電磁場のエネルギー

【11.1-注1】電磁場の4元運動量

電磁場の4元運動量を以下のように定義する： 𝗉EM≡[𝑐−2𝐸EM𝒑EM]≡⎡⎢ ⎢⎣𝑐−2∫𝒙12(𝜖0𝑬T𝑬+𝜇−10𝑩T𝑩)∫𝒙𝜖0𝑬×𝑩⎤⎥ ⎥⎦(2)

𝐸EM が電磁場のエネルギー、 𝒑EM が運動量である。この時、 𝗉EM と物質の4元運動量： 𝗉m≡[𝑐−2𝐸m𝒑m]≡∑𝑖𝛾𝑖𝑚𝑖[1˙𝒙𝑖] を足し合わせたものは、保存する： 𝑑𝑑𝑡(𝗉m+𝗉EM)=𝟢(3)

ただし、物質と電磁場のみが相互作用しているとする。なお、 𝗉EM はローレンツ共変ではない。

証明

まず、デルタ関数形状の電荷が1つだけある場合を考える。電荷分布を 𝜌𝑡,𝒙 とし、 𝒓(𝑡) を時刻 𝑡 での荷電粒子の位置とすると、電流密度 𝒋𝑡,𝒙 は： 𝜌𝑡,𝒙=𝑞𝛿𝒙−𝒓𝒋𝑡,𝒙=𝑞𝛿𝒙−𝒓˙𝒓 となる（電荷保存則 𝜕𝑡𝜌+∇T𝒋=0 を満たしている）。よって、運動方程式と合わせると以下のようになる：（電荷全体が受ける力を考えるので積分が出てくる） 𝑑𝑑𝑡𝛾𝑚[1˙𝒓]=∫𝒙𝑞𝛿𝒙−𝒓[0𝑐−2𝑬T𝑬−𝑩×][1˙𝒓]=∫𝒙[0𝑐−2𝑬T𝑬−𝑩×][𝜌𝒋]=𝜖0∫𝒙[0𝑐−2𝑬T𝑬−𝑩×]([𝜕𝑡∇T][0−𝑬T𝑬𝑐2𝑩×])T=𝜖0∫𝒙[0𝑐−2𝑬T𝑬−𝑩×][∇T𝑬−𝜕𝑡𝑬+𝑐2∇×𝑩]=𝜖0∫𝒙[−𝑐−2𝑬T𝜕𝑡𝑬+𝑬T∇×𝑩𝑬∇T𝑬+𝑩×𝜕𝑡𝑬−𝑐2𝑩×∇×𝑩]=𝜖0∫𝒙⎡⎢ ⎢⎣−𝜕𝑡12𝑐−2𝑬T𝑬+(−∇T𝑬×𝑩+𝑩T∇×𝑬)𝑬∇T𝑬+(−𝜕𝑡𝑬×𝑩−𝑬×∇×𝑬)−𝑐2𝑩×∇×𝑩⎤⎥ ⎥⎦=𝜖0∫𝒙⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−𝜕𝑡12𝑐−2𝑬T𝑬+(−∇T𝑬×𝑩−𝜕𝑡12𝑩T𝑩)−𝜕𝑡𝑬×𝑩−[12(𝑬T𝑬+𝑐2𝑩T𝑩)−𝑬𝑬T−𝑐2𝑩𝑩T]←∇⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=−∫𝒙𝜖0⎡⎢ ⎢ ⎢⎣12(𝑬T𝑬+𝑐−2𝑩T𝑩)(𝑬×𝑩)T𝑬×𝑩12(𝑬T𝑬+𝑐2𝑩T𝑩)−𝑬𝑬T−𝑐2𝑩𝑩T⎤⎥ ⎥ ⎥⎦←←←←←←←[𝜕𝑡∇]=−𝑑𝑑𝑡∫𝒙𝜖0⎡⎢ ⎢⎣12(𝑐−2𝑬T𝑬+𝑩T𝑩)𝑬×𝑩⎤⎥ ⎥⎦ 複数の電荷がある場合、それらの運動方程式の和を取れば、左辺は物質の全4元運動量となる。右辺は全電荷電流密度に置き換えるだけなので式は変わらない。右辺を左辺に移行すると、式(3)に一致する。 ◼

【11.1-注2】静電磁場のエネルギー

静電磁場のエネルギー 𝐸EM は、電荷・電流密度 𝜌,𝒋 を用いて、以下のようになる： 𝐸EM=∫𝒙∫𝒙′𝜖−10𝜌𝒙𝜌𝒙′+𝜇0𝒋T𝒙𝒋𝒙′8𝜋|𝒙−𝒙′|

証明

必要な式 𝐸EM=12∫𝒙(𝜖0𝑬T𝑬+𝜇−10𝑩T𝑩)𝑬=−14𝜋𝜖0∇∫𝒙′𝜌(𝒙′)|𝒙−𝒙′|𝑩=𝜇04𝜋∇×∫𝒙′𝒋(𝒙′)|𝒙−𝒙′|

第1式に残りの式を代入して計算するだけである。電場部分 𝐸E と磁場部分 𝐸M に分けて計算する： 𝐸EM=𝐸E+𝐸M8𝜋𝜖0𝐸E≡4𝜋𝜖20∫𝒙𝑬T𝑬=14𝜋∫𝒙(∇∫𝒙′𝜌(𝒙′)|𝒙−𝒙′|)T(∇∫𝒙″𝜌(𝒙″)|𝒙−𝒙″|)∣ ∣ ∣ ∣(∇𝑓)T∇𝑓=∇T(𝑓∇𝑓)−𝑓Δ𝑓∇Tを含む項は消える）=0−14𝜋∫𝒙(∫𝒙′𝜌(𝒙′)|𝒙−𝒙′|)Δ(∫𝒙″𝜌(𝒙″)|𝒙−𝒙″|)∣第2項にポアソン方程式の解の公式=∫𝒙∫𝒙′𝜌(𝒙)𝜌(𝒙′)|𝒙−𝒙′|8𝜋𝜇−10𝐸M≡4𝜋𝜇−20∫𝒙𝑩T𝑩=14𝜋∫𝒙(∇×∫𝒙′𝒋𝒙′|𝒙−𝒙′|)T(∇×∫𝒙′𝒋𝒙′|𝒙−𝒙′|)∣ ∣ ∣ ∣ ∣(∇×𝒇)T∇×𝒇=(∇T𝒇×)∇×𝒇=∇T(𝒇×∇×𝒇)+𝒇T∇×∇×𝒇=0+𝒇T(∇∇T−Δ)𝒇=−14𝜋∫𝒙(∫𝒙′𝒋𝒙′|𝒙−𝒙′|)TΔ(∫𝒙″𝒋𝒙″|𝒙−𝒙″|)=∫𝒙∫𝒙′𝒋T𝒙𝒋𝒙′|𝒙−𝒙′|◼