弦の運動

連続体の加速度は、微小要素の運動方程式(1)から決まる

3次元空間中に置かれた弦の運動が知りたい。（両端が固定されて無くてもよいし、ゴム紐のようなものでもよい。）力学編では、剛体という「変形が無視できる物体」を考えたが、ここからはその条件を緩めて、変形する物体を扱う。変形するので、剛体の場合に成り立っていた「剛体の位置と向きだけで状態が決まる」という性質が使えなくなる。「弦の運動を知る」ことの意味するところは、「弦の各点にラベル 𝑥′ を割り当てた時、全てのラベル 𝑥′ に対して、点の空間位置 𝒙 の時間変化 𝒙𝑡,𝑥′ を知る」ということである。ただし、ラベル 𝑥′ は、弦の上に定義した座標系であり、弦の変形と連動する。例えば、最初に 𝑥′=0 の点に（色を付けるなどして）目印をつけておくと、変形した後であっても、目印の点のラベルは常に 𝑥′=0 のままである。

力学編で見たように、質点や剛体の運動を支配するのはニュートンの運動方程式（力学編第2章）である。弦の場合であっても、ニュートンの運動方程式と矛盾するような運動は起こりえない。ニュートンの運動方程式に従うと、弦上の長さ 𝛿⁢𝑙 の微小線要素（ 𝛿⁢𝑙 要素と呼ぶことにする）を仮想的に取ることにより、 𝛿⁢𝑙 要素の加速度 ¨𝒙 が、 𝛿⁢𝑙 要素にかかる力 𝛿⁢𝒇 から決まる： 𝛿⁢𝑚⁢¨𝒙≈𝛿⁢𝒇(1) 𝛿⁢𝑚 は、 𝛿⁢𝑙 要素の質量である。両辺を近似で結んでいるのは、 𝒙 を 𝛿⁢𝑙 要素上のどこにとるかに任意性があるのと、 𝛿⁢𝑙 要素自体が変形するためである。 𝛿⁢𝑙 を小さくしていった極限 𝛿⁢𝑙→0 で、式(1)は厳密な等式になる。もちろん、どのような極限の取り方をしても、同じ ¨𝒙 にならなければならない。

以上により、ニュートンの運動方程式(1)を求め、 𝛿⁢𝑙→0 の極限を取ることにより、弦上の各点における加速度 ¨𝒙𝑡,𝑥′ が求まる。加速度が与えられれば、質点や剛体の場合と同様に、初期位置 𝒙0,𝑥′ および初期速度 ˙𝒙0,𝑥′ の分布を与えることによって、その後の運動 ˙𝒙𝑡,𝑥′ が確定することになる。

もちろん、式(1)を特定するには、弦の物性パラメータ（＝伸びやすさなどの物質の性質を表すパラメータ）を与える必要がある。ここでは、弦に働く張力は、伸びに比例する（＝フックの法則が成り立つ）ようなものを考える。このように、変形と張力が1次関数の関係で表されるものを弾性体という。より一般的に、固体・液体・気体などの総称を連続体という。式(1)のように「微小要素に対する運動方程式から加速度を求める」という考え方は、一般の連続体に対して使えるはずである。まずは、一般的に考えることから始めよう。

1.11次元連続体の運動方程式

この節では、弦に限定せず、一般の1次元連続体（3次元空間中）を考える。

考えるべきことは、冒頭で述べた様に、ニュートンの運動方程式(1)から、微小線要素の 𝛿⁢𝑙 依存性を取り除くことである。そのためには、 𝛿⁢𝑙 の1次近似を考えて、式(1)から 𝛿⁢𝑙 を括り出せばよい。この節では、式(1)の各項から 𝛿⁢𝑙 を括り出すことにより、1次元連続体の運動方程式(9)を導く。

以降では、張力の代わりに、応力と呼ぶことにする。張力は、ひもや弦の場合に使用する用語だが、応力は、2次元や3次元の連続体の場合にも使う一般的な用語である。変形に応じて働く力ということである。

1.1.1微小線要素の質量 𝛿⁢𝑚 ：式(2)

まず、 𝛿⁢𝑚 からについて考える。 𝛿⁢𝑚 から 𝛿⁢𝑙 を括り出すと 𝛿⁢𝑚≐𝜌⋅𝛿⁢𝑙(2) となる。ただし、 𝜌 は、弦上の位置 𝒙𝑡,𝑥′ における線密度（＝単位長さあたりの質量）である。 𝜌 は、 (𝑡,𝑥′) の関数である： 𝜌𝑡,𝑥′ 。

1.1.2微小線要素に働く体積力：式(3)

次に、微小要素に働く力 𝛿⁢𝒇 である。 𝛿⁢𝒇 は、2つに分けられる： 𝛿⁢𝒇=𝛿⁢𝒇vol+𝛿⁢𝒇bound 𝛿⁢𝒇vol は、体積力、即ち、重力のように 𝛿⁢𝑙 要素全体にかかる力（体積力という）である。 𝛿⁢𝒇bound は、境界力、即ち、 𝛿⁢𝑙 要素の境界を通じて隣の要素から受ける応力の和（境界力という）である。（境界力という用語は一般的ではない。面積力と呼ぶのが一般的だが、これは境界が面になる3次元連続体の場合しか使えない。）

体積力 𝛿⁢𝒇vol は、重力の場合 𝛿⁢𝒇vol≐𝜌⁢𝛿⁢𝑙⏟𝛿⁢𝑚⋅𝒈≐𝜌⁢𝒈⏟≡˜𝒇vol⋅𝛿⁢𝑙 である。このように、自然に 𝛿⁢𝑙 が括り出せる。重力に限らず、体積力 𝒇vol から 𝛿⁢𝑙 を括り出したものを、 ˜𝒇vol と書くことにする（単位長さあたりに働く体積力）： 𝛿⁢𝒇vol≐˜𝒇vol⋅𝛿⁢𝑙(3)

1.1.3微小線要素に働く面積力：式(8)

さて、問題は、境界力 𝛿⁢𝒇bound である。 𝛿⁢𝑙 要素の両端に働く応力（張力）をそれぞれ 𝑻𝑥′,𝑻𝑥′+𝛿⁢𝑥′ とおくと、 𝛿⁢𝒇bound はそれらの和である： 𝛿⁢𝒇bound=𝑻𝑥′+𝑻𝑥′+𝛿⁢𝑥′(4) （ 𝑻 は時刻にも依存するが省略している。）連続体上の任意の点 𝑥′ に働く応力 𝑻𝑥′ が分かれば、 𝛿⁢𝒇bound が確定する。

しかし、このように単純に 𝑻𝑥′ と表記したままにするのはまずい。というのも、1点 𝑥′ には、両側から応力がかかるので、 𝑥′ を決めただけでは、どちらを取るべきか決まらないからである。これらを、ベクトル 𝒏 によって区別することにする： 𝑻𝑥′,𝒏 。連続体に接する単位ベクトルであり、 𝒏 の始点側が終点側から受ける応力が 𝑻𝑥′,𝒏 （ 𝒏 は線要素の外側を向く）となるように定義する。要するに、 𝒏 が 𝛿⁢𝑙 要素の外側を向く時に、 𝛿⁢𝑙 要素が受ける応力が 𝑻𝑥′,𝒏 となる。

作用・反作用の法則により、 𝒏 の向きを反転させると、応力は、大きさはそのままで向きが反転する： 𝑻𝑥′,−𝒏=−𝑻𝑥′,𝒏 これを使って、応力から向きを分離することができる： 𝑻𝑥′,𝒏=𝜎𝑥′⁢𝒏(5) 𝜎 を、応力テンソルという（以下の【1.1-注1】参照）。 𝜎 は行列ではなく1成分量である（ 𝑻 と 𝒏 は平行）。

応力テンソルの式(5)を式(4)に代入すれば 𝛿⁢𝑙 を括り出せるだろうか。そのためには、境界点での 𝒏 を与える必要がある。 𝒏 は、 𝛿⁢𝑙 要素の外側を向くので、以下のようになる： 𝒏=⎧{ { {⎨{ { {⎩−̂𝜕𝒙𝜕𝑥′,𝑻𝑥′,𝒏の場合−̂𝜕𝒙𝜕𝑥′,𝑻𝑥′+𝛿⁢𝑥′,𝒏の場合 （偏微分で書いているのは 𝒙 が 𝑡 にも依存するからである。）この 𝒏 を使うと、式(4)から 𝛿⁢𝑥′ を括り出せる： 𝛿⁢𝒇bound=𝑻𝑥′,𝒏+𝑻𝑥′+𝛿⁢𝑥′,𝒏=[−𝜎⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′]𝑥′+[𝜎⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′]𝑥′+𝛿⁢𝑥′≐𝜕𝜕𝑥′⁢(𝜎⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′)⋅𝛿⁢𝑥′(6)

後は、 𝛿⁢𝑥′ を 𝛿⁢𝑙 で表せばよい。 𝛿⁢𝑙 は、 𝛿⁢𝒙 の大きさなので： 𝛿⁢𝑙=√𝛿⁢𝒙T⁢𝛿⁢𝒙≐√𝜕𝒙𝜕𝑥′T⁢𝜕𝒙𝜕𝑥′⁢|𝛿⁢𝑥′|∵𝛿⁢𝒙≐𝜕𝒙𝜕𝑥′⁢𝛿⁢𝑥′=√𝑔⁢|𝛿⁢𝑥′|∵𝑔≡𝜕𝒙𝜕𝑥′T⁢𝜕𝒙𝜕𝑥′ （この計算は力学編14.1節の議論と同じであり、 𝑔 は計量である。） 𝛿⁢𝑥′>0 ととることにすると 𝛿⁢𝑥′≐1√𝑔⁢𝛿⁢𝑙(7) となる。よって最終的に、式(6)は以下のようになる： 𝛿⁢𝒇bound=1√𝑔⁢𝜕𝜕𝑥′⁢(𝜎⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′)⋅𝛿⁢𝑙(8)

1.1.41次元連続体の運動方程式（コーシーの運動方程式）：式(9)

以上を微小要素の運動方程式に代入した後、辺々 𝛿⁢𝑙 で割って 𝛿⁢𝑙→0 とすると、 𝛿⁢𝑙 によらない方程式が得られる。すると、3次元空間中の1次元連続体の運動方程式は、以下のようになる： 𝜌⁢¨𝒙=˜𝒇vol+1√𝑔⁢𝜕𝜕𝑥′⁢(𝜎⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′)(9) これを、コーシーの運動方程式という。全ての量は、 𝑡,𝑥′ の関数である。

コーシーの運動方程式により、加速度 ¨𝒙 が決まるので、力学編の場合と同様に、初期値 𝒙0,𝑥′,˙𝒙0,𝑥′ から、その後の 𝒙𝑡,𝑥′ が一意的に決まることになる。実際、時刻を 𝛿⁢𝑡 だけ進める漸化式は以下のようになる： [𝒙˙𝒙]𝑡+𝛿⁢𝑡,𝑥′≐[𝒙˙𝒙]𝑡,𝑥′+[˙𝒙¨𝒙]𝑡,𝑥′⁢𝛿⁢𝑡 これを用いて、全ての 𝑥′ に対して一斉に、 𝛿⁢𝑡 ずつ時刻を進めていけば、1次元連続体の運動が求まる。ただし、 𝑥′ についても離散化しておき、 𝛿⁢𝑡 を十分小さくとっておく。

1.21次元弾性体（弦）の運動方程式

この章の冒頭で述べた様に、考えているのは、弾性体とみなせる弦の運動である。この節では、弾性体でできた弦の応力テンソル 𝜎 を与える構成方程式(13)を導き、弦の運動方程式(14)を得る。

1.2.1連続体の性質は、応力テンソル 𝜎 に含まれる

コーシーの運動方程式(9)を確定させるには、応力テンソル 𝜎 が分かっていなければならない。 𝜎 は、物性や変形などに依存する何らかのパラメータ 𝒑 の関数となるはずである。 𝒑 から 𝜎 を与えるそのような方程式 𝜎=𝜎⁡(𝒑) を、構成方程式という。連続体の性質の違いは、全てこの構成方程式に反映され、式(9)自体は物質によらず共通となる。

1.2.2構成方程式：式(13)

弾性体の場合、応力の大きさ |𝑻|=|𝜎| は、伸び幅や縮み幅に比例する。釣り合いの状態にある微小線要素上において、応力テンソル 𝜎 の大きさ |𝜎| は要素上の全ての点で等しく、以下のようになる： |𝜎|=𝛿⁢𝑘⋅|𝛿⁢𝐿−𝛿⁢𝑙|⎧{ {⎨{ {⎩𝛿⁢𝑘=要素のバネ定数𝛿⁢𝐿=要素の自然長𝛿⁢𝑙=要素の長さ(10) （自然長とは伸び縮みしていないときの長さ。） |𝜎| が、要素上の全ての点で等しいことは次のように分かる：実際、適当な位置で要素を切断して、そのまま繋ぎ止めるには、どこで切断したとしても、 |𝜎| の力で引っ張る（または押す）必要がある。

次に、 |𝜎| を、要素の長さ 𝛿⁢𝑙 に依存しない形にしたい。そのために、バネ定数 𝛿⁢𝑘 は、要素の自然長 𝛿⁢𝐿 に反比例することに注目する： 𝛿⁢𝑘=𝐸⁢1𝛿⁢𝐿(11) 例えば、2つのバネをつないで長さを2倍にすると、同じ力で引っ張った時に2倍伸びるので、バネ定数は 12 になる。反比例定数 𝐸⁡(>0) を、弦の（線）ヤング率という。硬い弦であれば 𝐸 は大きくなり、柔らかい弦であれば小さくなる。

ヤング率 𝐸 を使うと、式(10)は |𝜎|=𝛿⁢𝑘⁢|𝛿⁢𝑙−𝛿⁢𝐿|=𝐸⁢|𝛼−1|𝛼≡𝛿⁢𝑙𝛿⁢𝐿(12) 𝛼 は、自然長からの弦の体積倍率である（弦の長さが自然長の 𝛼 倍になる）。（この式を、ヤング率 𝐸 の定義とするのが一般的。）

以上で |𝜎| が分かったので、後は、 𝜎 の符号が分かればよい。伸びている時に 𝜎>0 となり、縮んでいる時に 𝜎<0 となればよいので、以下を得る： 𝜎=𝐸⁢(𝛼−1)(13) これが、弦の構成方程式である。弦の伸びを表す 𝛼 と、弦の物性を表すヤング率 𝐸 に、うまく分離されている。

1.2.31次元弾性体の運動方程式：式(14)

後は、運動方程式(9)に構成方程式(13)を代入すればよい： 𝜌⁢¨𝒙=˜𝒇vol+1√𝑔⁢𝜕𝜕𝑥′⁢[𝐸⁢(𝛼−1)⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′](14) ヤング率 𝐸 は時間に依存しない（ただし、温度が時間変化するなどの理由で物性が変化する場合を除く）。

1.2.4【例】張った弦の運動方程式：式(16)

このままだと一般的すぎるので、例として、ぴんと張った弦の振動を考えよう。外力として重力が働いているとする。釣り合いの状態で、ラベル 𝑥′ を弦の弧長になるように定義する（例えば弦が 𝑥 軸と平行となるようにおいて、 𝑥′ として 𝑥 軸の目盛りをそのまま使う）。弦のヤング率 𝐸 は、時間にも位置にもよらない定数である： 𝐸=const. 。

この設定の下で、式(14)の各項についてみていこう。まず、左辺の線密度 𝜌 は、釣り合い状態での線密度 𝜌′ (=const.) を用いて 𝜌=1√𝑔⁢𝜌′ となる。次に、式(14)右辺の第1項の体積力密度 ˜𝒇vol は、重力を考えているので、 𝒈 を重力加速度として ˜𝒇vol=𝜌⁢𝒈 同第2項については、まず、 𝐸 は定数である。弦の体積体積 𝛼 は、釣り合い状態での弦の体積倍率 𝛼′ (=const.) を用いて以下のようになる： 𝛼=√𝑔⁢𝛼′=∣𝜕𝒙𝜕𝑥′∣⁢𝛼′

これらを式(14)に代入すると、以下のようになる： 𝜌′√𝑔⁢¨𝒙=𝜌′√𝑔⁢𝒈+1√𝑔⁢𝜕𝜕𝑥′⁢[𝐸⁢(√𝑔⁢𝛼′−1)⁢̂𝜕𝒙𝜕𝑥′](15) 微分を実行すると、 𝐸,𝛼′ が定数であることを用いて、目的の式が得られる（以下の【1.2-注1】の式(16)）。

式(16)を見ると、境界力（右辺第2項）は釣り合い状態での体積倍率 𝛼′ に比例するので、より強く張った弦（＝より伸ばした弦）には、（同じ変形に対して）より大きな加速度が発生する。よって、十分軽く十分伸ばした弦であれば、重力の影響は無視できるようになる。また、伸びていない点（ 𝛼=1 ）では、境界力は垂直方向成分を持たなくなることが分かる。