非斉次微分方程式の初期値問題の公式

非斉次方程式

非斉次（常微分）方程式とは、以下の方程式である：これは、前章で扱った斉次方程式に、時刻の関数を加えたものである。は、斉次方程式の解に擾乱を与えるものなので、ソース項という。例えばバネの振動であれば、バネに外から与える力がに含まれる。

非斉次方程式()の初期値問題の解の公式は、斉次方程式()の時間発展行列が分かれば得られる。この章では、これについて述べる。

6.1初期値問題の解の公式

非斉次方程式()の初期値問題の解は、斉次方程式()の時間発展行列から求めることができる。この節では、その公式()を示す。

デュアメルの原理

斉次方程式()の場合、時間発展行列が分かれば、初期値問題の解はとなるのであった。

斉次方程式の場合と同様に、を1次近似するととなる。ただし、最後の式では、以下のように定義している：（）

この記法を使って、まで計算してみると、以下のようになる：ここまで展開すると、規則性が見える。即ち、以下が成り立つと予想できる：この式をデュアメルの原理といい、実際、正しいことが示せる（以下の【6.1-注1】）。よって、前章の方法を使うなどして斉次方程式の時間発展行列（グリーン行列）を求めておけば、デュアメルの原理によって、非斉次方程式の初期値問題が解ける。

【6.1-注1】非斉次方程式の解の公式：デュアメルの原理

非斉次方程式()において、初期値が与えられたときの解は、斉次方程式()の時間発展行列を用いて、以下のように書ける（デュアメルの原理）：のことを、（非斉次方程式の初期値問題における）グリーン行列と呼ぶ。

係数行列が、時間に依存しない定数であれば、と書けるので、以下のようになる：

証明

式()において、とすれば、積分が消えるので、両辺が等しくなり、初期条件を満たすことが分かる。非斉次方程式()を満たすことは、式()を辺々微分すれば分かる： $左辺右辺$

後の章で扱うが、この議論は非斉次の偏微分方程式についても成り立つ。デュアメルの原理という用語はそちらを指すことが多い。上で述べた常微分方程式の場合の式()は、定数変化法と呼ばれることが多い。定数変化法と呼ぶのは、「斉次方程式の解において、定数を変数に置き換えたもの」を非斉次方程式()に代入してを求めるという手法による。実際に代入してみるととなり、積分定数は、初期条件よりなので、が式()の部分に確かに一致することが分かる。

6.2例題

例題として、放物運動と強制振動を扱う。

【例題】放物運動をデュアメルの原理で解く

放物運動の運動方程式を解くことを考える（あまり面白くない例だが感覚をつかむため）。これは、非斉次微分方程式である。実際、非斉次方程式()の形で書くととなる。はすでにジョルダン標準形（固有値が）になっているので、は容易に求まる：これらをデュアメルの原理()に代入すると、よく知られた初期値問題の解が得られる：

【例題】時間がたった後の強制振動：式()

強制振動とは、減衰振動の方程式に、時間に依存する外力を加えたものである：これを、非斉次方程式()の形で書けばとなるので、その解は、デュアメルの原理()により以下のようになる：（は前章の5.4節で既に求めている）

ここでは、として、周期的なものを考える：この時、時間が経った後でどのような状態に落ち着くかを知りたい。式()の右辺第1項はが含まれるため、を満たす時刻では無視してよい。また、第2項について、に効いてくるのは、の右上成分だけである。この成分は、前章の【5.4-注1】で与えた減衰振動の解において、の係数である：（後の計算を簡単にするため、場合分けをまとめて1つの式にしている。）。これを使うと、は、の時、以下のようになる： $分母の実数化分数部分の複素数を指数関数で表す。$ よって、角周波数で振動することが分かる。ただし、外力の振動に対してだけずれる。