弦の運動

連続体の加速度は、微小要素の運動方程式()から決まる

3次元空間中に置かれた弦の運動が知りたい。（両端が固定されて無くてもよいし、ゴム紐のようなものでもよい。）力学編では、剛体という「変形が無視できる物体」を考えたが、ここからはその条件を緩めて、変形する物体を扱う。変形するので、剛体の場合に成り立っていた「剛体の位置と向きだけで状態が決まる」という性質が使えなくなる。「弦の運動を知る」ことの意味するところは、「弦の各点にラベル を割り当てた時、全てのラベル に対して、点の空間位置 の時間変化 を知る」ということである。ただし、ラベル は、弦の上に定義した座標系であり、弦の変形と連動する。例えば、最初に の点に（色を付けるなどして）目印をつけておくと、変形した後であっても、目印の点のラベルは常に のままである。

力学編で見たように、質点や剛体の運動を支配するのはニュートンの運動方程式（力学編第2章）である。弦の場合であっても、ニュートンの運動方程式と矛盾するような運動は起こりえない。ニュートンの運動方程式に従うと、弦上の長さ の微小線要素（ 要素と呼ぶことにする）を仮想的に取ることにより、 要素の加速度 が、 要素にかかる力 から決まる： は、 要素の質量である。両辺を近似で結んでいるのは、 を 要素上のどこにとるかに任意性があるのと、 要素自体が変形するためである。 を小さくしていった極限 で、式()は厳密な等式になる。もちろん、どのような極限の取り方をしても、同じ にならなければならない。

以上により、ニュートンの運動方程式()を求め、 の極限を取ることにより、弦上の各点における加速度 が求まる。加速度が与えられれば、質点や剛体の場合と同様に、初期位置 および初期速度 の分布を与えることによって、その後の運動 が確定することになる。

もちろん、式()を特定するには、弦の物性パラメータ（＝伸びやすさなどの物質の性質を表すパラメータ）を与える必要がある。ここでは、弦に働く張力は、伸びに比例する（＝フックの法則が成り立つ）ようなものを考える。このように、変形と張力が1次関数の関係で表されるものを弾性体という。より一般的に、固体・液体・気体などの総称を連続体という。式()のように「微小要素に対する運動方程式から加速度を求める」という考え方は、一般の連続体に対して使えるはずである。まずは、一般的に考えることから始めよう。

1.11次元連続体の運動方程式

この節では、弦に限定せず、一般の1次元連続体（3次元空間中）を考える。

考えるべきことは、冒頭で述べた様に、ニュートンの運動方程式()から、微小線要素の 依存性を取り除くことである。そのためには、 の1次近似を考えて、式()から を括り出せばよい。この節では、式()の各項から を括り出すことにより、1次元連続体の運動方程式()を導く。

以降では、張力の代わりに、応力と呼ぶことにする。張力は、ひもや弦の場合に使用する用語だが、応力は、2次元や3次元の連続体の場合にも使う一般的な用語である。変形に応じて働く力ということである。

微小線要素の質量 ：式()

まず、 からについて考える。 から を括り出すと となる。ただし、 は、弦上の位置 における線密度（＝単位長さあたりの質量）である。 は、 の関数である： 。

微小線要素に働く体積力：式()

次に、微小要素に働く力 である。 は、2つに分けられる： は、体積力、即ち、重力のように 要素全体にかかる力（体積力という）である。 は、境界力、即ち、 要素の境界を通じて隣の要素から受ける応力の和（境界力という）である。（境界力という用語は一般的ではない。面積力と呼ぶのが一般的だが、これは境界が面になる3次元連続体の場合しか使えない。）

体積力 は、重力の場合 である。このように、自然に が括り出せる。重力に限らず、体積力 から を括り出したものを、 と書くことにする（単位長さあたりに働く体積力）：

微小線要素に働く面積力：式()

さて、問題は、境界力 である。 要素の両端に働く応力（張力）をそれぞれ とおくと、 はそれらの和である： （ は時刻にも依存するが省略している。）連続体上の任意の点 に働く応力 が分かれば、 が確定する。

しかし、このように単純に と表記したままにするのはまずい。というのも、1点 には、両側から応力がかかるので、 を決めただけでは、どちらを取るべきか決まらないからである。これらを、ベクトル によって区別することにする： 。連続体に接する単位ベクトルであり、 の始点側が終点側から受ける応力が （ は線要素の外側を向く）となるように定義する。要するに、 が 要素の外側を向く時に、 要素が受ける応力が となる。

作用・反作用の法則により、 の向きを反転させると、応力は、大きさはそのままで向きが反転する： これを使って、応力から向きを分離することができる： を、応力テンソルという（以下の【1.1-注1】参照）。 は行列ではなく1成分量である（ と は平行）。

応力テンソルの式()を式()に代入すれば を括り出せるだろうか。そのためには、境界点での を与える必要がある。 は、 要素の外側を向くので、以下のようになる： の場合の場合 （偏微分で書いているのは が にも依存するからである。）この を使うと、式()から を括り出せる：

後は、 を で表せばよい。 は、 の大きさなので： （この計算は力学編14.1節の議論と同じであり、 は計量である。） ととることにすると となる。よって最終的に、式()は以下のようになる：

1次元連続体の運動方程式（コーシーの運動方程式）：式()

以上を微小要素の運動方程式に代入した後、辺々 で割って とすると、 によらない方程式が得られる。すると、3次元空間中の1次元連続体の運動方程式は、以下のようになる： これを、コーシーの運動方程式という。全ての量は、 の関数である。

コーシーの運動方程式により、加速度 が決まるので、力学編の場合と同様に、初期値 から、その後の が一意的に決まることになる。実際、時刻を だけ進める漸化式は以下のようになる： これを用いて、全ての に対して一斉に、 ずつ時刻を進めていけば、1次元連続体の運動が求まる。ただし、 についても離散化しておき、 を十分小さくとっておく。

1.21次元弾性体（弦）の運動方程式

この章の冒頭で述べた様に、考えているのは、弾性体とみなせる弦の運動である。この節では、弾性体でできた弦の応力テンソル を与える構成方程式()を導き、弦の運動方程式()を得る。

連続体の性質は、応力テンソル に含まれる

コーシーの運動方程式()を確定させるには、応力テンソル が分かっていなければならない。 は、物性や変形などに依存する何らかのパラメータ の関数となるはずである。 から を与えるそのような方程式 を、構成方程式という。連続体の性質の違いは、全てこの構成方程式に反映され、式()自体は物質によらず共通となる。

構成方程式：式()

弾性体の場合、応力の大きさ は、伸び幅や縮み幅に比例する。釣り合いの状態にある微小線要素上において、応力テンソル の大きさ は要素上の全ての点で等しく、以下のようになる： 要素のバネ定数要素の自然長要素の長さ （自然長とは伸び縮みしていないときの長さ。） が、要素上の全ての点で等しいことは次のように分かる：実際、適当な位置で要素を切断して、そのまま繋ぎ止めるには、どこで切断したとしても、 の力で引っ張る（または押す）必要がある。

次に、 を、要素の長さ に依存しない形にしたい。そのために、バネ定数 は、要素の自然長 に反比例することに注目する： 例えば、2つのバネをつないで長さを2倍にすると、同じ力で引っ張った時に2倍伸びるので、バネ定数は になる。反比例定数 を、弦の（線）ヤング率という。硬い弦であれば は大きくなり、柔らかい弦であれば小さくなる。

ヤング率 を使うと、式()は は、自然長からの弦の体積倍率である（弦の長さが自然長の 倍になる）。（この式を、ヤング率 の定義とするのが一般的。）

以上で が分かったので、後は、 の符号が分かればよい。伸びている時に となり、縮んでいる時に となればよいので、以下を得る： これが、弦の構成方程式である。弦の伸びを表す と、弦の物性を表すヤング率 に、うまく分離されている。

1次元弾性体の運動方程式：式()

後は、運動方程式()に構成方程式()を代入すればよい： ヤング率 は時間に依存しない（ただし、温度が時間変化するなどの理由で物性が変化する場合を除く）。

【例】張った弦の運動方程式：式()

このままだと一般的すぎるので、例として、ぴんと張った弦の振動を考えよう。外力として重力が働いているとする。釣り合いの状態で、ラベル を弦の弧長になるように定義する（例えば弦が 軸と平行となるようにおいて、 として 軸の目盛りをそのまま使う）。弦のヤング率 は、時間にも位置にもよらない定数である： 。

この設定の下で、式()の各項についてみていこう。まず、左辺の線密度 は、釣り合い状態での線密度 を用いて となる。次に、式()右辺の第1項の体積力密度 は、重力を考えているので、 を重力加速度として 同第2項については、まず、 は定数である。弦の体積体積 は、釣り合い状態での弦の体積倍率 を用いて以下のようになる：

これらを式()に代入すると、以下のようになる： 微分を実行すると、 が定数であることを用いて、目的の式が得られる（以下の【1.2-注1】の式()）。

式()を見ると、境界力（右辺第2項）は釣り合い状態での体積倍率 に比例するので、より強く張った弦（＝より伸ばした弦）には、（同じ変形に対して）より大きな加速度が発生する。よって、十分軽く十分伸ばした弦であれば、重力の影響は無視できるようになる。また、伸びていない点（ ）では、境界力は垂直方向成分を持たなくなることが分かる。