一般相対性理論重力は時空のリーマン曲率である

重力が存在するかどうかを決める方法が知りたい

重力の有無や強さを判断するような量が欲しい。第2章で見たように、重力が測定結果に現れるのは、計量を通してである。よって、重力場を知るためには計量を測定することになる。無重力時空であれば、計量 $𝑔 \circ \circ$ としてミンコフスキー計量 $𝜂 \circ \circ$ $𝑔 \circ \circ = 𝜂 \circ \circ \equiv [1 - 𝑐 - 2]$ を取ることができる。これをミンコフスキー座標系という。しかし、計量は、座標変換 $𝛿 𝑥 \circ' ≐ Λ \circ' ∙ 𝛿 𝑥 ∙$ によって $𝑔 \circ' \circ' = 𝑔 ∙ ∙ Λ ∙ \circ' Λ ∙ \circ'$ のように変換する。そのため、例え重力がない場合であっても、 $𝑔 \circ \circ$ は、座標系の取り方によって $𝜂 \circ \circ$ とは異なる複雑な値を取り得る。要するに、計量には、重力の影響だけでなく、座標系の取り方の影響も含まれるわけである。もし、重力の影響だけを取り出すことができれば、重力場を支配する方程式を求める際に都合がよいだろう。

よって知りたいのは、座標系の取り方によらず、与えられた $𝑔 \circ \circ$ から、重力部分だけを取り出す方法である。例えば、あるテンソル $𝑅$ が存在して、 $𝑅 = 0$ の時には $𝑔 \circ \circ = 𝜂 \circ \circ$ となるミンコフスキー座標系が存在し、 $𝑅 \neq 0$ の時にはそのような座標系は存在しない、という性質が成り立てば、その $𝑅$ が重力の情報を持つはずである。

4.1リーマン曲率 $𝑅 \circ \circ \circ \circ$

以降では、ベクトルの平行移動を単に平行移動という。

4.1.1平行移動と座標変換は可換である→無重力時空では平行移動が経路によらない

前章で述べた様に、平行移動は幾何学的な操作である。これは、平行移動が座標系によらない量であることを意味している。別の言い方をすると、平行移動と座標変換は可換である。即ち、「ベクトル $𝑽$ をある座標系 $𝐾$ において平行移動した後、別の座標系 $𝐾'$ に座標変換したもの」と「 $𝑽$ を $𝐾'$ に座標変換してから同じ経路に沿って平行移動したもの」は同じ結果になる。

これは重要な性質である。特に、無重力時空では、ミンコフスキー座標系を取っておけば、ベクトルの平行移動は成分をそのまま単純に保つので、平行移動は経路によらない。これを、「平行移動と座標変換の可換性」に適用すると、無重力時空では、「平行移動が経路によらない」という性質が、ミンコフスキー座標系によらず任意の座標系で成り立つことが分かる（平衡移動の始点 $𝑃 1$ と終点 $𝑃 2$ を固定すれば、途中の経路にはよらない）。

4.1.2平行移動が経路によらないための条件：式( $1$ )

そこで、平行移動が経路によらないための条件が知りたい。

【4.1-注1】平行移動が経路によらないための条件

平行移動が経路によらないための必要十分条件は、以下のリーマン曲率 $𝑅 𝜌 𝜎 𝜇 𝜈$ ： $𝑅 \circ 𝛼 𝛽 𝛾 = Γ \circ 𝛼 𝛾, 𝛽 - Γ \circ 𝛼 𝛽, 𝛾 + Γ ∙ 𝛼 𝛾 Γ \circ 𝛽 ∙ - Γ ∙ 𝛼 𝛽 Γ \circ 𝛾 ∙$ がいたる所 $0$ になることである： $𝑅 \circ \circ \circ \circ = 0 (1)$

証明

まず、ベクトル $𝑉 \circ$ をある経路 $⃗ 𝐶$ に沿って平行移動していく。パラメータ $𝑡$ を取ると、平行移動の定義により以下のようになる： $𝑉 \circ (𝑡) = 𝑉 \circ (0) - \int 𝑡 𝑡' = 0 Γ \circ ∙ ∙ 𝑉 ∙ ˙ 𝑥 ∙$ 力学編第15章で述べたポテンシャルの存在条件の場合と同様に、変分を取ることを考える。変分 $⃗ 𝐶 + 𝛿 ⃗ 𝐶$ （始点を固定）を考え、その経路上の点を $𝒙 (𝑡) + 𝛿 𝒙 (𝑡)$ とすると、 $𝑉 \circ (𝑡)$ の変化 $𝛿 [𝑉 \circ (𝑡)]$ は、以下のようになる： $𝛿 [𝑉 \circ (𝑡)] = 𝛿 [- \int 𝑡 𝑡' = 0 Γ \circ ∙ ∙ 𝑉 ∙ ˙ 𝑥 ∙] ≐ - \int 𝑡 𝑡' = 0 (Γ \circ ∙ ∙, 𝜇 𝛿 𝑥 𝜇 𝑉 ∙ ˙ 𝑥 ∙ + Γ \circ ∙ ∙ 𝛿 𝑉 ∙ ˙ 𝑥 ∙ + Γ \circ ∙ ∙ 𝑉 ∙ 𝛿 ˙ 𝑥 ∙) ∣ ∣ ∣ ∣ 最後の項を部分積分して 𝛿 ˙ 𝑥 ∙ を 𝛿 𝑥 ∙ に変える。 Δ \circ \equiv 𝛿 𝑉 \circ + Γ \circ ∙ ∙ 𝑉 ∙ 𝛿 𝑥 ∙ とおく。 Δ \circ (𝑡) ≐ - \int 𝑡 𝑡' = 0 𝑅 \circ ∙ ∙ ∙ 𝑉 ∙ 𝛿 𝑥 ∙ ˙ 𝑥 ∙ - \int 𝑡 𝑡' = 0 Γ \circ ∙ 𝜇 Δ ∙ ˙ 𝑥 𝜇 (2)$ ここで、 $Δ \circ (𝑡)$ は、定義により、 $𝑥 \circ (𝑡) + 𝛿 𝑥 \circ (𝑡)$ にある変分後の $𝑉 \circ$ を、 $𝑥 \circ (𝑡)$ に平行移動して、変分前のものとの差を取ったものに等しい（ $𝛿 𝑥 \circ$ の1次近似で）。よって、もし、平行移動が経路に依存しないのであれば、（ $𝒙 1$ や経路の取り方によらず）常に $Δ \circ = 0$ となる。この時、式( $2$ )より $𝑅 \circ \circ \circ \circ = 0$ （＝式( $1$ )）が成り立つことが分かる。逆に、式( $1$ )が成り立てば、式( $2$ )は $Δ \circ (𝑡) ≐ - 0 - \int 𝑡 𝑡' = 0 Γ \circ ∙ 𝜇 Δ ∙ ˙ 𝑥 𝜇 ∣ 𝑡 で微分 ˙ Δ \circ ≐ - Γ \circ ∙ 𝜇 Δ ∙ ˙ 𝑥 𝜇$ となるが、初期条件は $Δ \circ (0) = 0$ なので、この微分方程式の解は $Δ \circ (𝑡) ≐ 0$ となる。ここで、端点を固定した変分（ $𝛿 𝒙 (𝑡) = 𝟎$ ）考えれば、 $𝛿 𝑉 \circ (𝑡) ≐ 0$ となり、平行移動後のベクトルが変化しないことが分かる。 $◼$

【4.1-注2】リーマン曲率テンソルの自由度は20

リーマン曲率テンソル $𝑅 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿$ の成分数は $44 = 256$ であるが、独立な成分はそのうち20である。

4.1.3 $𝑅 \circ \circ \circ \circ = 0$ となる点では、無重力

逆に、ある時空上で、平行移動が経路によらないという性質が常に成り立つならば、ミンコフスキー座標系を取れることも分かる（以下の【3.1-注3】）。

従って、無重力であるための必要十分条件は、「平行移動が経路によらない」、即ち、 $𝑅 \circ \circ \circ \circ = 0$ である。

【4.1-注3】時空が平坦であるための条件

時空上の4次元単連結領域 $𝐷$ が平坦であるための必要十分条件は、 $𝐷$ 上で $𝑅 \circ \circ \circ \circ = 0 (3)$ が成り立つことである。ただし、 $𝐷$ が平坦であるとは、 $𝐷$ 上にミンコフスキー座標が取れることを言う。

証明

まず、平坦⇒式( $3$ )を示す。 $𝐷$ が平坦である時、ミンコフスキー座標を取れば、式( $3$ )が成り立つ。さらに、 $𝑅 \circ \circ \circ \circ$ はテンソルとして変換するので、任意の座標系で式( $3$ )が成り立つことになる。

次に、式( $3$ )⇒平坦を示す。ある点において、4つのベクトル $𝒆 𝜇 (𝜇 = 0, \dots, 3)$ を $𝑔 ∙ ∙ 𝑒 ∙ \circ 𝑒 ∙ \circ = 𝜂 \circ \circ (4)$ となるようにとる。式( $3$ )が成り立つことを仮定しているので、ベクトルの平行移動は経路によらない。よって、 $𝒆 𝜇$ をそれぞれ平行移動していくことによって、4つのベクトル場作ることができる。この時、平行移動は内積を保つことにより、式( $4$ )は任意の点で成り立つことになる。後は、 $𝑒 \circ 𝜇$ の添え字を下げて得られる4つの1-形式 $𝜔 𝜇 \circ \equiv 𝑔 \circ ∙ 𝑒 ∙ 𝜇$ に対し、それぞれのポテンシャルとなるような $𝑥 𝜇$ 、即ち、 $𝜕 \circ 𝑥 𝜇 = 𝜔 𝜇 \circ$ となるような $𝑥 \circ$ が構成できれば、それがミンコフスキー座標になる。これは可能である。なぜなら、平行移動の定義により $𝜔 𝜇$ の微分は $𝜔 𝜇 \circ, \circ = 𝜔 𝜇 ∙ Γ ∙ \circ \circ$ となるが、 $Γ \circ 𝛼 𝛽 = Γ \circ 𝛽 𝛼$ であることから、 $𝜔 𝜇 𝛼, 𝛽 = 𝜔 𝜇 𝛽, 𝛼$ となり可積分条件（スカラーポテンシャルの存在条件）を満たすからである。