自己力
この章では実際に電荷に働く自己力を計算する。方針は、次のとおりである。まず、運動する電荷が作る電磁場(2)を求める。電磁場が分かれば、後は電荷分布から、電荷に働く電磁気力(1)が計算できる。ただし、電荷が球対称で、速度やその微分が十分小さい時、即ち、それらの2次の項が無視できる時（以下、低速近似と呼ぶことにする）を考える。
12.1自己力
自己力を求める。自己力には、放射の反作用だけでなく、質量に対する補正を与える効果もあることを見る。
12.1.1球対称かつ低速近似での自己力：式(1)
電荷が、その形状を変えずに運動しているとする。電荷の位置を
𝒓
とおき、その時間変化が与えられれば、周辺の電磁場
𝑭𝑡,𝒙
が決まる。これは、第10章で、リエナール・ヴィーヘルトの公式を求めた時と同様である。第10章では、電荷の大きさが無視できるという近似を用いたが、ここでは大きさを考慮に入れて考える。実際に電磁場を計算するには、マクスウェル方程式の解の公式に代入すればよい。すると、以下の【11.2-注1】のようになる。
電磁場が求まれば、電荷に働く電磁気力、即ち、自己力
𝒇self
が計算できる。具体的に計算すると、低速近似のもとで
𝒇self≈−∫𝒙∫𝒙′𝜌𝒙𝜌𝒙′6𝜋𝑐2𝜖0|𝒙−𝒙′|¨𝒓𝑡′(1)
となる（導出は以下の【11.2-注2】）。
¨𝒓𝑡′
は、時刻
𝑡′=𝑡−𝑐−1|𝒙−𝒙′|
における電荷の加速度である。この式を見ると、直近の過去の加速度から現在の
𝒇self
が決まることが分かる。式(1)の向きは加速度
¨𝒓𝑡′
と逆なので、
𝒇self
は加速度を小さくするように働く。また、分母に
𝑐2
があることから分かるように、自己力は極めて小さい。
【12.1-注1】形を変えずに動く電荷が作る電磁場
電荷が形を変えずに自由に動いているとする：（
𝒓
は電荷の位置）
𝜌𝑡,𝒙=𝜌𝒙−𝒓𝒋𝑡,𝒙=𝜌𝒙−𝒓˙𝒓
電磁場は以下のようになる：
𝑭𝑡,𝒙=∫𝒙′(−𝑐2+˙𝒓′˙𝒓′T−𝑖𝑐˙𝒓′×)∇−¨𝒓′4𝜋𝑐2𝜖0|𝒙′|𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′(2)
ただし、
𝒓′
およびその微分は時刻
𝑡′=𝑡−𝑐−1|𝒙′|
における値である。
この式は、数学的には厳密である。ただし、形を変えないという条件は、相対論的には現実的ではない。
【証明】
マクスウェル方程式の解の公式より、電磁場の複素表示
𝑭𝑡,𝒙
は
𝑭𝑡,𝒙=∫𝒙′◻𝑭𝑡′,𝒙−𝒙′4𝜋𝑐2|𝒙′|
である（
𝑡′=𝑡−𝑐−1|𝒙′|
）。
◻𝑭
の計算をすると
◻𝑭𝑡,𝒙≡−𝑐2∇𝜌−(𝜕𝑡−𝑖𝑐∇×)𝒋𝜖0=−𝑐2∇𝜌𝒙−𝒓−(𝜕𝑡−𝑖𝑐∇×)𝜌𝒙−𝒓˙𝒓𝜖0=−𝑐2+˙𝒓˙𝒓T−𝑖𝑐˙𝒓×𝜖0∇𝜌𝒙−𝒓+−𝜌𝒙−𝒓¨𝒓𝜖0
となる。これを元の式に代入すると与式になる。
【12.1-注2】ゆっくり運動する球対称な電荷に働く自己力
時刻
𝑡
での自己力
𝒇self
は以下のようになる：
𝒇self≈−∫𝒙∫𝒙′𝜌𝒙𝜌𝒙′6𝜋𝑐2𝜖0|𝒙−𝒙′|¨𝒓𝑡′
¨𝒓𝑡′
は、時刻
𝑡′=𝑡−𝑐−1|𝒙−𝒙′|
における電荷の加速度である。ただし、電荷は球対称、かつ、ゆっくり（＝速度やその微分の2次の項が無視できるように）運動しているとする。
【証明】
仮定により、速度や加速度などの2乗の項は無視してよい。電磁場(2)に対してこの近似を用いると
𝑬𝑡,𝒙≈∫𝒙′−𝑐2∇−¨𝒓′4𝜋𝑐2𝜖0|𝒙′|𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′𝑩𝑡,𝒙≈𝟎
となる（磁場はローレンツ力において速度を掛けると速度の2乗が出るので無視してよい）。これを使うと、自己力は以下のようになる：
𝒇self≈∫𝒙𝜌𝒙−𝒓𝑬𝑡,𝒙≈∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′−𝑐2∇−¨𝒓′4𝜋𝑐2𝜖0|𝒙′|𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′=−14𝜋𝑐2𝜖0∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′(𝑐2∇𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′|𝒙′|+𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′|𝒙′|¨𝒓′)≡−14𝜋𝑐2𝜖0(𝐴+𝐵)(3)
これを用いて、
𝐴
を
𝑡
の周りにテイラー展開する（
𝐵
とそろえるために
¨𝒓′
を括りだす）：
𝐴≡∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝑐2∇𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′|𝒙′|∣
∣
∣
∣𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′を時間でテイラー展開する。𝑛=0,1の項は積分すると消える。=∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝑐2∇|𝒙′|∑𝑛=2(𝑡′−𝑡)𝑛𝑛!𝜕𝑛𝑡𝜌𝒙−𝒙′−𝒓∣
∣
∣
∣電荷保存則：𝜕𝑡𝜌𝒙−𝒙′−𝒓=−∇T𝜌𝒙−𝒙′−𝒓˙𝒓さらに、速度が小さいので、𝜕𝑡𝜌𝒙−𝒙′−𝒓˙𝒓≈𝜌𝒙−𝒙′−𝒓𝜕𝑡˙𝒓=−∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝑐2|𝒙′|∑𝑛=2|𝒙′|𝑛(−𝑐)𝑛𝑛!∇∇T𝜌𝒙−𝒙′−𝒓𝜕𝑛−1𝑡˙𝒓∣
∣
∣
∣
∣∇=−∇′と置き換えてよい。∇′∇′Tを部分積分。その他簡単な式変形。=−∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝜌𝒙−𝒙′−𝒓∑𝑛=2∇′∇′T|𝒙′|𝑛−1(−𝑐)𝑛−2𝑛!𝜕𝑛−2𝑡¨𝒓∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣∇′∇′T|𝒙′|𝑛−1=(𝑛−1)∇′|𝒙′|𝑛−2𝒙′T=(𝑛−1)[(𝑛−3)̂𝒙′̂𝒙′T+1]|𝒙′|𝑛−2さらに、球対称なので、̂𝒙′̂𝒙′Tは積分時に13と置き換える。=−∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝜌𝒙−𝒙′−𝒓∑𝑛=2𝑛(𝑛−1)|𝒙′|𝑛−23(−𝑐)𝑛−2𝑛!𝜕𝑛−2𝑡¨𝒓∣
∣
∣
∣∑𝑛=2|𝒙′|𝑛−2(−𝑐)𝑛−2(𝑛−2)!𝜕𝑛−2𝑡¨𝒓=¨𝒓′=−∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝜌𝒙−𝒙′−𝒓3|𝒙′|¨𝒓′
一方
𝐵
は
𝐵≡∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝜌𝒙−𝒙′−𝒓′|𝒙′|¨𝒓′≈∫𝒙𝜌𝒙−𝒓∫𝒙′𝜌𝒙−𝒙′−𝒓|𝒙′|¨𝒓′
これらを式(3)に代入すれば、与式を得る。
12.1.2自己力は質量に補正を与える
式(1)をもう少し変形しておこう。被積分関数に現れる
¨𝒓𝑡′
に着目すると、加速度の変化はゆっくりだと仮定しているので、
𝑡
の周りで1次近似可能である：（右辺は
𝑡
での値）
¨𝒓𝑡′≐¨𝒓+(𝑡′−𝑡)⃛𝒓(4)
これを式(1)に代入すると
𝒇self≈−∫𝒙∫𝒙′𝜌𝒙𝜌𝒙′6𝜋𝑐2𝜖0|𝒙−𝒙′|[¨𝒓+(𝑡′−𝑡)⃛𝒓]=−∫𝒙∫𝒙′𝜌𝒙𝜌𝒙′6𝜋𝑐2𝜖0|𝒙−𝒙′|[¨𝒓−|𝒙−𝒙′|𝑐⃛𝒓]=−4𝐸3𝑐2¨𝒓+𝑞26𝜋𝑐3𝜖0⃛𝒓𝐸≡∫𝒙∫𝒙′𝜌𝒙𝜌𝒙′8𝜋𝜖0|𝒙−𝒙′|𝑞≡∫𝒙𝜌𝒙(5)
𝐸
は電荷が静止している場合の、電磁場のエネルギーに一致する。
𝑞
は荷電粒子の電荷である。
⃛𝒓
の項は分母に
𝑐3
があるので、非常に小さい
外力を
𝒇ext
とおき（例えば外から与えた電磁場）、運動方程式
𝑚¨𝒓=𝒇self+𝒇ext
に式(5)を代入すると（
¨𝒓
の項を左辺に移行して）
(𝑚+4𝐸3𝑐2)¨𝒓=𝑞26𝜋𝑐3𝜖0⃛𝒓+𝒇ext(6)
となる。これを見ると、質量が
4𝐸3𝑐2
だけ大きくなったように振る舞うことが分かる。（ちなみに、電荷を保ったままで形状を小さくしていくと
𝐸
は無限大に発散する）前章で、電磁波の放射の反作用として自己力の存在を示したが、このように質量に補正を掛けるような自己力もあるのである。
⃛𝒓
の項が、電磁波の反作用に対応する部分であり、アブラハム・ローレンツ力（Abraham–Lorentz force）と呼ばれる。
なお、式(6)は、あくまで近似的な方程式である。この3階微分方程式を厳密に解いたとしても、正しい運動が得られるとは限らない。例えば、静止していた電荷に、ある時刻以降、向きが一定の外力
𝒇ext
が作用する場合を考える。
𝒇ext
が作用し始めた段階では、式(6)の左辺は
𝟎
なので、
⃛𝒓
は
−𝒇ext
方向を向く。よってその直後、
¨𝒓
も
−𝒇ext
方向に変化することになる。その後も、同式より、
⃛𝒓
は
−𝒇ext
方向を向いたままとなる。よって、
¨𝒓
は
−𝒇ext
方向に大きくなり続けることになる。つまり、外力とは逆方向に加速度を増し続けるという異常な解が導かれる。
一方、元の式(1)を使うとそのような問題は生じない。実際、外力が作用し始めた段階では、自己力
𝒇self
はほぼ
𝟎
なので、電荷は自己力がないかのように外力の方向へ加速を始める。その後、
𝒇self
が大きくなってくるが、加速度を小さくする方向に働くので、向きが逆になることはない。このように、自己力は遅れて働くものだが、式(4)の近似では、その性質が捉えきれていないわけである。