これを回避するには、式( $32$ )から決まる $˙ 𝒙 c$ を用いて、 $𝒙 c$ の時間変化を並行して計算していけば良い： $𝒙 c (𝑡 + 𝛿 𝑡) ≐ 𝒙 c + ˙ 𝒙 c 𝛿 𝑡$

13.3.2例題曲面上を滑る楕円体

例として、楕円体の剛体（＝球を $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 方向につぶしたもの）： $˜ 𝐻 (𝒙) \equiv 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 - 1 (34)$ を取りあげる（ $𝑎, 𝑏, 𝑐$ は定数）。密度は一様とする。

慣性モーメント：式( $35$ )

このモデル配置( $34$ )での慣性モーメント $˜ 𝐼 g$ は、剛体を質点要素に分解して数値的に近似計算してもよいが、今の場合には解析的に計算することができ、以下のようになる： $˜ 𝐼 g = 𝑚 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (35)$ $𝑚$ は剛体の質量である。（導出は第14章で行う。）

数値シミュレーション

数値計算を行うと右図のようになる。床は静止している。

13.4転がり拘束

この節では、「転がり拘束」での拘束条件( $36$ )を導く。

13.4.1転がり運動の拘束条件：式( $36$ )

滑らないということは、接触点 $𝒙 c$ において、剛体と床が相対速度を持っていないということである。即ち、「 $𝒙 c$ に位置している剛体上の質点要素 $𝒙 c, 𝐻$ 」の速度 $˙ 𝒙 c, 𝐻$ ： $˙ 𝒙 c, 𝐻 = ˙ 𝒙 g + 𝝎 \times (𝒙 c - 𝒙 g)$ と「 $𝒙 c$ に位置している拘束面上の点 $𝒙 c, 𝐺$ 」の速度 $˙ 𝒙 c, 𝐺$ が等しいということである： $˙ 𝒙 c, 𝐻 \equiv ˙ 𝒙 g + 𝝎 \times (𝒙 c - 𝒙 g) = ˙ 𝒙 c, 𝐺$ これを、式( $11$ )の形に変形すると、転がり運動の拘束条件が得られる： $𝐵 𝛀 + 𝒃 = 𝟎 𝐵 \equiv [1 - (𝒙 c - 𝒙 g) \times] 𝒃 \equiv - ˙ 𝒙 c, 𝐺 ⎫ { {⎬ { {⎭ (36)$ $˙ 𝒙 c, 𝐺$ は別途与える必要がある床が静止している場合には、 $˙ 𝒙 c, 𝐺 = 𝟎$ である。そうでない場合、 $˙ 𝒙 c, 𝐺$ を決めるためには、床の上の各点の速度が必要となる。床の形状の定義式 $𝐺 \leq 0$ にこの情報は含まれているが、動く壁との衝突（第5章の5.2節）の際にも述べたように、この定義式の中には、床と平行な方向の速度成分の情報が含まれていない。そのため、追加でその情報を与えてやる必要がある。滑り拘束を含んでいる拘束条件( $36$ )は、滑り運動の拘束条件( $25$ )を含んでいる。実際、式( $36$ )の両辺に $\nabla 𝐺 T$ を左乗すると式( $25$ )に一致する。右辺の一致が分かりづらいかもしれないが、 $𝐺 (𝑡, 𝒙 c, 𝐺) = 0$ の時間微分： $𝜕 𝐺 𝜕 𝑡 + 𝜕 𝐺 𝜕 𝒙 ˙ 𝒙 c, 𝐺 = 0$ に着目すれば明らかである。

13.4.2転がり運動の計算方法

転がり拘束がある場合の計算方法は、滑り拘束の場合（13.3.1節）と基本的に同じである。ここでは、滑り拘束とは異なる個所を強調して説明する。

1運動方程式を確定させる

滑り拘束の場合と同様だが、 $𝐵, 𝑏$ として、式( $36$ )のものを使う。

2モデリング

滑り拘束の場合と同じ。

3初期値を設定する

初期配置に対する拘束条件は、床と剛体が接していることのみなので、滑り拘束の場合と同じである。一方、初期速度については拘束条件( $36$ )の3成分すべてが成り立つ必要がある。配置に対する条件より、速度に対する条件のほうが多いので、上述の通り、転がり拘束は非可積分（【13.1-注2】）であることが分かる。

4運動方程式を解く

滑り拘束の場合と同じ。

13.4.3例題曲面上を転がる楕円体

前節と同じ楕円体形状の剛体の場合、数値計算を行うと右図のようになる。床は静止している。

運動方程式(1)の拘束力 𝒇c と拘束トルク 𝝉cg を求めればよい

運動方程式の導出の方針案

2つ目を採用する

「拘束条件から拘束力を求める公式」が欲しい

この章の方針

13.1拘束条件が追加された剛体の運動方程式

この節の表記法

13.1.1剛体の速度 𝛀 に対する拘束条件の一般形：式(6)

「座標に対する拘束条件」を微分してみる：式(4)

剛体の速度 𝛀 に対する拘束条件：式(6)

参考式(6)でしか表せない拘束条件がある

13.1.2ダランベールの原理(9)により、運動方程式は式(12)

復習質点要素に対するダランベールの原理：：式(7)

剛体に対するダランベールの原理：式(9)

剛体の運動方程式：式(12)

【13.1-注1】拘束された剛体の運動方程式：式(12)

導出