アインシュタイン方程式

重力場の方程式が知りたい

重力場を記述する方程式が知りたい。重力場の情報は計量テンソル場 𝑔∘∘ の中に全て含まれるので、 𝑔∘∘ に対する方程式となるはずである。前章では、重力の有無が、リーマン曲率テンソル 𝑅∘∘∘∘ がゼロかどうかで判断できることが分かった。よって、 𝑅∘∘∘∘ に対する方程式だと思われる。 𝑅∘∘∘∘ に対する方程式が、 𝑅∘∘∘∘ に含まれる 𝑔∘∘ に対する方程式にもなる。

5.1アインシュタイン方程式

5.1.1エネルギー運動量テンソル

ニュートンの重力理論で見た通り、重力の源は質量である。従って、求める重力の方程式には、リーマン曲率テンソル 𝑅∘∘∘∘ と質量が現れるはずである。

しかし、重力の源となるのは質量だけではない。等価原理により、物体が地上で受ける重力加速度は、物体の運動によらず変わらない。一方、相対論的力学によると、運動している物体は加速度を受けにくくなる。即ち、運動している物体のほうが大きな重力を受けることになる。ここで、作用・反作用の法則が成り立つとするならば、物体が地球を引き付ける重力についても、運動している物体のほうが大きくなるはずである。要するに、物体が作り出す重力は、運動している場合のほうが大きくなると考えられる。

運動に関する量といえば、エネルギー運動量テンソル 𝑇∘∘ である。よって、 𝑇∘∘ が重力の源となると推測できる。

5.1.2アインシュタインテンソル

重力の源がエネルギー運動量テンソル 𝑇∘∘ であることを認めれば、後は、これとリーマン曲率テンソル 𝑅∘∘∘∘ を結び付ける関係式が分かればよい。 𝑇∘∘ と 𝑅∘∘∘∘ は足の数（＝ ∘ の数）が違うので、 𝑅∘∘∘∘∝𝑇∘∘ などとすることはできない。そもそも、 𝑇∘∘ がゼロであったとしても、重力は存在し得る。例えば、地球の周りの宇宙空間は 𝑇∘∘=0 であるが、地球の重力場の影響を受ける、即ち、 𝑅∘∘∘∘≠0 である。

従って、 𝑇∘∘ から 𝑅∘∘∘∘ が完全に決まるわけではない。そこで、 𝑅∘∘∘∘ を縮約してみる： 𝑅∘∘≡𝑅∙∘∙∘ 𝑅∘∘ をリッチテンソルという。これは足の数が2つであり、 𝑇∘∘ と一致している。では、 𝑅∘∘∝𝑇∘∘ としてよいだろうか。両方とも対称行列であるので、その点では問題ない。

しかし問題がある。 𝑇∘∘ はエネルギー運動量テンソルの保存則 𝑇∘∙;∙=0 を満たす。一方、リッチテンソル 𝑅∘∘ の場合、ビアンキの恒等式 𝑅∘∘𝛼𝛽;𝛾+𝑅∘∘𝛽𝛾;𝛼+𝑅∘∘𝛾𝛼;𝛽=0 において、最初の下付き添え字を上げた後、以下のような縮約を考えてみよう： 𝑅𝛼𝛽𝛼𝛽;𝛾+𝑅𝛼𝛽𝛽𝛾;𝛼+𝑅𝛼𝛽𝛾𝛼;𝛽=0∴𝑅;∘−𝑅∙∘;∙−𝑅∙∘;∙=0∴(𝑅∘∙−12𝑔∘∙𝑅);∙=0 ただし、 𝑅≡𝑅∙∙ であり、スカラー曲率と呼ばれる。これにより、リッチテンソルは 𝑅∘∙;∙=0 を満たさないことが分かる。しかし 𝐺∘∘≡𝑅∘∘−12𝑔∘∘𝑅 ととれば、 𝐺∘∙;∙=0 となる。

そこで、重力場の方程式として 𝐺∘∘=𝑘𝑇∘∘(1) の形がとれそうである（ 𝑘 は定数）。 𝐺∘∘ をアインシュタインテンソルという。式(1)が成り立つことを認めることにする。

5.1.3係数合わせ→アインシュタイン方程式

式(1)の係数 𝑘 を決めたい。そのためには、重力が弱く（＝ミンコフスキー計量に近い座標系を取ることができ）、物体の速度が小さい時に、ニュートンの重力理論に帰着することを要請すればよい。実際に計算を行うと、 𝑘=8𝜋𝐺𝑐4 となることが分かる。従って、求める方程式は 𝐺∘∘=8𝜋𝐺𝑐4𝑇∘∘(2) となる。これが求めたかった方程式であり、アインシュタイン方程式と呼ばれる。