相対性理論ガリレイ変換からローレンツ変換へ

ガリレイ変換の矛盾を解消したい

ガリレイ変換の矛盾を解消したい。前章の議論によると、慣性系 $𝐾$ から別の慣性系 $𝐾'$ に移った時の電荷・電流密度 $𝗃 = [𝜌 𝒋]$ の変換則が、マクスウェル方程式を用いた場合 $𝗃' = [1 - 𝜖 0 𝜇 0 𝒗 T 𝟎 1] 𝗃 (1)$ となり、世界線を用いた場合 $𝗃' = [1 𝟎 T - 𝒗 1] 𝗃 (2)$ となるのであった（ $𝒗$ は $𝐾$ 系から見た $𝐾'$ 系の速度）。これらは、同じものを表しているにもかかわらず、式の形が異なっている。これは解消しなければならない。ただし、2つの式の違いは、通常の実験では確認できないほど微小である（ $𝜖 0 𝜇 0 ≪ 1$ および $𝜌 | 𝒗 | ≪ | 𝒋 |$ による）。

この章では、両者を整合させる変換であるローレンツ変換の導出とその検証について述べる： $5.1 : ローレンツ変換 5.2 : 光速を用いたローレンツ変換の検証$

6.1ローレンツ変換：式( $8$ )

この節では、ローレンツ変換( $8$ )を導く。

これ以降、式( $1$ )の $𝜖 0 𝜇 0$ の平方根の逆数を $𝑐$ で表すことにする： $𝑐 \equiv 1 \sqrt 𝜖 0 𝜇 0 = 2.9979 \dots \times 108 m \cdot s - 1 (3)$ 非常に大きな値を持つ定数 $𝑐$ は速度の次元を持ち、光速と呼ばれる。その名の通り、光の速さに等しいことが実験的に知られている（真空中の場合であり、空気中や水中などでは遅くなる）。

6.1.1無限小ローレンツ変換

矛盾する変換式( $1$ )と式( $2$ )は、通常の実験の誤差範囲内ではともに正しい。しかし、ともに同じ慣性系での座標を表しているのだから、本来であれば、等しくなるはずである。従って、これらは近似的なものであると考えられる。実際、 $𝒗$ を非常に大きくできれば、両者の違いが測定できるようになるだろう。では、厳密な変換式を得るにはどうすればよいだろうか。

もっとも単純なのは、両者に共通する項を残した $Λ (𝒗) ? = [1 - 𝑐 - 2 𝒗 T - 𝒗 1] (4)$ だろう。（ $𝑐$ は式( $3$ )で述べた光速である。）

ただし、この式( $4$ )は厳密なものではありえない。というのも、 $𝒗$ の符号を反転させたものが逆行列になるはずだが、そうなっていないからである： $Λ (𝒗) Λ (- 𝒗) = [1 - 𝑐 - 2 𝒗 T - 𝒗 1] [1 𝑐 - 2 𝒗 T 𝒗 1] = [1 - 𝑐 - 2 𝒗 T 𝒗 𝟎 T 𝟎 1 - 𝑐 - 2 𝒗 𝒗 T] \neq 1 (5)$ 式( $5$ )は単位行列ではないが、単位行列からのずれは $𝒗$ の2次である。従って式( $4$ )は、 $𝒗$ の1次近似とみなすべきだろう。これを無限小ローレンツ変換という。

6.1.2一般の速度でのローレンツ変換：式( $8$ )

無限小ローレンツ変換( $4$ )により、元の系 $𝐾$ に対して十分小さな相対速度 $𝛿 𝒗$ で移動している慣性系 $𝐾'$ への座標変換は、以下のようになる： $[𝑡' 𝒙'] ≐ Λ (𝛿 𝒗) [𝑡 𝒙] Λ (𝛿 𝒗) \equiv [1 - 𝑐 - 2 𝛿 𝒗 T - 𝛿 𝒗 1] (6)$ これを用いて、一般の相対速度で成り立つ厳密な式を求めたい。なお、ガリレイ変換の場合と同様に、時空の原点は、両方の慣性系で一致するようにとる。例えば、粒子の衝突が、 $𝐾$ 系において $(𝑡, 𝒙) = (0, 𝟎)$ で起きたとしたら、その衝突を $𝐾'$ 系から見た場合にも $(𝑡', 𝒙') = (0, 𝟎)$ で起きるということである。。

それには、この微小な変換を連続してつないでいけばよい。具体的には、まず、 $𝐾$ 系から見て $𝛿 𝒗$ で移動する系 $𝐾'$ への変換式は、式( $6$ )となるが、ここからさらに、 $𝐾'$ 系から見て同じく $𝛿 𝒗$ で移動する系 $𝐾 ″$ への変換は $[𝑡 ″ 𝒙 ″] ≐ Λ (𝛿 𝒗) [𝑡' 𝒙'] ≐ Λ (𝛿 𝒗) Λ (𝛿 𝒗) [𝑡 𝒙]$ となる。これを繰り返せば、大きな速度 $𝒗$ の場合のローレンツ変換を求めることができる。要は、微分方程式の形にできるということである。

微分方程式を立てることを考える。「 $𝐾$ 系から見て速度 $𝒗$ で動いている慣性系 $𝐾'$ 」への座標変換のヤコビ行列 $Λ (𝒗)$ が与えられている時、速度 $𝒗$ の大きさを（向きを保ったまま） $𝛿 𝑣$ だけ変化させると $Λ (𝛿 𝑣 \cdot ̂ 𝒗) Λ (𝒗) ≐ Λ (𝒗) + [0 - 𝑐 - 2 ̂ 𝒗 T - ̂ 𝒗 0] Λ (𝒗) \cdot 𝛿 𝑣$ $Λ (𝒗)$ を $𝑣$ で微分したものは、 $𝛿 𝑣$ の係数、即ち、緑字部分： $𝑑 Λ 𝑑 𝑣 = [0 - 𝑐 - 2 ̂ 𝒗 T - ̂ 𝒗 0] Λ \equiv 𝐴 Λ (7)$ となる。この微分方程式を、境界条件 $Λ (𝟎) = 1$ のもとで解けばよい。実際に計算すると、以下の【6.2-注1】のようになる。

【6.1-注1】ローレンツ変換：式( $8$ )

慣性系 $𝐾$ に対して、速度 $𝒗$ で移動している慣性系 $𝐾'$ への座標変換は $[𝑡' 𝒙'] = Λ (𝒗) [𝑡 𝒙] Λ (𝒗) \equiv [𝛾 - 𝑐 - 2 𝛾 𝒗 T - 𝛾 𝒗 (1 - ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T) + 𝛾 ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T] 𝛾 \equiv 1 \sqrt 1 - 𝑐 - 2 | 𝒗 | 2 (8)$ となる。この変換をローレンツ変換といい、 $𝛾$ をローレンツ因子という。 $𝒗$ が小さい場合には $𝛾 ≐ 1$ と近似できるので、ガリレイ変換で近似できるようになる。また、期待通り、 $Λ (- 𝒗) Λ (𝒗) = 1$ となっている。

導出

式( $7$ )を解けばよい。連続体力学編で述べた線形微分方程式の一般論に従って、 $𝐴$ の対角化を考える（以下の【6.1-注2】）。対角化を実行すると $𝐴 = 𝑃 - 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑐 - 1 - 𝑐 - 1 00 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑃 𝑃 - 1 \equiv [𝑐 - 1 𝑐 - 1 00 - ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 1 ⟂ ̂ 𝒗 2 ⟂], 𝑃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 12 𝑐 - 12 ̂ 𝒗 T 12 𝑐 12 ̂ 𝒗 T 0 ̂ 𝒗 T 1 ⟂ 0 ̂ 𝒗 T 2 ⟂ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦$ となる（ $̂ 𝒗, ̂ 𝒗 1 ⟂, ̂ 𝒗 2 ⟂$ は正規直交基底を成すようにとる）。よって、式( $13$ )により解が得られる： $Λ (𝒗) = 𝑃 - 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑒 𝑐 - 1 𝑣 𝑒 - 𝑐 - 1 𝑣 11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑃 Λ (𝟎) ⏟ 1 = [c o s h (𝑐 - 1 𝑣) - 𝑐 - 1 s i n h (𝑐 - 1 𝑣) ̂ 𝒗 T - 𝑐 s i n h (𝑐 - 1 𝑣) ̂ 𝒗 (1 - ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T) + c o s h (𝑐 - 1 𝑣) ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T] (9)$

しかし、まだである。これを使って $𝐾'$ 系の原点の速度 $𝒖$ を求めると $𝒖 = 𝑐 t a n h (𝑐 - 1 𝑣) ̂ 𝒗 (10)$ となり、 $𝒗$ とは一致しない。実際に知りたいのは、相対速度の時の変換式なので、式( $9$ )を、 $𝒖$ 用いたものに書き直し、 $𝒖$ を改めて $𝒗$ と書くことにすれば、式( $8$ )となる。 $◼$

ところで、 $𝒗$ と $𝒖$ の違いは何を意味するのだろうか。 $Λ (𝒗)$ について考え直してみると、 $Λ (𝒗)$ は、非常に大きな $𝑛$ について、 $𝛿 𝒗 = 𝒗 𝑛$ の無限小ローレンツ変換を $𝑛$ 回繰り返したときのローレンツ変換である。これが慣性系間の相対速度 $𝒖$ と一致しないということは、速度の加法性が成り立たないということである。このことは、式( $10$ )の大きさを取ることにより $| 𝒖 | < 𝑐 (11)$ という上限が得られることからも分かる（加法性が成り立てば $𝑐$ を超えるることができるはず）。次節の【6.2-注1】で、速度の合成則を示す。

【6.1-注2】線形微分方程式の解法

線形微分方程式 $𝑑 𝒙 𝑑 𝑡 = 𝐴 𝒙 (12)$ を解きたい（初期値を $𝒙 (0) = 𝒙 0$ とする）。 $𝐴$ は定数行列であるとする。もし、 $𝐴$ が対角化可能ならば、即ち $𝐴 = 𝑃 - 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜆 1 𝜆 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑃$ という形に変形できれば、求める解は、以下のようになる： $𝒙 (𝑡) = 𝑃 - 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑒 𝜆 1 𝑡 𝑒 𝜆 2 𝑡 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑃 𝒙 0 (13)$ $𝒙$ は行列でもよい。

導出

変数変換 $𝒙' = 𝑃 𝒙$ とおく。これを逆に解いた $𝒙 = 𝑃 - 1 𝒙'$ を式( $12$ )に代入すればよい：（独立な微分方程式に分離するので容易に解ける） $𝑑 𝒙' 𝑑 𝑡 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜆 1 𝜆 2 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 𝒙' ∴ 𝒙' = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑒 𝜆 1 𝑡 𝑒 𝜆 2 𝑡 ⋱ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝒙' 0$ これに $𝒙' = 𝑃 𝒙$ を代入して $𝒙$ の式に戻せば、式( $13$ )になる。

$◼$

このように、対角化を行うことにより、容易に扱うことができる対角行列の計算に落とし込める。対角化は、線形微分方程式に限らず、有用な手法である。対角化の方法については、固有値・固有ベクトルを求めるという一般的な方法が存在するが、数学的すぎるので割愛する。なお、対角化可能でなくても、ジョルダン標準形に対しても、式( $13$ )と同様の公式を求めることが可能である。

6.2光速を用いたローレンツ変換の検証

この節では、光速が慣性系によらないことが実験的に示されれば、ローレンツ変換( $8$ )のみが正しい変換となることを示す。

6.2.1ローレンツ変換は光速を変えない

ローレンツ変換( $8$ )は、時間と空間が入り混じった形となっている。これが本当に正しいのか、検証する必要がある。

式( $10$ )で述べた様に、ローレンツ変換が正しければ、系を連続的に加速していっても、光速 $𝑐$ に到達することはできない。あるいは、ローレンツ変換( $8$ )でも、 $| 𝒗 | = 𝑐$ のところで、ローレンツ因子 $𝛾$ が発散する。ということは、光速 $𝑐$ は、慣性系によらず同じ値になるのではないだろうか。

力学編の第4章で述べた相対性原理によれば、電気定数 $𝜖 0$ と磁気定数 $𝜇 0$ は慣性系によらないのだから、これらを用いて式( $3$ )で定義される量である $𝑐$ も、慣性系によらない。もっとも、 $𝑐$ は速度の次元を持ってはいるが、ある完成形でたまたま光速に一致しているだけで、物理的な速度とは無関係である可能性もある。従って、これだけでは何とも言えない。

本当に $𝑐$ が慣性系によらないかどうかは、速度の合成則を実際に計算してみればよい。速度の合成則は、以下の【6.2-注1】で与えられる。この式( $14$ )において、 $| 𝑽 | = 𝑐$ とすると、予想通り $| 𝑽' | = 𝑐$ となることが分かる。従って、確かに、 $𝑐$ は慣性系によらない。

以上により、ローレンツ変換が正しければ、光速が慣性系によらないという奇妙な性質が成り立つことになる。（日常的には速度の合成は単純な足し算になるはずである。）これは検証可能である。例えば、「昼と夜」や「夏と冬」というふうに、異なる相対速度を持つタイミングで光速を測定してみればよい。その結果、確かに光速が変化しないことが実証されている。

【6.2-注1】速度の合成則

ある系 $𝐾$ において速度 $𝑽$ の運動を、別の慣性系で観測したときの速度 $𝑽'$ は $𝑽' = 𝛾 - 1 𝑽 ⟂ + 𝑽 ∥ - 𝒗 1 - 𝑐 - 2 𝒗 T 𝑽 (14)$ である。ただし、 $𝒗$ は「 $𝐾$ 系から見た $𝐾'$ 系の速度」であり、 $𝑽 ∥$ と $𝑽 ⟂$ は「 $𝑽$ を $𝒗$ の平行・垂直成分にそれぞれ分解したもの」である。

導出

時空上のある点 $(𝑡, 𝒙)$ とそこから微小間隔 $(𝛿 𝑡, 𝛿 𝒙)$ だけ離れた点に移動することを考える。速度 $𝑽$ で移動するならば $𝛿 𝒙 ≐ 𝑽 𝛿 𝑡 (15)$ が成り立つ。 $(𝛿 𝑡, 𝛿 𝒙)$ を別の慣性系 $𝐾'$ から見たもの $(𝛿 𝑡', 𝛿 𝒙')$ を求め、式( $15$ )を $𝐾'$ 系での量に変換すれば、 $𝑽$ 'が求まる。式( $8$ )より、 $(𝛿 𝑡', 𝛿 𝒙')$ は $[𝛿 𝑡' 𝛿 𝒙'] = [𝛾 - 𝑐 - 2 𝛾 𝒗 T - 𝛾 𝒗 1 + (𝛾 - 1) ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T] [𝛿 𝑡 𝛿 𝒙] ∣ 𝛿 𝒙 に式 (15) を代入して 𝛿 𝑡 を括りだす = [𝛾 - 𝑐 - 2 𝛾 𝒗 T 𝑽 - 𝛾 𝒗 + [1 + (𝛾 - 1) ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T] 𝑽] 𝛿 𝑡$ となる。後は、 $𝛿 𝒙'$ を $𝛿 𝑡'$ で表せばよい： $𝛿 𝒙' ≐ - 𝛾 𝒗 + [1 + (𝛾 - 1) ̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T] 𝑽 𝛾 - 𝑐 - 2 𝛾 𝒗 T 𝑽 𝛿 𝑡'$ $𝛿 𝑡'$ の係数が、求める $𝑽'$ であり、式( $14$ )に一致する（ $̂ 𝒗 ̂ 𝒗 T 𝑽 = 𝑽 ∥$ に注意）。 $◼$

速度が光速 $𝑐$ より非常に小さい場合、即ち、 $| 𝒗 |, | 𝑽 | ≪ 𝑐$ の場合、式( $14$ )は、ガリレイ変換の場合の速度の合成則 $𝑽' = 𝑽 - 𝒗$ となる。速度が大きくなると、単純な足し算では書けなくなるのである。

6.2.2光速が不変ならばローレンツ変換以外にあり得ない

では逆に、光速を不変にするような変換はローレンツ変換以外にあるのだろうか。

まず、変換は線形としてよい。というのも、非線形な変換であれば、力を受けない物体が加速度を受けることになり、相対性原理に反するからである。また、時空の原点の取り方も任意であると考えられる。よって、ある定数行列 $Λ$ によって $[𝑡' 𝒙'] = Λ [𝑡 𝒙] (16)$ と変換することになる。

光速を不変に保つという条件を課すと、 $Λ$ は、以下を満たすことが分かる：（以下の【6.2-注2】の式( $19$ )） $Λ T 𝜂 Λ = 𝜂 (17)$ を満たすことになる。これは、回転行列 $𝑅$ が $𝑅 T 𝑅 = 1$ を満たすのと似た式である。さて、この条件を満たすような変換を考えるわけだが、回転行列の場合と同様に、無限小変換を考えればよい。任意の微小ベクトル $𝛿 𝜽, 𝛿 𝒗$ に対し $Λ = 1 + [0 - 𝑐 - 2 𝛿 𝒗 T - 𝛿 𝒗 𝛿 𝜽 \times] (18)$ は、式( $17$ )を1次近似の範囲で満たす。 $𝛿 𝒗$ は上述の無限小ローレンツ変換、 $𝛿 𝜽$ は無限小回転である（力学編の第10章）。ところで、式( $17$ )は、16本の方程式だが、自動的に対称行列になるので、実際には10本の条件を与えるだけである。従って、残りの6つの自由度が残る。式( $18$ )はその6つの自由度を持っている。

よって、式( $17$ )を満たすのは、ローレンツ変換と回転のみである（無限小変換で書けない座標反転がこれに加わる）。回転は、座標の軸の向きを変えるだけなので、光速が変わらないのは当然である。回転しても慣性系間の相対速度は変わらないので、今考えている座標変換ではない。よって結局、相対速度を生じさせるのは、ローレンツ変換( $8$ )だけである。即ち、光速が慣性系によらないことを実験で示されているので、座標変換はローレンツ変換( $8$ )意外にはあり得ないということである。（ローレンツ変換と回転・座標反転を組み合わせたものも相対速度を生じさせるが、特筆すべきものではない。）

なお、式( $17$ )を満たす変換をローレンツ変換と呼ぶ流儀もある。すると、式( $8$ )だけでなく、回転や反転（およびそれらを組み合わせたもの）もローレンツ変換ということになる。その場合、式( $8$ )のことは、ローレンツブーストという。しかし、当面はこの流儀は採用せず、ローレンツブーストのことをローレンツ変換と呼ぶことにする（そうすると向きの違うローレンツ変換の合成がローレンツ変換でなくなってしまうが）。

【6.2-注2】光速不変な変換はミンコフスキー計量を保つ

光速を不変に保つような座標変換( $16$ )は $Λ T 𝜂 Λ = 𝜂 𝜂 \equiv ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 - 𝑐 - 2 - 𝑐 - 2 - 𝑐 - 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (19)$ を満たす。 $𝜂$ をミンコフスキー計量という。

証明

各々の系 $𝐾, 𝐾'$ における物体速度をそれぞれ定数 $𝑽, 𝑽'$ とすれば $𝛿 𝒙 = 𝑽 𝛿 𝑡 𝛿 𝒙' = 𝑽' 𝛿 𝑡'} (20)$ が成り立つ。ここで、速度が光速であるという条件 $| 𝑽 | = | 𝑽' | = 𝑐 (21)$ は、以下のように書き換えられる： $𝛿 𝑡 2 - 𝑐 - 2 ∣ 𝛿 𝒙 2 ∣ 2 = 𝛿 𝑡' 2 - 𝑐 - 2 ∣ 𝛿 𝒙' 2 ∣ 2 = 0$ （式( $20$ )を代入すればすぐ分かる。）この式は、さらに $𝛿 𝗑 \equiv [𝛿 𝑡 𝛿 𝒙], 𝜂 \equiv [1 - 𝑐 - 2]$ という記号を導入すると $𝛿 𝗑 T 𝜂 𝛿 𝗑 = 𝛿 𝗑' T 𝜂 𝛿 𝗑' = 0$ となる。右側の等式に、ローレンツ変換 $𝛿 𝗑' = Λ 𝛿 𝗑$ を代入すると $𝛿 𝗑 T Λ T 𝜂 Λ 𝛿 𝗑 = 0$ これが、 $𝛿 𝗑 T 𝜂 𝛿 𝗑 = 0$ を満たす任意の $𝛿 𝗑$ に対して成り立つので、ある実数 $𝜆$ を用いて $Λ T 𝜂 Λ = 𝜆 𝜂$ と書けることが分かる。 $𝜆$ は単位の取り換えに対応する自由度である（例えば、 $1 s, 1 m$ の代わりに、 $10 s, 10 m$ を単位にしても $𝑐$ の値は変わらない）。1秒の定義をそろえれば、 $𝜆 = 1$ になる。 $◼$