矛盾の解消

ガリレイ変換の矛盾を解消したい

ガリレイ変換の矛盾を解消したい。前章の議論によると、慣性系 から別の慣性系 に移った時の電荷・電流密度 の変換則が、マクスウェル方程式を用いた場合 となり、世界線を用いた場合 となるのであった（ は 系から見た 系の速度）。これらは、同じものを表しているにもかかわらず、式の形が異なっている。これは解消しなければならない。ただし、2つの式の違いは、通常の実験では確認できないほど微小である（ および による）。

この章では、両者を整合させる変換であるローレンツ変換の導出とその検証について述べる： ローレンツ変換光速を用いたローレンツ変換の検証

6.1ローレンツ変換：式()

この節では、ローレンツ変換()を導く。

これ以降、式()の の平方根の逆数を で表すことにする： 非常に大きな値を持つ定数 は速度の次元を持ち、光速と呼ばれる。その名の通り、光の速さに等しいことが実験的に知られている（真空中の場合であり、空気中や水中などでは遅くなる）。

無限小ローレンツ変換

矛盾する変換式()と式()は、通常の実験の誤差範囲内ではともに正しい。しかし、ともに同じ慣性系での座標を表しているのだから、本来であれば、等しくなるはずである。従って、これらは近似的なものであると考えられる。実際、 を非常に大きくできれば、両者の違いが測定できるようになるだろう。では、厳密な変換式を得るにはどうすればよいだろうか。

もっとも単純なのは、両者に共通する項を残した だろう。（ は式()で述べた光速である。）

ただし、この式()は厳密なものではありえない。というのも、 の符号を反転させたものが逆行列になるはずだが、そうなっていないからである： 式()は単位行列ではないが、単位行列からのずれは の2次である。従って式()は、 の1次近似とみなすべきだろう。これを無限小ローレンツ変換という。

一般の速度でのローレンツ変換：式()

無限小ローレンツ変換()により、元の系 に対して十分小さな相対速度 で移動している慣性系 への座標変換は、以下のようになる： これを用いて、一般の相対速度で成り立つ厳密な式を求めたい。なお、ガリレイ変換の場合と同様に、時空の原点は、両方の慣性系で一致するようにとる。例えば、粒子の衝突が、 系において で起きたとしたら、その衝突を 系から見た場合にも で起きるということである。。

それには、この微小な変換を連続してつないでいけばよい。具体的には、まず、 系から見て で移動する系 への変換式は、式()となるが、ここからさらに、 系から見て同じく で移動する系 への変換は となる。これを繰り返せば、大きな速度 の場合のローレンツ変換を求めることができる。要は、微分方程式の形にできるということである。

微分方程式を立てることを考える。「 系から見て速度 で動いている慣性系 」への座標変換のヤコビ行列 が与えられている時、速度 の大きさを（向きを保ったまま） だけ変化させると を で微分したものは、 の係数、即ち、緑字部分： となる。この微分方程式を、境界条件 のもとで解けばよい。実際に計算すると、以下の【6.2-注1】のようになる。

6.2光速を用いたローレンツ変換の検証

この節では、光速が慣性系によらないことが実験的に示されれば、ローレンツ変換()のみが正しい変換となることを示す。

ローレンツ変換は光速を変えない

ローレンツ変換()は、時間と空間が入り混じった形となっている。これが本当に正しいのか、検証する必要がある。

式()で述べた様に、ローレンツ変換が正しければ、系を連続的に加速していっても、光速 に到達することはできない。あるいは、ローレンツ変換()でも、 のところで、ローレンツ因子 が発散する。ということは、光速 は、慣性系によらず同じ値になるのではないだろうか。

力学編の第4章で述べた相対性原理によれば、電気定数 と磁気定数 は慣性系によらないのだから、これらを用いて式()で定義される量である も、慣性系によらない。もっとも、 は速度の次元を持ってはいるが、ある完成形でたまたま光速に一致しているだけで、物理的な速度とは無関係である可能性もある。従って、これだけでは何とも言えない。

本当に が慣性系によらないかどうかは、速度の合成則を実際に計算してみればよい。速度の合成則は、以下の【6.2-注1】で与えられる。この式()において、 とすると、予想通り となることが分かる。従って、確かに、 は慣性系によらない。

以上により、ローレンツ変換が正しければ、光速が慣性系によらないという奇妙な性質が成り立つことになる。（日常的には速度の合成は単純な足し算になるはずである。）これは検証可能である。例えば、「昼と夜」や「夏と冬」というふうに、異なる相対速度を持つタイミングで光速を測定してみればよい。その結果、確かに光速が変化しないことが実証されている。

光速が不変ならばローレンツ変換以外にあり得ない

では逆に、光速を不変にするような変換はローレンツ変換以外にあるのだろうか。

まず、変換は線形としてよい。というのも、非線形な変換であれば、力を受けない物体が加速度を受けることになり、相対性原理に反するからである。また、時空の原点の取り方も任意であると考えられる。よって、ある定数行列 によって と変換することになる。

光速を不変に保つという条件を課すと、 は、以下を満たすことが分かる：（以下の【6.2-注2】の式()） を満たすことになる。これは、回転行列 が を満たすのと似た式である。さて、この条件を満たすような変換を考えるわけだが、回転行列の場合と同様に、無限小変換を考えればよい。任意の微小ベクトル に対し は、式()を1次近似の範囲で満たす。 は上述の無限小ローレンツ変換、 は無限小回転である（力学編の第10章）。ところで、式()は、16本の方程式だが、自動的に対称行列になるので、実際には10本の条件を与えるだけである。従って、残りの6つの自由度が残る。式()はその6つの自由度を持っている。

よって、式()を満たすのは、ローレンツ変換と回転のみである（無限小変換で書けない座標反転がこれに加わる）。回転は、座標の軸の向きを変えるだけなので、光速が変わらないのは当然である。回転しても慣性系間の相対速度は変わらないので、今考えている座標変換ではない。よって結局、相対速度を生じさせるのは、ローレンツ変換()だけである。即ち、光速が慣性系によらないことを実験で示されているので、座標変換はローレンツ変換()意外にはあり得ないということである。（ローレンツ変換と回転・座標反転を組み合わせたものも相対速度を生じさせるが、特筆すべきものではない。）

なお、式()を満たす変換をローレンツ変換と呼ぶ流儀もある。すると、式()だけでなく、回転や反転（およびそれらを組み合わせたもの）もローレンツ変換ということになる。その場合、式()のことは、ローレンツブーストという。しかし、当面はこの流儀は採用せず、ローレンツブーストのことをローレンツ変換と呼ぶことにする（そうすると向きの違うローレンツ変換の合成がローレンツ変換でなくなってしまうが）。