重力場の方程式が知りたい
重力場を記述する方程式が知りたい。重力場の情報は計量テンソル場
の中に全て含まれるので、
に対する方程式となるはずである。前章では、重力の有無が、リーマン曲率テンソル
がゼロかどうかで判断できることが分かった。よって、
に対する方程式だと思われる。
に対する方程式が、
に含まれる
に対する方程式にもなる。
5.1アインシュタイン方程式
エネルギー運動量テンソル
ニュートンの重力理論で見た通り、重力の源は質量である。従って、求める重力の方程式には、リーマン曲率テンソル
と質量が現れるはずである。
しかし、重力の源となるのは質量だけではない。等価原理により、物体が地上で受ける重力加速度は、物体の運動によらず変わらない。一方、相対論的力学によると、運動している物体は加速度を受けにくくなる。即ち、運動している物体のほうが大きな重力を受けることになる。ここで、作用・反作用の法則が成り立つとするならば、物体が地球を引き付ける重力についても、運動している物体のほうが大きくなるはずである。要するに、物体が作り出す重力は、運動している場合のほうが大きくなると考えられる。
運動に関する量といえば、エネルギー運動量テンソル
である。よって、
が重力の源となると推測できる。
アインシュタインテンソル
重力の源がエネルギー運動量テンソル
であることを認めれば、後は、これとリーマン曲率テンソル
を結び付ける関係式が分かればよい。
と
は足の数（＝
の数）が違うので、
などとすることはできない。そもそも、
がゼロであったとしても、重力は存在し得る。例えば、地球の周りの宇宙空間は
であるが、地球の重力場の影響を受ける、即ち、
である。
従って、
から
が完全に決まるわけではない。そこで、
を縮約してみる：
をリッチテンソルという。これは足の数が2つであり、
と一致している。では、
としてよいだろうか。両方とも対称行列であるので、その点では問題ない。
しかし問題がある。
はエネルギー運動量テンソルの保存則
を満たす。一方、リッチテンソル
の場合、ビアンキの恒等式
において、最初の下付き添え字を上げた後、以下のような縮約を考えてみよう：
ただし、
であり、スカラー曲率と呼ばれる。これにより、リッチテンソルは
を満たさないことが分かる。しかし
ととれば、
となる。
そこで、重力場の方程式として
の形がとれそうである（
は定数）。
をアインシュタインテンソルという。式()が成り立つことを認めることにする。
係数合わせ→アインシュタイン方程式
式()の係数
を決めたい。そのためには、重力が弱く（＝ミンコフスキー計量に近い座標系を取ることができ）、物体の速度が小さい時に、ニュートンの重力理論に帰着することを要請すればよい。実際に計算を行うと、
となることが分かる。従って、求める方程式は
となる。これが求めたかった方程式であり、アインシュタイン方程式と呼ばれる。