冷房・暖房の最大効率 - 物理学の見つけ方

エアコンのエネルギー効率を最も高くする方法が知りたい。

ヒートポンプの効率には上限がありそう

ヒートポンプの最大効率を求めたい。ヒートポンプとは、右図のように、低温側から熱エネルギー $𝑄 L$ を奪い、高温側に熱エネルギー $𝑄 H$ を加える装置である。低温側はより低温になり、高温側はより高温になる。典型的な利用例はエアコンである（低温側にいる人から見れば冷房、高温側だと暖房）。外部から与えるエネルギー $𝑊$ をなるべく少なくしつつ、汲み上げる熱エネルギー $𝑄 L, 𝑄 H$ を大きくしたいわけである。エネルギー保存則より $𝑄 H = 𝑄 L + 𝑊 (1)$ が成り立つ。（添え字HはHigh、LはLowの意味。）

ヒートポンプの原理

ヒートポンプの原理は、小さな容器 $𝐴$ （作業容器という）を用いて行う次の操作の繰り返しである： $低温側に作業容器 𝐴 を接触させる。 \to 𝐴 を膨張させ低温側から熱を奪う。 \to 高温側に 𝐴 を接触させる。 \to 𝐴 を圧縮し高温側に熱を渡す。 \to (一番上に戻る)$ ヒートポンプを継続的に動かすためには、何らかのサイクル構造を持つ必要がある。即ち、1サイクルごとに作業容器は元の状態に戻る。

可逆な場合に最大効率になりそう

効率が最高なのは、外部からエネルギーを与えずに温度を変えられること、即ち、 $𝑊 = 0$ であるが、これは実現できない。なぜなら、その過程は、不可逆過程である「熱接触によって温度が等しくなっていく過程」の逆過程だからである。逆に、効率が最悪なのは、低温側が存在しない場合、即ち、 $𝑊 = 𝑄 H$ である（これはただのヒーターであってもはやヒートポンプではない）。これは容易に実現できる。例えば、エネルギー $𝑊$ を全て摩擦熱や電気仕事として高温側に与えればよい。これらの過程は不可逆過程である。このように、「理想的な効率」は可逆性により禁止され、「最悪な効率」は不可逆過程で実現できる。どうやらヒートポンプの効率は可逆性と関係していそうである。実現可能な最大効率は、おそらく可逆な場合だろう。この章では、これを実際に示す：9.1ヒートポンプの最大効率9.2参考熱を全て動力に変えることはできない

9.1ヒートポンプの最大効率

この節では、ヒートポンプの最大効率を与える不等式( $6$ )および( $7$ )を示す。エントロピーを考えて不等式を立てればよい。

9.1.1ヒートポンプによるエントロピーの変化：式( $5$ )

ヒートポンプによってやり取りされる熱エネルギー $𝑄 L, 𝑄 H$ に対する不等式を立てよう。

エントロピーに対する不等式( $2$ )

ヒートポンプを含む系は、低温部・高温部という2つの容器から構成される。よって、全エントロピー $𝑆$ はそれぞれの容器のエントロピー $𝑆 L, 𝑆 H$ の和となる。その微小変化は、 $𝛿 𝑆 = 𝛿 𝑆 L + 𝛿 𝑆 H$ である。孤立系のエントロピーは減少させることができないことから、以下の不等式が得られる： $0 \leq 𝛿 𝑆 = 𝛿 𝑆 L + 𝛿 𝑆 H (2)$ 等式が成り立つのは、可逆な場合である。以下では、 $𝛿 𝑆$ はヒートポンプの1サイクルでのエントロピーの変化とし、 $𝛿 𝑆 L, 𝛿 𝑆 H$ をまとめて $𝛿 𝑆 𝑖$ （ $𝑖 \in {L, H}$ ）と表すことにする。ヒートポンプ装置自体もエントロピーを持つ（作業容器を持つため）。しかし、1サイクル後には元に戻っているので、エントロピー変化を考える上では無視してよい。

$𝛿 𝑆 𝑖$ と $𝛿 𝑄 𝑖$ の関係式を求める

式( $2$ )を、熱エネルギー $𝑄 L, 𝑄 H$ に対する不等式にしたい。そのためには、 $𝛿 𝑆 𝑖$ と $𝑄 𝑖$ の関係式があればよい。エントロピーの微小変化 $𝛿 𝑆 𝑖$ は、エントロピーの定義式（5.1節）を用いて $𝛿 𝑆 𝑖 ≐ 1 𝑇 𝑖 (𝛿 𝑈 𝑖 + 𝑃 𝑖 𝛿 𝑉 𝑖) ∣ 体積は変化しないので 𝛿 𝑉 𝑖 = 0 = 1 𝑇 𝑖 𝛿 𝐸 𝑖 (3)$ となる。以下、ヒートポンプの1サイクルでの熱の移動は、 $𝑇 𝑖$ が変化しない程度に小さいとする。そうすれば上式が良い精度で成り立つ。 $𝛿 𝑈 𝑖$ は各容器のエネルギーの変化なので、章の冒頭の $𝛿 𝑄 L, 𝛿 𝑄 H$ （微小量なので $𝛿$ を付けた）を使って表すことができる： $𝛿 𝑈 L = - 𝛿 𝑄 L 𝛿 𝑈 H = 𝛿 𝑄 H} (4)$

$𝛿 𝑄 𝑖$ に対する不等式( $5$ )

以上により、 $𝛿 𝑄 L, 𝛿 𝑄 H$ に対する不等式を得るには、式( $2$ )に、式( $3$ ), ( $4$ )を代入すればよい： $𝛿 𝑄 L 𝑇 L \leq 𝛿 𝑄 H 𝑇 H (5)$ $𝛿 𝑄 L$ は低温部から奪った熱エネルギー、 $𝛿 𝑄 H$ は高温部に与えた熱エネルギーである。等式は、可逆な場合に成り立つ。

9.1.2ヒートポンプ（暖房）の効率：式( $6$ )

それでは式( $5$ )を使って、ヒートポンプの最大効率を考えよう。まず暖房の場合である。

$𝛿 𝑊$ と $𝛿 𝑄 H$ の不等式を求める

外部から与えたエネルギー $𝛿 𝑊$ に対して、どれだけの熱エネルギー $𝛿 𝑄 H$ を高温側に加えられるかが知りたい。即ち、式( $5$ )を、 $𝛿 𝑊$ と $𝛿 𝑄 H$ の式にしたい。そのためには、エネルギーの関係式( $1$ )： $𝛿 𝑄 L = 𝛿 𝑄 H - 𝛿 𝑊$ を、式( $5$ )に代入して $𝛿 𝑄 L$ を消去すればよい： $𝛿 𝑄 H \leq 𝑇 H 𝑇 H - 𝑇 L 𝛿 𝑊 (6)$ 効率が最大になるのは、等式が成り立つ場合であり、可逆な場合に成り立つ。最大成績係数最大効率に対応する赤字部分を最大成績係数という。最大成績係数は、常に1より大きい。よって、任意の温度で、費やしたエネルギー $𝛿 𝑊$ よりも多くの熱エネルギー $𝛿 𝑄 H$ を汲み上げることができる。なお、 $𝑇 H = 𝑇 L$ の時、最大成績係数は発散する。これは、「低温側（同じ温度だが便宜上そう呼ぶ）から熱を奪うのに必要なエネルギー」と「高温側に熱を与えるのに必要なエネルギー」が打ち消しあって $𝛿 𝑊 = 0$ になることによる（可逆操作の場合）。

9.1.3ヒートポンプ（冷房）の効率：式( $7$ )

次は冷房の最大効率である。

$𝛿 𝑊$ と $𝛿 𝑄 L$ の不等式を求める

外部から与えたエネルギー $𝛿 𝑊$ に対して、どれだけの熱エネルギー $𝛿 𝑄 L$ を低音側から奪えるかが知りたい。式( $5$ )にエネルギーの関係式 $𝛿 𝑄 H = 𝛿 𝑄 L + 𝛿 𝑊$ を代入して $𝛿 𝑄 H$ を消去すればよい： $𝛿 𝑄 L \leq 𝑇 L 𝑇 H - 𝑇 L 𝛿 𝑊 (7)$ この場合も、効率が最大になるのは等式が成り立つ場合であり、可逆な場合に成り立つ。 $𝑇 H < 2 𝑇 L$ の場合、即ち $𝑇 H$ と $𝑇 L$ が十分近い場合、赤字部分（最大成績係数）は1より大きくなり、費やしたエネルギー $𝛿 𝑊$ よりも多くの熱エネルギー $𝛿 𝑄 L$ を奪うことができる。

9.1.4最大効率の例：逆カルノーサイクル

ヒートポンプの最大効率は、可逆な場合に達成できることが分かった。そのような可逆なヒートポンプは、原理的に構成することができる。実際、以下の【9.1-注1】のような逆カルノーサイクルを使えばよい。これは、冒頭で述べたヒートポンプのサイクルを可逆過程だけで構成したものである。

【9.1-注1】逆カルノーサイクル

逆カルノーサイクルは、右図のようなヒートポンプサイクルである。全ての操作は準静的に行われる。共等温膨張によって低温側からエネルギー $𝑄 L$ を吸収し、共等温圧縮によって高温側にエネルギー $𝑄 H$ を放出する。色が同じ個所は同じ温度である。可逆であるため、最大の効率を持つ、即ち、式( $6$ )および式( $7$ )の等号が成立する。逆カルノーサイクルの効率は最大ではあるが、可逆性を持たせるためには非常にゆっくり動かす必要があるので、時間的な効率という点では最悪である。

カルノーサイクル

なお、これを逆にたどるようなサイクルを、カルノーサイクルという。これは、用意された低温源と高温源から力学的なエネルギーを最大効率で取りだすサイクルであり、次節で述べる熱機関の例である。

9.2参考熱を全て動力に変えることはできない

熱機関

ところで、ヒートポンプは外部エネルギーを温度差に変換するものであったが、逆向きに作動させると、温度差を力学的なエネルギー $𝑊$ に変換する装置としても使える（右図）。このように熱を動力に変換する装置を、熱機関という。

第二種永久機関

特に興味があるのは、高温側から奪った熱 $𝑄 H$ を全て $𝑊$ に変換できることが可能かという問題である（ $𝑊 = 𝑄 H$ ）。この場合、 $𝑄 L$ 低温側は不要になり（あったとしても触媒的にしか作用しない）、高温熱源だけから $𝑊$ を取り出すようなサイクルがあることになる。即ち、温度差が不要なエンジンが作れることになる。そうすれば、例えば、空気や地面から熱を奪って運動エネルギーに変換することにより、事実上、燃料なしで永久に動き続ける車が作れるのではないか、という期待が生まれるわけである。このような熱機関を第二種永久機関という。

この節では、第二種永久機関が不可能であることを示す。なお、第一種永久機関というのもあるが、これは、エネルギー保存則を破ってエネルギーを生成するような装置であり、これも不可能である。第二種永久機関のほうはエネルギー保存則を破らない。

9.2.1第二種永久機関は存在しない：式( $8$ )

熱機関の場合、式( $5$ )に対応する式は $- 𝛿 𝑄 L 𝑇 L \leq - 𝛿 𝑄 H 𝑇 H$ である（エネルギーの流れの方向が逆になっているので、符号も逆になる）。これに、エネルギー保存を表す $𝛿 𝑄 H = 𝛿 𝑄 L + 𝛿 𝑊$ を用いて $𝛿 𝑄 L$ を消去すると $𝛿 𝑊 \leq 𝑇 H - 𝑇 L 𝑇 H 𝛿 𝑄 H (8)$ となる。赤字部分を最大熱効率といい、常に1よりも小さな値である。即ち、奪った熱 $𝛿 𝑄 H$ の全てを運動エネルギー $𝛿 𝑊$ に変えるようなサイクルは存在せず、必ず、低温熱源に熱を捨てなければならない。よって、第二種永久機関は存在しない。

最大熱効率が実現するのは、可逆な場合である。例えば、【9.1-注1】の最後で触れたカルノーサイクルがそうである。逆に、熱効率が最悪なのは、高温熱源から低温熱源にそのまま熱を捨てる場合であり、 $𝛿 𝑊 = 0$ となる。

ヒートポンプの効率には上限がありそう

ヒートポンプの原理

可逆な場合に最大効率になりそう

9.1ヒートポンプの最大効率

9.1.1ヒートポンプによるエントロピーの変化：式(5)

エントロピーに対する不等式(2)

𝛿𝑆𝑖 と 𝛿𝑄𝑖 の関係式を求める

𝛿𝑄𝑖 に対する不等式(5)

9.1.2ヒートポンプ（暖房）の効率：式(6)

𝛿𝑊 と 𝛿𝑄H の不等式を求める

9.1.3ヒートポンプ（冷房）の効率：式(7)

𝛿𝑊 と 𝛿𝑄L の不等式を求める