マクスウェル方程式の解
前章で見たように、複素表示した電磁場
𝑭≡𝑬+𝑖𝑐𝑩
を用いると、マクスウェル方程式は、以下のようになる：
˙𝑭=−𝑖𝑐∇×𝑭−𝜖−10𝒋0=∇T𝑭−𝜖−10𝜌(1)(2)
式(1)を使えば、電磁場の時間発展が計算できるのであった。これを実際に数値計算で求めたい。
ところで、電荷・電流密度
𝜌,𝒋
が存在しないという条件の下で、式(1)をもう一度時間微分すると、きれいな形になる：
¨𝑭=−𝑖𝑐∇×˙𝑭=−𝑖𝑐∇×(−𝑖𝑐∇×𝑭)=−𝑐2(∇∇T−Δ)𝑭∣
∣
∣
∣マクスウェル方程式(2)より∇T𝑭=𝜖−10𝜌=0=𝑐2Δ𝑭
これは波動方程式である。よって、電磁場には波のように光速
𝑐
で伝わっていく解が存在する。これを電磁波という（
𝜌,𝒋
が存在するときにも用いる）。
この章では、この方程式の解を実際に数値計算することにより、分布を持った電荷・電流密度が時間変動するときの電磁場を計算する。また、その特殊な場合として、運動する点電荷が作る電磁場についても扱う。
10.1:電流による電磁波の放射10.2:点電荷による電磁波の放射
10.1電流による電磁波の放射
この節では、式(1)の解を数値的に計算する。
10.1.1電流がない場合
最も単純なのが、電流がない場合である（静電荷はあってもよい）。この場合は、
𝑡=0
での初期電磁場
𝑭0,𝒙
を与えた後、マクスウェル方程式
˙𝑭=−𝑖𝑐∇×𝑭
を解けばよい。
適当に
𝑭0,𝒙
を与えて、シミュレーションを行うと、右図のようになる。これを見てもわかるように、電磁場は波のように伝わっていく性質があることが分かる。この波が電磁波である。右図は、電荷が存在しない場合であり、時間が経つと電磁場がなくなる。一方、電荷が存在する場合は、最後に静電場が残ることになる（以下のシミュレーション参照）。
なお、赤色は電場、緑色は磁場、表示されている領域の1辺は
1m
である。また、
1nsec=10−9sec
である。磁場は
𝑐𝑩
を表示している（例えば、ある点で電場と磁場のベクトルが等しい大きさで表示されていれば、
|𝑬|=𝑐|𝑩|
となっている）。これらは、以下のシミュレーションについても同様である。
10.1.2電気双極子放射
正の電荷と負の電荷が近接してペアになっているものを電気双極子という。電気双極子の電荷間の距離が周期的に変化することにより、電磁波が放射される。これを電気双極子放射という。
例えば、右図のようになる。
10.1.3チェレンコフ放射
電荷密度が、光速以上の速度で運動する際にも衝撃波のような電磁波が放射される。これをチェレンコフ放射という。荷電粒子の場合、光速以上に加速することはできないが、密度分布の場合には、見かけ上動いて見えるように変化させることで、光速を超えることが可能である（これは例えば、電光掲示板を流れる文字について、実際に何かが移動しているわけではないし、動く速さにも上限がないのと同じである）。あるいは、水中など、電磁波の速度が遅くなる媒質中では、荷電粒子の速度が電磁波の速度を超えることが可能であり、チェレンコフ放射が起きる。
右図は、電荷密度が光速の2倍で等速度移動する場合である。
10.2点電荷による電磁波の放射
荷電粒子が十分小さく点とみなせる場合には、前章で与えたマクスウェル方程式の解の公式の積分を実行することができる。
10.2.1点電荷が作る電磁場：リエナール・ヴィーヘルトの公式
点電荷が作る電磁場を計算するには、前章の【9.1-注5】を使えばよい。積分が実行でき、以下の【10.2-注1】の式(3)ようになる。電場
𝑬
と磁場
𝑩
に分けて書くと、
𝑭≡𝑬+𝑖𝑐𝑩
を用いて以下のようになる：
𝑬=𝑞𝛾−2−𝑐−1𝒏×˙𝜷×4𝜋𝜖0(|𝒏|−𝒏T𝜷)3(𝒏−|𝒏|𝜷)𝑩=1𝑐̂𝒏×𝑬
荷電粒子の速度は光速より小さいので一意的に決まる。この節の残りの部分で、この式を使ったシミュレーションを行う。
【10.2-注1】点電荷が作る電磁場：リエナール・ヴィーヘルトの公式
運動する点電荷（電荷
𝑞
）が作る電磁場
𝑭𝑡,𝒙
は、点電荷の速度が光速より小さい時、以下のようになる：
𝑭𝑡,𝒙=𝑞(1+𝑖̂𝒏×)𝛾−2−𝑐−1𝒏×˙𝜷×4𝜋𝜖0(|𝒏|−𝒏T𝜷)3(𝒏−|𝒏|𝜷)(3)
各量
𝒏,𝜷,𝛾
は、点電荷の位置を
𝒓𝑡
として
𝒏=𝒙−𝒓,𝜷=˙𝒓𝑐,𝛾=1√1−|𝜷|2
である。ただし、これらの時刻は全て、「点電荷の世界線」と「
(𝑡,𝒙)
を起点とするライトコーン」が交差する時刻、即ち、以下を満たす
𝑡′
である（一意的に決まる）：
|𝒙−𝒓𝑡′|=𝑐(𝑡−𝑡′)
導出
点電荷の電荷・電流密度は、
𝛿(3)𝒙
を3次元のデルタ関数として
𝜌𝑡,𝒙=𝑞𝛿(3)𝒙−𝒓,𝒋𝑡,𝒙=𝑞𝛿(3)𝒙−𝒓˙𝒓
となる。
◻𝑭
は
◻𝑭=¨𝑭−𝑐2Δ𝑭=𝑞−𝑐2∇𝜌−(𝜕𝑡−𝑖𝑐∇×)𝒋𝜖0=𝑞(−1+𝜷𝜷T−𝑖𝜷×)∇−𝑐−1˙𝜷𝜖0𝑐−2𝛿(3)𝒙−𝒓
これを、前章の【9.1-注5】に代入すればよい（今の場合、
𝑡=0
での初期値問題として扱う必要はないので、初期時刻を
𝑡=−∞
に設定する）：
4𝜋𝜖0𝑞𝑭𝑡,𝒙=∫𝑡𝑡′=−∞∫𝑥′=𝑐(𝑡−𝑡′)◻𝑭𝑡′,𝒙−𝒙′𝜖−10𝑐|𝒙′|=∫𝑡𝑡′=−∞∫𝑥′=𝑐(𝑡−𝑡′)(−1+𝜷𝜷T−𝑖𝜷×)∇−𝑐−1˙𝜷𝑐−1|𝒙′|𝛿(3)𝒙−𝒙′−𝒓′∣
∣
∣
∣
∣𝒙′積分を実行：∫𝑥′=𝑐(𝑡−𝑡′)𝛿(3)𝒙−𝒙′−𝒓′𝑐−1|𝒙′|=𝛿|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)𝑡−𝑡′その後∇を作用させる：∇𝛿|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)=̂𝒏˙𝛿|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)=∫𝑡𝑡′=−∞(−1+𝜷𝜷T−𝑖𝜷×)̂𝒏˙𝛿|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)−𝑐−1˙𝜷𝛿|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)𝑡−𝑡′∣
∣
∣
∣
∣
∣𝑑𝑑𝑡′[|𝒏|−𝑐(𝑡−𝑡′)]=𝑐(1−̂𝒏T𝜷)に注意して𝑡′積分を実行。微分の外では|𝒏|=𝑐(𝑡−𝑡′)を満たすように𝑡′が一意に決まる。=−11−̂𝒏T𝜷[𝑑𝑑𝑡′(−1+𝜷𝜷T−𝑖𝜷×)𝒏𝑐2(𝑡−𝑡′)(|𝒏|−𝒏T𝜷)]−𝑐−1˙𝜷|𝒏|−𝒏T𝜷∣(−1+𝜷𝜷T−𝑖𝜷×)𝒏=−(1+𝑖̂𝒏×)(𝒏−|𝒏|𝜷)−𝜷(|𝒏|−𝒏T𝜷)=−11−̂𝒏T𝜷[𝑑𝑑𝑡′−(1+𝑖̂𝒏×)(𝒏−|𝒏|𝜷)𝑐2(𝑡−𝑡′)(|𝒏|−𝒏T𝜷)]+𝜷|𝒏|(|𝒏|−𝒏T𝜷)∣
∣
∣
∣
∣
∣−𝑑𝑑𝑡(1+𝑖̂𝒏×)(𝒏−|𝒏|𝜷)=(1+𝑖̂𝒏×)|𝒏|˙𝜷+𝑐(1−̂𝒏T𝜷)𝜷𝑑𝑑𝑡(𝑡−𝑡′)(|𝒏|−𝒏T𝜷)=𝛾−2+𝑐−1𝒏T˙𝜷これらの公式を使って微分を計算した後、(1+𝑖̂𝒏×)を括りだす。=(1+𝑖̂𝒏×)𝛾−2−𝑐−1(˙𝜷𝒏T−𝒏T˙𝜷)(|𝒏|−𝒏T𝜷)3(𝒏−|𝒏|𝜷)◼
10.2.2等速度運動
点電荷が等速度で運動している場合、右図のようになる。これは、静電場のクーロンの法則をローレンツ変換して求めることもできる。等速度の場合には、電磁波を放射しない。
10.2.3制動放射（単振動）
荷電粒子が加速度を受けることによって電磁波を放射することを、制動放射という。まず、加速度が速度と平行な場合として、単振動を考える。すると右図のようになる。
10.2.4制動放射（円運動）
次に、加速度が速度と垂直な場合として、円運動を考える。すると右図のようになる。
[LINK:シミュレーションを開始:img/EMLWPerp.html]