膜の運動

膜の場合も、微小要素に分割すればよい

弾性的な膜の運動が知りたい。前章までで1次元と3次元の弾性体を考えたので、最後に2次元の弾性体を考える。膜上にパラメータ 𝒙′=(𝑥′1,𝑥′2) を入れた時、 𝒙′ に対応する点の位置 𝒙𝒙′ の時間変化 𝒙𝑡,𝒙′ を求めることが目的となる。

これまでと同様に、膜を微小な面積 𝛿𝑠 を持つ面要素（ 𝛿𝑠 要素）に仮想的に分割する。 𝛿𝑠 要素に対する、ニュートンの運動方程式： 𝛿𝑚¨𝒙≈𝛿𝒇vol+𝛿𝒇bound(1) を決めれば、微小要素の加速度 ¨𝒙 が決まる。後は、この式から面要素の面積 𝛿𝑠′ を括り出して、 𝛿𝑠′→0 の極限を取れば、厳密な ¨𝒙 が得られる。

3.12次元連続体の運動方程式

ニュートンの運動方程式(1)の各項から、微小面要素の面積 𝛿𝑠 を括り出していく。

3.1.1質量と体積力

質量と体積力については、これまでと同じである。 𝛿𝑠 要素の質量 𝛿𝑚 は、面密度 𝜌 を用いて 𝛿𝑚≐𝜌⋅𝛿𝑠 となる。体積力 𝛿𝒇vol については、 𝛿𝑠 を括り出したときの残りを 𝛿˜𝒇vol とおく： 𝛿𝒇vol≐𝛿˜𝒇vol⋅𝛿𝑠 例えば、重力の場合、以下のようにのように 𝛿𝑠 を括り出せる： 𝛿𝒇vol=𝛿𝑚𝒈≐𝜌𝒈⏟≡𝛿˜𝒇vol⋅𝛿𝑠

3.1.2境界力は式(2)→ 𝛿𝑠 を括り出したい

問題は、境界力 𝛿𝒇bound である。2次元の場合は、境界が点ではなく線になるので、その境界全体から受ける応力を考える必要がある。境界力 𝛿𝒇bound を求めるためには、境界線をさらに微小線要素 𝛿𝑙 に分けて、各線要素からの寄与を足し合わせることになる。要するに、単位長さの線要素に働く応力 𝑻𝒙′,𝒏 を境界線上で区分求積法で積分したものが 𝛿𝒇bound となるわけである： 𝛿𝒇bound=∫𝒙∈𝜕𝛿𝑠𝑻𝒙′,𝒏(2) 2次元連続体の場合、応力は、線要素 𝛿𝑙 の単位長さあたりで定義するので、線要素に働く力は、1次近似の範囲で 𝛿𝑙𝑻 となる。

応力 𝑻 は、 𝒙′ の関数であるが、それだけではなく、考えている境界上の線要素の向きを表す単位ベクトル 𝒏 の関数でもある： 𝑻𝒙′,𝒏 （時間にも依存するが今は必要ないので省略する）。 𝒏 は、 𝛿𝑠 要素の外側を向くようにとる。即ち、 𝒏 の始点側が終点側から受ける応力が 𝑻𝒏 となる。

さて、それでは式(2)から 𝛿𝑠′ を括り出すにはどうすればよいだろうか。

3.1.3境界の長さ 𝛿𝑙 に比例する項が存在してはならない

面積に比例する量 𝛿𝑠 が括り出せるためには、境界力 𝛿𝒇bound は面要素の境界の長さ 𝛿𝑙 に比例するような項を持っていてはまずい。（これは、前章の立体の場合と同じ議論である。）実際、面要素のサイズを 12 倍にすると、 𝛿𝑙 は 12 倍になるが、 𝛿𝑠 は 14 倍になる。よって、 𝛿𝑠→0 の極限で、 𝛿𝑙 のほうが大きくなってしまう。すると、運動方程式(1)を 𝛿𝑠 で割ってから 𝛿𝑠→0 とすると、加速度が発散してしまう。

しかし、式(2)は境界線上での積分なので、典型的には、境界線の長さ 𝛿𝑙 に比例する。即ち、 𝛿𝑙 に比例するような項がなくなるように、応力 𝑻 に対して何らかの条件を加えなければならない。明らかな条件は、作用・反作用の法則 𝑻𝒙′,−𝒏=−𝑻𝒙′,𝒏 であるが、これだけでは足りない。

そこで実際に、どのような条件が必要か見るために、式(2)から、 𝛿𝑙 に比例する項を括り出そう。式(2)において、積分経路の長さがすでに 𝛿𝑙 のオーダーなので、 𝑻𝒙′,𝒏 は、 𝒙′ に依存しないとしてよい（面要素上の点 𝒙0 からの差 𝛿𝒙=𝒙−𝒙0 についての1次近似を考えると 𝛿𝒙 自体が 𝛿𝑙 のオーダーなので1次の項は消える）。これを、 𝑻𝒏 と書く。よって式(2)は 𝛿𝒇bound=∫𝒙∈𝜕𝛿𝑠′𝑻𝒏+𝑂(𝛿𝑠) となる。 𝑂(𝛿𝑠) は、この項が 𝛿𝑠 のオーダーであることを示す。右辺第1項の積分経路は、わずかに湾曲しているわけだが、 𝛿𝑙 のオーダーで見れば平面上にあるとみなしてもよい。 𝑻𝒏 もこの平面上に乗ると近似してよい。

3.1.4応力は応力テンソル 𝜎 で書ける：式(5)

これ成り立つためには、応力はどのような条件を満たすべきだろうか。立体の場合と同じような形なので、テンソルで書けそることが予想される。まず、最も簡単な形状として、 𝛿𝑠 が（1次近似の範囲で）三角形である場合を考える。すると、3つの辺を 1,2,3 として 𝒇0𝜕≐𝛿𝑙1𝑻𝒏1+𝛿𝑙2𝑻𝒏2+𝛿𝑙3𝑻𝒏3≐𝟎 この式の右側の式は、 𝑻𝒏𝑖 を 𝒏𝑖 に置き換えても成り立つ（ 𝒏𝑖 を 90∘ 回転すると各項が三角形の辺に一致することから分かる）。これを 𝑻𝒏3≐|⋯| の形にすると 𝑻𝒏3≐[𝑻𝒏1𝑻𝒏2]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−𝛿𝑙1𝛿𝑙3−𝛿𝑙2𝛿𝑙3⎤⎥ ⎥ ⎥⎦𝒏3≐[𝒏1𝒏2]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−𝛿𝑙1𝛿𝑙3−𝛿𝑙2𝛿𝑙3⎤⎥ ⎥ ⎥⎦(3)(4) ところで、 𝒏1,𝒏2 は1次独立なので、応力はその1次結合で書ける（微小面要素は平面で近似できる）： [𝑻𝒏1𝑻𝒏2]≐𝜎[𝒏1𝒏2] これを式(3)に代入した後、式(4)を使うと 𝑻𝒏3=𝜎𝒏3 となる。

三角形の取り方を変えても 𝜎 は変わらないので、 𝜎 さえ分かれば、任意の方向 𝒏 に対する応力 𝑻 が決まることになる： 𝑻𝒏=𝜎𝒏(5) これは前章の場合と同じ形になっている。今回も、 𝜎 は応力テンソルである。ただし、上式は、 𝒏 が連続体の接平面上にある時のみ意味を持つ。

3.1.52次元連続体のコーシーの運動方程式：式(6)

応力テンソル 𝜎 を用いて、応力を式(5)で表すと、境界力(2)は以下のようになる：（ 𝛿𝒙′≡𝒙′−𝒙 ） 𝛿𝒇bound=∫𝒙∈𝜕𝛿𝑠𝜎𝒏 きれいな形になっているが、ここから、 𝛿𝑠 を括り出せるだろうか。（もし括り出せなければ、さらに条件を加える必要がある。）幸い、これは可能である。これは単純に数学的な問題であり、曲面上における微分積分学の基本定理【3.1-注1】を用いて、以下のようになる： 𝛿𝒇bound≐(𝜎√|𝑔′|𝜕𝒙𝜕𝒙′𝑔′−1)←∇′𝛿𝑠

以上により、運動方程式(1)において、 𝛿𝑠→0 の極限を取ると、以下のコーシーの運動方程式が得られる： 𝜌¨𝒙=˜𝒇vol+(𝜎√|𝑔′|𝜕𝒙𝜕𝒙′𝑔′−1)←∇′(6) なお、任意の1点において、 𝑔′=1 かつ 𝑔′ の微分がゼロになるような座標系は常に存在する（その1点以外では一般には成り立たない）。これを使うと、境界力は、弦の場合と同じ形になる。

3.2弾性膜の構成方程式

2次元の弾性膜の運動方程式を求める。前章と同様に、弾性体の性質を表すパラメータから、応力テンソル 𝜎 を求めるための構成方程式を求めればよい。そうすれば、2次元連続体のコーシーの運動方程式(6)に代入することにより、運動方程式が確定する。

立体の場合と同様に、ミクロな回転は無視できるとする。

3.2.1構成方程式

弾性膜の変形を、ひずみと回転に分離する。回転していない状態では 𝑥-𝑦 平面上にあるとする。その状態でひずみ ――𝜖 を与えてから回転 𝑅 を作用させる。すると、平面上での応力テンソルを ¯𝜎 （ 2×2 行列）として 𝜎=𝑅[¯𝜎000]𝑅T となる。よって、 𝑥-𝑦 平面上に置かれたときの応力テンソル ¯𝜎 が分かればよい。これは対称行列なので、独立なのは3成分だけである。

弾性体の場合は、立体の場合と同様に弾性テンソル ――𝐶 を用いて ¯𝜎∘∘=――𝐶∘∘∙∙――𝜖∙∙ 𝐶 独立な成分は、 3×3=9 である。

3.2.2【例】等方的な弾性膜の構成方程式：式(7)

等方的な場合の弾性テンソル ――𝐶∘∘𝑖𝑗 を考える。これは、立体の場合と同じである。即ち、ラメ定数 𝜆,𝜇 を用いて以下のようになる： ――𝐶∘∘𝑖𝑗=𝜆𝛿∘∘𝛿𝑖𝑗+2𝜇𝛿∘𝑖𝛿𝑗∘(7)